人教版高中数学必修一知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习指数函数、对数函数、幂函数综合【学习目标】1．理解有理指数幂的含义，掌握幂的运算．2．理解指数函数的概念和意义，理解指数函数的单调性与特殊点． 3．理解对数的概念及其运算性质．4．重点理解指数函数、对数函数、幂函数的性质，熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理．5．会求以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数的定义域、单调性及值域等性质．6．知道指数函数x a y =与对数函数x y a log =互为反函数（a ＞0，a≠1）． 【知识框图】【要点梳理】要点一：指数及指数幂的运算 1．根式的概念a 的n 次方根的定义：一般地，如果n x a =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中*1,n n N >∈当n 为奇数时，正数的n 次方根为正数，负数的n n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示为负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0．n 叫做根指数，a 叫做被开方数． 2．n 次方根的性质：（1）当n a =；当n ,0,,0;a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩（2）na =3．分数指数幂的意义：)0,,,1m na a m n N n =>∈>；()10,,,1m nm naa m n N n a-=>∈>要点诠释：0的正分数指数幂等于0，负分数指数幂没有意义． 4．有理数指数幂的运算性质：()0,0,,a b r s Q >>∈（1）rsr sa a a+= （2）()r srsa a = （3）()rr rab a b =要点二：指数函数及其性质 1．指数函数概念一般地，函数()0,1x y a a a =>≠且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ． 2要点三：对数与对数运算 1．对数的定义（1）若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．（2）负数和零没有对数．（3）对数式与指数式的互化：log (0,1,0)xa x N a N a a N =⇔=>≠>．2．几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．3．常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． 4．对数的运算性质如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么 ①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a aMM N N-= ③数乘：log log ()na a n M M n R =∈④log a NaN =⑤log log (0,)b na a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且要点四：对数函数及其性质 1．对数函数定义一般地，函数()log 0,1a y x a a =>≠且叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域()0,+∞． 2要点五：反函数 1．反函数的概念设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得式子()x y ϕ=．如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子()x y ϕ=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()x y ϕ=表示x 是y 的函数，函数()x y ϕ=叫做函数()y f x =的反函数，记作1()x f y -=，习惯上改写成1()y f x -=．2．反函数的性质（1）原函数()y f x =与反函数1()y fx -=的图象关于直线y x =对称．（2）函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y f x -=的值域、定义域．（3）若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上，则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上．（4）一般地，函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数．要点六：幂函数 1．幂函数概念形如()y x R αα=∈的函数，叫做幂函数，其中α为常数． 2．幂函数的性质（1）图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限（图象关于y 轴对称）；是奇函数时，图象分布在第一、三象限（图象关于原点对称）；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．（2）过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)．（3）单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数．如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴．（4）奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数．当qpα=（其中,p q 互质，p 和q Z ∈），若p 为奇数q 为奇数时，则qpy x =是奇函数，若p 为奇数q 为偶数时，则q py x =是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则qpy x =是非奇非偶函数．（5）图象特征：幂函数,(0,)y x x α=∈+∞，当1α>时，若01x <<，其图象在直线y x =下方，若1x >，其图象在直线y x =上方，当1α<时，若01x <<，其图象在直线y x =上方，若1x >，其图象在直线y x =下方．【典型例题】类型一：指数、对数运算 例1．计算（1） 2221log log 12log 422-； （2）33lg 2lg 53lg 2lg 5++； （3）222lg5lg8lg5lg 20lg 23+++；（4）lg0.7lg20172⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭【思路点拨】运算时尽量把根式转化为分数指数幂，而小数也要化为分数为好． 【答案】（1）12-；（2）1；（3）3；（4）14．【解析】（1）原式=122221log 12log log 22-⎫===-； （2）原式=()()22lg 2lg5lg 2lg 2lg5lg 53lg 2lg5+-++=()2lg10lg 5lg 23lg 2lg 53lg 2lg 5⎡⎤⋅+-+⎣⎦=1-3lg 2lg5+3lg 2lg5=1（3）原式=()22lg52lg2lg51lg2lg 2++++ =()2lg5lg2lg5lg2(lg2lg5)++++ =2+lg5lg 2+=3；（4）令x =lg0.7lg20172⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭，两边取常用对数得lg0.7lg 201lg lg 72x ⎡⎤⎛⎫=⋅⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=()1lg2lg7(lg71)(lg2)++--=lg7lg 2lg7lg 2lg7lg 2+-+ =lg1414,x ∴=即lg0.7lg20172⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭=14．