第三章
地球重力场及形状的基本理论(续2)
1、大地水准面差距和垂线偏差 2、确定大地水准面的理论和方法 3、重力归算 4、区域大地水准面精化 5、地球形状的确定方法
1
一、大地水准面差距和垂线偏差
1、正常椭球
选择一个形状和大小都已知的质体(称：正常椭球)，并要求满足 如下条件（物理特性），问题转化为：
垂线偏差的测量结果也表明类似的结论， 真正的垂线偏差比看得见的地形质量引起的垂 线偏差小得多这也只能用山区下面存在质量亏 损来解释。
现在一般比较认可的是地壳均衡理论。
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1）普拉特－海福特系统（均衡改正）bukan 这种补偿系统的概念由普拉特提出，后来由海福 特引进数学公式，系统地应用于大地测量。
1）质量和地球相同；旋转角度ω值与地球相同;
2）尽量不改变大地水准面形状；
3）外部重力场尽量接近地球外部重力场；
4）椭球表面是一个重力等位面（水准面），且恰好包裹全部地 球质量；
5）椭球的质心与地球质心重合
V
2V x 2
2V y 2
2V z 2
0
Lanplace 算子作用与 地球外部重力场=0
6、 边值问题线性化
g W n
U 1 U U ne cos p n n
T
n
p
W n
p
U n
p g p p
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一、大地水准面差距和垂线偏差
将p点正常重力展开为P0点的泰劳级数，并代入上式。
同时用球面进行近似：
p p0
ne
N p ......
p0
T
n
p
3） Stokes确定的是大地水准面， Molodensky确定的是 大地水准面。和 Stokes和Molodensky对应的正高和正 常高。
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三、重力归算
▪ 重力归算概述 在确定大地水准面形状的基本原理中，有两个
前提，一是大地水准面外部必须没有质量；二是 所用的实测重力值g 应当是大地水准面上的数值 g测0。也但是事在实地上面大上地进水行准的面。外M部on有od大en陆sk存y也在需，要而局观 部地形改正。
2T 2T 2T T x2 y2 z 2 0
T 2 T g r r
lim V = 0
∞
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二、确定大地水准面的理论和方法
Molodensky 公式
T T0 T1 T2...
T0
1
4R
gS (
)d
T1
1
4R
g1S( )d
g1
Rቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
g
h
hp l3
d
注意：g g p p g p ( 0 0.3086 H )
3、正常椭球面 是大地水准面的规则形状（一般指 旋转椭球面）。因此引入正常椭球后，地球重力位被分 成正常重力位和扰动位两部分，实际重力也被分成正常 重力和重力异常两部分。
3
一、大地水准面差距和垂线偏差
▪ 2、正常椭球重力位 将地球重力位展开为球谐级数，然后
取前面几项作为正常重力位：当选取前3 项时：
则待解的T 微分方程可以结算出来，因为它可以看 作是地球外部空间两个引力位之差，所以T 是一个 调和函数，T 可以球谐级数展开
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T
2T x 2
2T y 2
2T z 2
0
T0 (r, ,)
GM r
( a )n n (C n,m cos m S n,m sin m)Pn,m (cos )
4gi
G0
x2
dx
x1
y2
dy
y1
H D H2
z 3 dz
x2 y2 z2
只需将上式中的ρ换成ρ
由0到ΔH换成H到H＋D。
0，将z的积分限
均衡重力异常
4 g 4 gi
i
g0 0 g 1g 2 g 3g 4 g 0
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2） 爱黎－海斯卡涅系统
这种系统由爱黎提出，海斯卡涅导出了实用于大地 测量的公式。其原理如图所示， 地球表层的密度是均
2 h
2 g G 0 0
0
2
zr r2
z2
3 ddzdr
2g 2fH 0.1118 H g0 0 g 1g 2 g 0
布格重力异常 （不完全）
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3. 局部地形改正
由于中间层的上表面并不是平面，而是曲面。进行
地形改正 分填平。
3
g
，就是要把地面凸起部分削去，把凹陷部
部分Ⅰ：它的引力指向上方，由于它的存在使A点
重力归化的三个主要目的： （1）求定大地水准面； （2）内插和外推重力值（需要先移去高频变 化，然后再恢复）； （3）研究地壳状态。
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三、重力归算 重力归化包括以下步骤：
首先将大地水准面外部的地形质量全部去掉，或 者移到大地水准面以下去，然后再将重力测量结果从 地面降低到大地水准面上。
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三、重力归算
Tp
p0
ne
p0 g p p0 g
GM r2
,
r
2
GM r3
