专题26 相对相称—对称分析法
阅读与思考
当代美国数学家赫尔曼·韦尔指出：对称尽管你可以规定其含义或宽或窄，然而从古到今都是人们用来理解和创造秩序、美妙以及尽善尽美的一种思想. 许多数学问题所涉及的对象具有对称性（不仅包括几何图形中的对称，而且泛指某些对象在某些方面如图形、关系、地位等彼此相对又相称）.
对称分析法就是在解题时，充分利用自身条件的某些对称性辅助解题的一种分析方法，初中阶段主要研究下面两种类型的对称：
1.代数中的对称式
如果把一个多项式的任意两个字母互换后，所得的多项式不变就称这个多项式为对称式，对称式的本质反应的是多元多项式中字母地位相同，任何一个复杂的二元对称式，都可以用最简单对称多项式b
a ，ab表示，一些对称式的代数问题，常用最简对称式表示将问题解决.
2.几何图形的对称
几何图形的对称指的是轴对称和中心对称，一些几何问题，如果我们作出图形的对称轴，或者作出已知点关于某线（某点）的对称点，构造出轴对称图形、中心对称图形，那么就能将分散的条件集中起来，容易找到解题途径.
例题与求解
【例l】如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC 上的一个动点，点M、N分别是边AB，BC的中点，则PM+PN的最小值是. (荆门市中考试题)
解题思路：作M 关于AC 的对称点M '，连MN 交AC 于点P ，则PM +PN 的值最小.
B
C
A
【例2】已知a ，b 均为正数，且2=+b a ，求W =1422+++b a 的最小值. （北京市竞赛试题）
解题思路：用代数的方法求W 的最小值较繁，22b a +的几何意义是以a ，b 为边的直角三角形的斜边长，构造图形，运用对称分析法求出W 的最小值. 【例3】已知11122=-+-a b b a ，求证：122=+b a （四川省竞赛试题）
解题思路：解决根式问题的基本思路是有理化，有理化的主要途径是：乘方、配方、换元和引入有理化因式，引入与已知等式地位相对相称的有理化因式，本例可获得简证．
【例4】 如图，凸四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于O ，且AC ⊥BD ，
已知OA＞OC，OB＞OD，
求证：BC＋AD＞AB＋CD .
（“祖冲之杯”邀请赛试题）
解题思路：解题的关键是将有关线段集中到同一三角形中去，以便运用三角形三边关系定理，以AC为对称轴，将部分图形翻折．
D B
C
【例5】如图，矩形ABCD中，AB＝20厘米，BC＝10厘米，若在AC、AB上各取一点M，N，使BM＋MN的值最小，求这个最小值. （北京市竞赛试题）
解题思路：要使BM＋MN的值最小，应该设法将折线BM＋MN拉直，不妨从作出B点关于AC的对称点入手.
能力训练
1.如图，六边形ABCDEF 是轴对称图形，CF 所在的直线是它的对称轴. 若∠
AFC ＋∠BCF ＝0150，则∠AFE ＋∠BCD 的大小是 . (武汉市中考试题)
A
O
(第1题图) （第2题图） （第3题图）
2.如图，矩形纸片ABCD 中，AB ＝2，点E 在BC 上，且AE ＝EC ，若将纸片沿AE 折叠，点B 恰好落在AC 上，则AC 的长是 .
(济南市中考试题)
3. 如图，∠AOB ＝045，P 是∠AOB 内一点，PO ＝10，Q ，P 分别是OA 、OB 上的动点，则△PQR 周长最小值是 .
4. 比6
)56( 大的最小整数是 . （西安交通大学
少年班入学试题）
5.如图，已知正方形ABCD 的边长为3，E 在BC 上，且BE ＝2，P 在BD 上，
则PE＋PC的最小值为（）.
A．3
2B．13C．14D．15
6. 观察下列平面图形，其中是轴对称图形的有( ) .
A．1个B．2个C．3个D．4个(南京市中考试题)
7.如图，一个牧童在小河南4英里处牧马，河水向正东方流去，而他正位于他的小屋西8英里北7英里处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家，他能够完成这件事情所走的最短距离是（）.
A．)
185
4( 英里B．16英里C．17英里D．18英里
（美国中学生竞赛试题）
A
E P
(第5题图) （第7题图）
（第8题图）
8.如图，等边△ABC 的边长为2，M 为AB 中点，P 为BC 上的点，设P A ＋PM 的最大值和最小值分别为S 和L ，则22L S -等于（ ）
A ．24
B ．34
C ．23
D ．33 9.一束光线经三块平面镜反射，反射的路线如图所示，图中字母表示相应的度数
，
已
知
c
=060，求
e
d +与
x
的值.
（江苏省竞赛试题）
10. 求代数式9)12(422+-++x x 的最小值.
（“希望杯”邀请赛试题）
11. 在一平直河岸l 同侧有A B ，两个村庄，
A B ，到l 的距离分别是3km 和2km ，km AB a =(1)a >．现计划在河岸l 上建一抽水站P ，用输水管向两个村庄供水．
方案设计
某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案：图1是方案一的示意图，设该方案中管道长度为1d ，且1(km)d PB BA =+（其中BP l ⊥于点P ）；图2是方案二的示意图，设该方案中管道长度为2d ，且2(k m )d P A P B =+（其中点A '与点A 关
于l 对称，A B '与l 交于点P ）．
观察计算
（1）在方案一中，1d = km （用含a 的式子表示）；
（2）在方案二中，组长小宇为了计算2d 的长，作了如图13-3所示的辅助线，请你按小宇同学的思路计算，2d = km （用含a 的式子表示）． 探索归纳
（1）① 当4a =时，比较大小：12_______d d （填“＞”、“＝”或“＜”）； ② 当6a =时，比较大小：12_______d d （填“＞”、“＝”或“＜”）； （2）对a （当1a >时）的所有取值情况进行分析，要使铺设的管道长度较短，应选择方案一还是方案二？
图1 图2
图3
(河北省中考试题)
12．如图，已知平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为A（2，－3），B （4，－1）
（1）若P（x，0）是x轴上的一个动点，当△P AB的周长最短时，求x的值；（2）若C（a，0），D（3
a，0）是x轴上的两个动点，当四边形ABDC的周
长最短时，求a的值；
（3）设M，N分别为x轴和y轴上的动点，问：是否存在这样的点M（m，0）、N（0，n），使四边形ABMN的周长最短？若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由．。