( 证：1) 若c ∈ (a , b )使g ( c ) = 0
则g ( a ) = g ( c ) = g ( b )
∴ ξ 1 ∈ (a , c ),ξ 2 ∈ (c , b )使g ′(ξ 1 ) = g ′(ξ 2 ) = 0 ∴ 定理， 又g ′( x )在[ξ 1，ξ 2 ]上满足 R定理， ξ ∈ (a , b)使g′′(ξ ) = 0(矛盾) ∴ g( x ) ≠ 0.
f ( x) 由方程 x d2 y . dx2
y = x ( x > 0, y > 0)
y
1 1 解 两边取对数 ln y = ln x , 即y ln y = x ln x , x y ln x + 1 ′= y , ∴ (1 + ln y ) y ′ = ln x + 1, 1 + ln y 1 1 (ln y + 1) (ln x + 1) y ′ x y y ′′ = (1 + ln y ) 2
f ( x ) f (1) 2 /(1 + x 2 ) 1 (1 x 2 ) /(1 + x 2 ) ∵ lim = lim = lim = 1 x 1 x 1 x 1 x →1 x →1 x →1 f ( x ) f (1) ax + b (a + b ) lim = lim =a + + x 1 x 1 x →1 x →1 ∴ a = 1 ;
y(ln y + 1) 2 x (ln x + 1) 2 = xy(ln y + 1) 3
5
x = ln 1 + t 2 例5 设 , 求有参数方程所确定函 数的 y = arctan t dy d 2 y 导数 , . 2 dx dx
解
dy (arctan t )′ 1+ t2 = 1 = = t dx (ln 1 + t 2 )′ t 1+ t2
(1 + x )1 / x 1 / x ] , x>0 [ e f ( x) = e 1 / 2 , x ≤ 0 . 1 1 ln(1 + x ) x 解 : x < 0时 , ln f ( x ) = [ ln(1 + x ) 1] = x x x2
1/(1 + x) 1 ∵ lim = lim 2 x→0+ x→0+ 2x x 1 x = lim = x→0+ 2x(1 + x) 2
n n
∴y
( n)
3 1 1 n ]. = ( 1) n![ n+1 n +1 2 ( x 1) ( x + 1)
8
2 ,当x ≤ 1; 2 例8、 f ( x) = 1 + x 、 设 ax + b,当x > 1.
=1处可导 已知 f(x) 在 x=1处可导，试确定 b 的值. =1处可导，试确定a, 的值.
x2 x3 x3 3 3 + + o( x ) x + o( x ) x (1 + x ) 1 + x + 2! 3! 3! lim x →∞ x3
x3 x3 + o( x 3 ) 1 = = lim 2! 3! 3 x →∞ x 6
14
例12
讨论函数在点x=0处的连续性。 讨论函数在点x=0处的连续性。 x=0处的连续性
解：y′ = f ′( x 2 + y 2 ) ( 2 x + 2 yy′ ) + f ′( x + y ) (1 + y′ )
y′( 0) = f ′(4)[0 + 4 y′(0)] + f ′( 2)[1 + y′(0)]
1 y ′( 0 ) = 7
10
例10 令 x = e t , 将方程 x
例 设f (x), g(x)在 a, b]上存在二阶导数，且g′′(x) ≠ 0, 14 [ f (a) = f (b) = g(a) = g(b) = 0, 证明（）在（a, b)内g(x) ≠ 0; 1 f (ξ ) f ′′(ξ ) (2)存在ξ ∈( a, b) 使 = . g(ξ ) g′′(ξ )
1 cos x ( sin x ln sin x + ) x sin x
2
7
例7
4x2 1 ( n) ,求 y . 设y = 2 x 1
4x2 1 4x2 4 + 3 3 1 1 解 y= 2 = ) = 4+ ( 2 x 1 x 1 2 x 1 x + 1
1 (n) ( 1) n! 1 (n) ( 1) n! ∵( ) = , ( ) = , n+1 n+1 x 1 x+1 ( x 1) ( x + 1)
11
例 求极限(1) lim( arctan x) . 11 x→+∞ 2
解( 2)原式 =
π ln( arctan x ) 2 lim ln x e x → +∞
π
1 ln x
1
=
π 1+ x 2 ( arctan x ) lim 2 1/ x e x → +∞
1
x → +∞
lim
=e
( arctan x ) 2
1
1 ( )′ 2 d y d 1 1+ t2 t ( )= = = 2 2 dx t dx t (ln 1 + t 2 )′
6
例6 解
设y = x(sin x)cos x ,求 y′.
