2
常用均值不等式及证明证明
Hn
n
概念：
1、调和平均数：
1 1 1
a 1 a 2
a n
2、几何平均数：
Gn
a 1 a 2
1
a n
n
3
、算术平均数：
An
a 〔 a ?
a n
n
4
、平方平均数：
Qn
2 2
a
1 a 2
2
a n
n
这四种平均数满足 Hn Gn
An Qn
1
r 0 时)；
D x a i a ； a n n
(当 r 0 时)(即
i
D 0 a i a ； a n n
则有：当 r=-1、1、0、2 注意到 Hn w Gn< An w Qn 仅是上述不等式的特殊情
形，即
D(-1) w D(0) w D(1) w D(2)
由以上简化，有一个简单结论，中学常用
2
、ab
1 1 a b
均值不等式的变形：
(1)对实数a,b ，有a 2 b 2 2ab (当且仅当a=b 时取“=”号),a 2,b 2 0 2ab
对非负实数a,b ，有a
a 1> a 2、 、a n R ，当且仅当 a 1 a 2
a n 时取“=”号
均值不等式的一般形式：设函数
D x
a i r a ；
a n
a b
a 2
b 2
2 \ 2
⑶ 对负实数a,b ，有 a b -^ ab 0 ⑷ 对实数a,b ，有 a a - b b a - b
2
2
⑸ 对非负实数a,b ，有 a b 2ab 0
均值不等式的证明:
方法很多，数学归纳法（第一或反向归纳）
、拉格朗日乘数 法、琴生不等式 法、排序
不等式法、柯西不等式法等等
用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。

引理：设 A >0, B >0,则 A B n A n nA n-i B 注：引理的正确性较明显，条件
A > 0,
B > 0可以弱化为 A > 0, A+B> 0
（用数学归纳法）。

当n=2时易证;
假设当n=k 时命题成立，即
⑹
2
. 2
对实数a,b ，有a b
a b 2 2
⑺
2
对实数a,b,c ，有a
b 2
2
c
(8)
2
对实数a,b,c ，有 a
b 2
c 2 (9)
2
对非负数a,b ，有a
ab b 2
a b c (i0)
对实数a,b,c ，有
3
2ab
abc 2
ab bc ac
3a b 2
3 abc 原题等价于:
n
a n
a i a
2
a
n
k
a k
a i a
2
a
k
那么当n=k+i 时，不妨设
a k i 是a i , a 2,
,a k i 中最大者，
则
ka k i
a
k 1
设
s
a i
a 2
a k
s ka k 1 - s k
k k 1
k
ka k 1 - s
X,X 1,X 2, , X n 是函数f x 在区间（a,b ）内的任意n 个
点,
X 1 x 2
x n f X [ f x 2 f x n
则有： f
n
n
设f X In X ， f X 为上凸增函数
所以，
. x 1 x 2 x n In x 1 In x 2 In x n In ------------------- --------------------------------
n n 1
In X^2
x n n
X 1 X 2
X n
1
X 1X 2 人 n
用引理
a
k 1
琴生不等式：上凸函数
在圆中用射影定理证明（半径不小于半弦）。