2 ,
r
n r
T 2 T g r r
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二、确定大地水准面的理论和方法
1、斯托克司（Stokes）解法 如果我们通过重力归算，将大地水准面以外的
地形质量去掉，边值条件变为：
T r
|r R
2T R
g
如果令椭球的离心力位等于地球的离心力为，
V |s = V0
lim V = 0
∞
2
一、大地水准面差距和垂线偏差
补充说明：
1、理论上除了确定其M和ω值外，其规则形状可以 任意选择。但考虑到实际使用的方便，又顾及几何大地 测量中采用旋转椭球的实际情况，目前都采用水准椭球 作为正常椭球。
2、对于正常椭球，除了确定其4个基本参数：a, J２， fM和ω外，也要定位和定向。正常椭球的定位是使其 中心和地球质心重合，正常椭球的定向是使其短轴与地 轴重合，起始子午面与起始天文子午面重合。
▪ 1．空间改正 假设在图中，A 为地面上一点，A0 为大地水准 面上相应的投影点，A点的高程为H，我们要 将A点的重力加以改正归算到大地水准面上， 求出A0 点的重力值。现求其改正数。
1g 0.3086 H
空间重力
异常
g0 0 g 1g 0
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2．层间改正 将这两个平面间的质量去掉，这样引起的重 力改正叫层间改正，记为 2g 。 由于质量层在重力观测点的下方，去掉它时重力 的值必然减小，所以 2g总是为负的。 两个平行平面间的质量层可被看作半径趋于无穷 大的圆柱体，而此时的重力观测点可被当作位于 圆柱体项面的中心，所以：
由此可求得补D偿密度H为 D
0
H
D
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在海洋地区，设海洋面与大地水准面重合，P为海洋深 度，取海水密度为1.03g·cm－3，则
D 1.03P (D P)
这可由比较Ⅱ和Ⅲ两个柱体得到，并且可以解得补偿 密度为
0
(
1.03)P DP
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观测均值衡的改改正正就，是因补此偿，密其度计为算δ0方的法物与质地对形重改力正 相似。
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二、确定大地水准面的理论和方法
3、Stokes与Molodensky关系
1） Stokes 要求大地水准面外部没有质量，这就需要将重 力观测值归算到大地水准面上，从而需要对密度进行假 设。 Molodensky避免了复杂的重力归算。
2） Molodensky的零次解就是Stokes解； Molodensky的 一次解相当于Stokes解+局部地形改正；
布隆公式： 将几何量N与 物理由量假来T定联：系W起p = Upo
N Tp T0
0 0
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一、大地水准面差距和垂线偏差
5、垂线偏差
▪ 通过对Np在子午圈方向和夘酉圈方向求导， 球可以得出垂线偏差分量（按弧度表示）：
p
1
M 0
T
p
N
1
cos 0
T
M：子午圈半径；N：夘酉圈半径
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一、大地水准面差距和垂线偏差
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将每一个小部分看作是两个扇形柱的差，
可得：
3g 3gi
i
△3gi G
2 1
h 0
r2 ZrddZdr
r1 (r 2 Z 2 )3 / 2
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4.布格重力异常 （1）布格改正 我们称 1g ＋ 2 g ＋3g 为完全的布格改正。 （2）布格重力异常 加入布格改正后计算的重力异常称为布格重力异常。
如图所示：在大地水准 面下方某一深度处存在 一个补偿面，该面下方 的密度是均匀的，上方 的质量在该面上产生的 压强处处相等。
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用D表示由大地水准面到补偿面的距离，叫补 偿深度，H表示地面到大地水准面的距离，即为海 拔高程，大地水准面上方的地壳密度用δ表示，一般 取δ＝2.67g·cm－3，大地水准面与补偿面之间地壳的 密度用δ′表示。若H=0，则大地水准面下方的质量无 需补偿，δ′＝δ。在大陆地区，设两个柱体Ⅰ和Ⅱ的 底面积相等，则它们的质量也相等，所以
2
g g0 0
此公式是在假定大地水准面之外没有扰动物质及 全球重力异常Δｇ都已知的情况下推导的。然而这两 个条件都还不能实现，所以重力方法至今也没有得到 独立的应用。
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二、确定大地水准面的理论和方法
▪ 2、Molodensky方法
Stokes法假定正常椭球之外没有质量，所有观测之 必须在属于大地水准面上，而实际的大地测量工作都 是在地球自然表面上，这就意味着要知道大地水准面 之上的物质密度。为避免这种状况，Molodensky提出 采用重力方法直接确定大地水准面的方法。
即 g0 0 g 1g 2 g 3g 0