【总结升华】这是一组很基本的对数运算的练习题，虽然在考试中这些运算要求并不高，但是数式运算是学习数学的基本功，通过这样的运算练习熟练掌握运算公式、法则，以及学习数式变换的各种技巧．举一反三：【变式1】552log 10log 0.25+=（ ）A ．0B ．1C ．2D ．4 【答案】C【解析】552log 10log 0.25+=25555log 10log 0.25log (1000.25)log 252+=⨯==．【变式2】（1）2(lg 2)lg 2lg 50lg 25+⋅+；（2）3948(log 2log 2)(log 3log 3)+⋅+． 【答案】（1）2；（2）54． 【解析】（1） 原式22(lg 2)(1lg5)lg 2lg5(lg 2lg51)lg 22lg5=+++=+++ (11)lg 22lg52(lg 2lg5)2=++=+=； （2） 原式lg 2lg 2lg3lg3lg 2lg 2lg3lg3()()()()lg3lg9lg 4lg8lg32lg32lg 23lg 2=+⋅+=+⋅+ 3lg 25lg 352lg 36lg 24=⋅=．类型二：指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质例2．设偶函数()f x 满足3()8(0)f x x x =-≥，则{}|(2)0x f x ->= （ ）A ．{}|24x x x <->或B ． {}|04x x x <>或 C ． {}|06x x x <>或 D ． {}|24x x x <->或 【答案】 B 【解析】3()8(0)f x x x =-≥且()f x 是偶函数．338,0,()8,0,x x f x x x ⎧-≥⎪∴=⎨--<⎪⎩ ()320,280x x -≥⎧⎪∴⎨-->⎪⎩或()320,280x x -<⎧⎪⎨--->⎪⎩ ∴2,4,x x ≥⎧⎨>⎩或2,0.x x <⎧⎨<⎩ 解得4x >或0x <，故选B ．【总结升华】考查解不等式组及函数解析式，考查函数性质的综合运用． 举一反三：【变式1】已知函数123,0,()log ,0,x x f x x x +⎧≤=⎨>⎩若0()3f x >，则0x 的取值范围是（ ）．A ． 08x >B ． 00x <或08x >C ． 008x <<D ． 00x <或008x << 【答案】A 【解析】依题意0010,33x x +≤⎧⎨>⎩或0200,log 3x x >⎧⎨>⎩即000,11x x ≤⎧⎨+>⎩或02020,log log 8x x >⎧⎨>⎩，所以08x >，故选A ．例3．设函数212log ,0,()log (),0x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩ 若()()f a f a >-，则实数a 的取值范围是（ ） ．A ．()()1,00,1-B ．()(),11,-∞-+∞C ．()()1,01,-+∞ D ．()(),10,1-∞-【答案】C【解析】解法一：①若0a >，则0a -<，∴212log log a a >，得221log log a a >，得1a a>，解得1a >． ②若0,a <则0a ->，∴122log ()log ()a a ->-，221log ()log ()a a ∴->-解得()1,1a ∈- 由①②可知()()1,01,a ∈-+∞解法二：特殊值验证 令22,(2)log 21,a f ===(2)1f -=-，满足()()f a f a >-，故排除A 、D ．令2a =-，(2)1f -=-，(2)1f = 不满足()()f a f a >-，故排除B ．【总结升华】本题考查了分段函数的性质、分类思想的应用． 【幂指对函数综合377495 例1】例4．函数)86(log 231+-=x x y 的单调递增区间是（ ）A ．（3，+∞）B ．（－∞，3）C ．（4，+∞）D ．（－∞，2）【思路点拨】这是一个内层函数是二次函数，外层函数是对数函数的复合函数，其单调性由这两个函数的单调性共同决定，即“同增异减”．【答案】D【解析】函数)86(log 231+-=x x y 是由213log ,68y u u x x ==-+复合而成的，13log y u =是减函数，268u x x =-+在(),3-∞上单调递增，在()3,+∞上单调递减，由对数函数的真数必须大于零，即2680x x -+>，解得4x >或2x <，所以原函数的单调递增区间是(),2-∞，故选D ．例5．（2016 上海模拟）已知函数()xf x a =（a ＞0，a ≠1）在区间[―1，2]上的最大值为8，最小值为m ．若函数()(310g x m =-是单调增函数，则a =________．【思路点拨】根据题意求出m 的取值范围，再讨论a 的值，求出f （x ）的单调性，从而求出a 的值． 【答案】18 【解析】根据题意，得3－10m ＞0， 解得310m <；当a ＞1时，函数()xf x a =在区间[－1，2]上单调递增，最大值为28a =，解得a =13410m a -===>，不合题意，舍去； 当1＞a ＞0时，函数()xf x a =在区间[―1，2]上单调递减，最大值为18a -=，解得18a =，最小值为2136410m a ==<，满足题意； 综上，18a =．故答案为：18．【总结升华】本题主要考查指数函数的图象与性质的应用问题，通过讨论对数函数的底数确定函数的单调性是解决本题的关键．举一反三：【变式1】已知|1|()2x f x -=，该函数在区间[a ，b ]上的值域为[1，2]，记满足该条件的实数a 、b 所形成的实数对为点P （a ，b ），则由点P 构成的点集组成的图形为（ ）A ． 线段ADB ． 线段ABC ． 线段AD 与线段CD D ． 线段AB 与BC【思路点拨】由指数函数的图象和性质，我们易构造出满足条件函数|1|()2x f x -=在闭区间[a ，b ]上的值域为[1，2]的不等式组，画出函数的图象后与答案进行比照，即可得到答案．【答案】C【解析】∵函数|1|()2x f x -=的图象为开口方向朝上，以x =1为对称轴的曲线，如图．当x =1时，函数取最小值1， 若|1|22x y -==，则x =0，或x =1而函数|1|2x y -=|在闭区间[a ，b ]上的值域为[1，2]，则012a b =⎧⎨≤≤⎩或012a b <≤⎧⎨=⎩，则有序实数对（a ，b ）在坐标平面内所对应点组成图形为故选C ．【总结升华】本题考查的知识点是指数函数的性质，函数的值域，其中熟练掌指数函数在定区间上的值域问题，将已知转化为关于a ，b 的不等式组，是解答本题的关键．【变式2】已知函数|lg |,010,()16,10.2x x f x x x <≤⎧⎪=⎨-+>⎪⎩若,,a b c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围是（ ）．A ．（1，10）B ．（5，6）C ．（10，12）D ．（20，24） 【答案】C【解析】由,,a b c 互不相等，结合图象可知：这三个数分别在区间（0,1），（1,10），（10,12）上，不妨设(0,1),(1,10),(10,12)a b c ∈∈∈，由()()f a f b =得lg lg 0,a b +=即lg 0ab =，所以1ab =，所以()10,12abc ∈，故选C ．【总结升华】考查利用图象求解的能力和对数的运算，考查数形结合的思想方法． 类型三：综合问题例6．已知定义域为R 的函数12()2x x bf x a+-+=+是奇函数。