2.3幂函数双基限时练 新人教A 版必修1
1．若函数f (x )＝x 3
(x ∈R )，则函数y ＝f (－x )在其定义域上( ) A ．单调递减的偶函数 B ．单调递减的奇函数 C ．单调递增的偶函数 D ．单调递增的奇函数
解析 ∵f (x )＝x 3为奇函数． ∴y ＝f (－x )＝－f (x )＝－x 3
.
∴y ＝f (－x )在其定义域上单调递减且为奇函数，故选B. 答案 B
2．设α∈⎩⎨⎧⎭
⎬⎫－2，－1，－12，13，12，1，2，3，则使f (x )＝x α
为奇函数，且在(0，＋∞)
上单调递减的α的值的个数是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析 仅有α＝－1时，f (x )＝x －1
满足题意，因此选A. 答案 A
3．已知幂函数y ＝x m
在第一象限内的图象，如图所示．已知m 取2，－2，12，－12四个
值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的m 依次是( )
A ．－2，－12，1
2，2
B ．2，12，－1
2，－2
C ．－12，－2,2，12
D ．2，12，－2，－12
解析 由图象知，相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的幂依次从大到小排列，∴选B. 答案 B
4．函数y ＝x 5
3
的图象大致是( )
解析 由于5
3>1，故可排除选项A ，D.根据幂函数的性质可知，当a >1时，幂函数的图
象在第一象限内下凸，故排除选项C ，只有选项B 正确．
答案 B
5．函数y ＝log a (2x －3)＋2
2
的图象恒过定点P ，P 在幂函数f (x )的图象上，则f (9)＝( )
A.13
B. 3 C ．3
D ．9
解析 由log a 1＝0，对任意a >0且a ≠1都成立知，函数y ＝log a (2x －3)＋2
2
的图象恒过定点⎝ ⎛⎭
⎪⎫2，
22， 设f (x )＝x α
，则
22＝2α
，故α＝－12
， 所以f (x )＝x － 12
，所以f (9)＝9－ 1
2 ＝3－1
＝13
.
答案 A
6．设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 34 ，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15 34 ，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 12 ，则( ) A ．a <b <c B ．c <a <b C ．b <c <a
D ．b <a <c
解析 构造幂函数y ＝x
3
4
(x ∈R )，则该函数在定义域内单调递增，知a >b ；构造指数
函数y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x
，由该函数在定义域内单调递减，所以a <c ，故c >a >b .
答案 D
7．函数y ＝(m －1)x
m 2
－m
为幂函数，则该函数为________(填序号)．
①奇函数；②偶函数；③增函数；④减函数． 解析 由y ＝(m －1)x
m 2
－m 为幂函数，得m －1＝1，即m ＝2，则该函数为y ＝x 2
，故该函
数为偶函数，在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数．
答案 ②
8．给出以下列结论：
①当α＝0时，函数y ＝x α
的图象是一条直线；②幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点；③若幂函数y ＝a α的图象关于原点对称，则y ＝x α
在定义域内y 随x 的增大而增大；④幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限．
则正确结论的序号为________．
解析 当α＝0时，函数y ＝x α
的定义域为{x |x ≠0，x ∈R }，故①不正确；当α<0时，函数y ＝x α
的图象不过(0,0)点，故②不正确；幂函数y ＝x －1
的图象关于原点对称，但其在定义域内不是增函数，故③不正确．④正确．
答案 ④
9．已知n ∈{－2，－1,0,1,2,3}，若⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n >⎝ ⎛⎭
⎪⎫－13n
，则n ＝________.
解析 ∵－12<－13，且⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n >⎝ ⎛⎭⎪⎫－13n
，
∴y ＝x n
在(－∞，0)上为减函数． 又n ∈{－2，－1,0,1,2,3}， ∴n ＝－1，或n ＝2. 答案 －1或2
10.已知函数f (x )＝(m 2
－m －1)x －5m －3
，m 为何值时，f (x )
(1)是幂函数； (2)是正比例函数； (3)是反比例函数； (4)是二次函数． 解 (1)∵f (x )是幂函数， 故m 2
－m －1＝1，即m 2
－m －2＝0， 解得m ＝2或m ＝－1. (2)若f (x )是正比例函数， 则－5m －3＝1，解得m ＝－4
5.
此时m 2
－m －1≠0，故m ＝－45
.
(3)若f (x )是反比例函数，则－5m －3＝－1， 则m
＝－25，此时m 2
－m －1≠0，故m ＝－25.
(4)若f (x )是二次函数，则－5m －3＝2， 即m ＝－1，此时m 2
－m －1≠0，故m ＝－1.
11．点(2，2)与点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－12分别在幂函数f (x )，g (x )的图象上，问当x 为何值时，
有：
①f (x )>g (x )；②f (x )＝g (x )；③f (x )<g (x )．
解 设f (x )＝x α，g (x )＝x β
. ∵(2)α＝2，(－2)β
＝－12，
∴α＝2，β＝－1. ∴f (x )＝x 2
，g (x )＝x －1
.
分别作出它们的图象，如图所示．
由图象知，当x ∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f (x )>g (x )； 当x ＝1时，f (x )＝g (x )； 当x ∈(0,1)时，f (x )<g (x )． 12．已知幂函数y ＝x
3－p
(p ∈N *
)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上为增函数，求
满足条件(a ＋1) p 2 <(3－2a ) p
2
的实数a 的取值范围．
解 ∵幂函数y ＝x 3－p
(p ∈N *)的图象关于y 轴对称，∴函数y ＝x
3－p
是偶函数．
又y ＝x
3－p
在(0，＋∞)上为增函数，
∴3－p 是偶数且3－p >0， ∵p ∈N *
，∴p ＝1，
∴不等式(a ＋1) p 2 <(3－2a ) p
2
化为： (a ＋1) 12 <(3－2a ) 12
.
∵函数y ＝x 是[0，＋∞)上的增函数，
∴⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＋1<3－2a ，a ＋1≥0，3－2a ≥0
⇒⎩⎪⎨⎪⎧
a <23
，
a ≥－1，
a ≤32
⇒－1≤a <2
3
，故实数a 的取值范围为
⎣
⎢⎡⎭⎪⎫－1，23.。