y′ = y(ln y )′
= y(ln x + cos x ln sin x )′
= x(sin x )
cos x
1
导数与微分
例1 设 f ( x) = x( x 1)( x 2)( x 100),
求 f ′(0).
解
f ( x) f (0) f ′(0) = lim x→0 x 0 = lim( x 1)( x 2)( x 100) = 100!
x→0
或：设f(x)=xg(x)，g(x)=(x-1)(x-2)…(x-100)， ， … ， 则 f ′(x)=g(x)+xg′(x)，f ′(0)=g(0)+0=100！。 ′ ， ！。
17
例15
证 设 x0 ∈ [0,1], 在 x0 处把 f ( x ) 展成一阶泰勒公式 , 有 1 ′( x0 )( x x0 ) + f ′′(ξ )( x x0 )2 f ( x ) = f ( x0 ) + f
1 2 2 (1) f (0) = f ( x0 ) f ′( x0 ) x0 + f ′′(ξ1 ) x0 2 1 f (1) = f ( x0 ) + f ′( x0 )(1 x0 ) + f ′′(ξ 2 )(1 x0 )2 (2) 2
（2） F ( x ) = f ( x ) g ′( x ) f ′( x ) g ( x ) 设
∵ F (a ) = F (b ) = 0
定理， ∴ F ( x )在[a , b]上满足 R定理，
∴ ξ ∈ (a , b )使F ′(ξ ) = 0
∴ F ′(ξ ) = [ f ( x ) g ′′( x ) f ′′( x ) g ( x )] x = ξ = 0
2
x , u′ = ( 1 + x )′ = x 2 1+ x 1 ′ = . ∴ yx 3 2 (2x + x ) 1 + x
3
x2x , x > 0 例3 设 f (x) = ,求 数 极 . 函 的 值 x + 2 , x ≤ 0
解
∵x = 0不连续∴x = 0不可导点 .
因x=1 所以不是极值 点
∴ lim f ( x ) = e 1 / 2 = lim f ( x ) ∴函数在点x=0连续。 函数在点x=0连续。 x=0连续
x →0+ x →0
15
Hale Waihona Puke ln(1 + x) x
例 设 (x)具 二 连 导 且 (0) = 0, 求 13 f 有 阶 续 数 f 证 f (x)/ x, x ≠ 0 (x) = 有 阶 续 数 一 连 导 . f ′(0), x = 0 f ( x) f ′( 0 ) ′(0) f ( x ) xf ′ ( 0 ) 证：φ x = lim = lim x x→0 x →0 x2 f ′( x ) f ′( 0 ) f ′′( x ) f ′′(0) = lim = lim = . 2x x →0 x →0 2 2 xf ′ ( x ) f ( x ) , x≠0 2 x ∴ φ ′( x ) = f ′′(0) , x=0 2 xf ′ ( x ) f ( x ) ∴ lim φ ′( x ) = lim xf ′′( x ) + f ′( x ) f ′( x ) 2 = lim x →0 x →0 x 2x x→0 f ′′( x ) f ′′(0) = lim = = φ ′(0). 有一阶连续导数。 φ ( x )有一阶连续导数。 2 x→0 2 16
π
x 1+ x 2
=
2 （1 + x 2） lim 1 x → +∞ 1+ x 2 e
1 x 2
=e
x → +∞ 1 + x 2） （
lim
1 x 2
1 = . e
12
1 + 2 + n (2) lim( ) x →0 n
x x x
1 x
解 原式 = e
1 1x ++ n x lim ln( ) x→0 x n