向量空间的基本概念
【例3-19】
证明向量组α1=1,1,2T,α2=3,－1,0T,α3=（2,0,－11）T构成R3的 一组基，并求出向量β=1,－1,7T在此基下的坐标.
证明 要证明α1,α2,α3构成R3的一组基，只需证明α1,α2,α3线性 无关.
构造矩阵A=α1,α2,α3,并对A进行初等行变换：
对于向量空间Rn的一组基α1,α2,…，αn，任取Rn中的 一个向量α，则α可由α1,α2,…，αn线性表示，且表达式是 唯一的.由此，我们引进如下定义：
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定义3-14
设α1,α2,…，αr是向量空间V的一组基，α是V中的向量， 则存在唯一的一组数x1,x2,…,xr，使
α=x1α1+x2α2+…+xrαr 称x1,x2,…,xr为向量α在基α1,α2,…，αr下的坐标. 特别地，在n维向量空间R n中取单位坐标向量组 e1,e2,…,en为基，则以x1,x2,…,xn为分量的向量x=x1,x2,…,xn可 表示为
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二、 向量空间的基与维数
向量空间中的每一个元素都是一个 向量.我们在前面介绍的关于n维向量的 概念（线性组合、相性相关、线性无关 等）及有关结论都可以推广到向量空间 上.为简便起见，在向量空间里，我们直 接利用这些概念和性质.
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定义3-13
设向量组V是Rn的一个子空间，则称向量组V的一个极 大无关组为向量空间V的一组基，并且称向量组V的秩为向量 空间V的维数，记作dimV.
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一、 向量空间与子空间
定义3-11
设V为n维向量的集合，如果集合V非空且对于向 量的线性运算（向量的加法及数乘运算）封闭，即对任 意的α，β∈V和常数k∈R都有
α+β∈V, kα∈V 就称集合V为一个向量空间. 由一个零向量所构成的集合{0}也是一个向量空间， 称之为零空间.
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即
这就是从旧坐标y1,y2,y3到新坐标z1,z2,z3的坐 标变换公式.
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定义3-12
如果V1是向量空间V的一个非空子集，且V1关于向量的 加法和数乘运算都封闭，那么称V1是V的一个子空间.
向量空间V本身和V中零向量组成的零空间都是V的子空 间.这两个子空间称为V的平凡子空间，它们分别构成V的最 大和最小子空间.V的其他子空间称为非平凡子空间.
任何由n维向量所组成的向量空间都是Rn的子空间.
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【例3-16】
集合 V=x=0,x2,…,xnTx2,…,xn∈R 是一个向量空间.因为若α=0,a2,…,anT∈V，β=0,b2,…,bnT∈V， 则 α+β=0,a2+b2,…,an+bnT∈V，λα=0,λa2,…,λanT∈V
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【例3-17】
集合 V=x=1,x2,…,x nTx2,…,x n∈R 不是向量空间.因为若α=0,a2,…,anT∈V，则 2α=2,2a2,…,2anTV
如果向量空间V没有基，就称V的维数为0，0维向量空间 只含一个零向量.
我们注意到，向量空间V的基就是把V看成向量组时的极 大无关组，因此，向量空间的基未必唯一，但任意两个基所 含向量的个数，即向量空间的维数是不会变的.
由定义3-13知，全体n维向量构成一个向量空间，记作 Rn.容易验证Rn的维数为n，所以我们把Rn称为n维向量空间.
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值得注意的是：不要把向量空间的维数和向量的维数 这两个概念搞混淆.一个向量有n个分量，则称此向量为n维 向量；而由n维向量构成的向量子空间，它的维数是指基 中所含向量的个数，可能是0,1,…,n.由于已知超过n个的n 维向量一定线性相关，所以由n维向量构成的向量空间V的 维数不会超过n.
定义3-13的等价叙述如下： 设向量组V是Rn的一个子空间，若有向量组α1,α2,…， αr∈V，满足： （1）α1,α2,…，αr线性无关. （2）V中任意一个向量都可由α1,α2,…，αr线性表示.
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则称向量组α1,α2,…，αr为向量空间的一个基，基中所含 的向量个数r称为向量空间V的维数，记为dimV=r，并称V为 r维向量空间.
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有RA=Rα1,α2,α3=3,所以α1,α2,α3线性无关，它 们一定构成R3的一个基.
下面求向量β在基α1,α2,α3下的坐标. 构造矩阵A,β=α1,α2,α3,β,并对A,β施行初等行变 换，将其化为行最简形矩阵：
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=α1,α2,α3， B=β1,β2,β3.求用α1,α2,α 3表示β1,β2,β3的表达式（基变换公式）， 并求向量x在两组基下的坐标之间的关系式（坐标变换公式）.
x=x1e1+x2e2+…+xnen
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可见，向量在e1,e2,…,en基下的坐标就是该向量 的分量.因此，e1,e2,…,en也称为Rn中的自然基.
当然，同一个向量在不同的基下会有不同的坐 标.求向量α在基α1,α2,…,αr下的坐标的方法，就是求 方程组
x1α1+x2α2+…+xrαr=α 的解.
解 α1,α2,α3=e1,e2,e3A，e1,e2,e3=α1,α2,α3A－1 故 β1,β2,β3=e1,e2,e3B=α1,α2,α3A－1B
向量空间的基本概念
即基变换公式为 β1,β2,β3=α1,α2,α3P 其中，变换公式的系数矩阵P=A－1B称为从旧 基到新基的过渡矩阵. 设向量x在旧基和新基下的坐标分别为y1,y2,y3 和z1,z2,z3，即