q0 q1 q2 q3p0 p0 p1 p2 p3q0
qpq1 q0 q3 q2 p1p1 p0 p3 p2q1
q2 q3
q3 q2
q0 q1
q1p2 p2 q0 p3 p3
p3 p2
p0 p1
p1 q2 p0 q3
四元数的定义和性质
逆元：q1
1
q0 q1i q2 j q3k
q0 q1i q2 j q3k
q0 q1i q2 j q3k q0 q1i q2 j q3k
q0 q1i q2 j q02 q12 q22
q3k q32
q* q2
2
q*q0q1iq2jq3k
q 2
q0 2q12q2 2q3 2
如果 q 1 ,则 q 1 q*
q
2
四元数的定义和性质
除法：分为左除和右除。对四元数 x , p 和 q
0
1
0
y'
z'' sin 0 cos z'
四元数的应用举例（1）
欧拉角表示的地面坐标轴系 S g 与机体坐标轴系S b 的转化
③绕 x '' 轴转动横滚角 ，有S '' Sb
xb 1
yb
0
0
cos
0 x''
sin
y''
zb 0 sin cosz''
综上，按Байду номын сангаасZYX 的转动顺序，由 Sg Sb 的转换矩阵为：
cos2
sin 2
对非标量四元数 R 和R ' ：若有 R' qRq1，则：
① 两者的范数和标量部分是相同的 ② R ' 的矢量部分为 R 绕欧拉轴 旋转 角
其中 Rrr,R' r' r'
即绕定点的矢量旋转可以用四元数来表示
四元数的定义和性质
用矩阵表示上述变换结果，假定 q 1
r r1 2 '' q 2 0 2 q q 1q 1 2 2 q q 2 2 0 q 3 q 3 2
四元数的定义和性质
定义：p p 0 p 1 i p 2 j p 3 k p 0 ,p 1 ,p 2 ,p 3
乘法：不具有交换律
q pq0q 1 iq2jq3k p0p 1 ip2jp3k q0p0q 1p 1q2p2q3p3q 1p0q0p 1q2p3q3p2i q2p0q0p2q3p 1q 1p3jq3p0q0p3q 1p2q2p 1k
2q 1 q2q 0q 3 q 0 2q 1 2q 2 2q 3 2
2 2q q 1 2 q q 3 3 q q 0 0 q q 2 1 r r1 2
r3 ' 2q 1q 3q 0q 2 2q 2q 3q 0q 1 q 0 2q 1 2q2 2q 3 2 r3
形式 q q* 称为旋转算子，确定了角度为 的旋转 q* q则给出了反向旋转
四元数的应用举例（2） 四元数表示的地面坐标轴系 S g 与机体坐标轴系S b 的转化
对S g 中的某一不变矢量rr1i1r2i2r3i3 当Sg Sb ，则 r r' r1'i1r2'i2r3'i3，r' r1e1r2e2r3e3
的符号取决于 的符号选择，即方向的选取
四元数的定义和性质
四元数的几何解释：qcossin
在垂直于 的平面上选择两个矢量：a a1i a2 j a3k b b1i b2 j b3k
qcossin a babba
a
a
ba* ba1 a
qab
揭示四元数与矢量旋转之间的关系
四元数的定义和性质
四元数的旋转变换： q
四元数理论及其应用
目 录 Contents
四元数的产生背景 四元数的定义和性质 四元数的应用举例 总结
四元数的产生背景
起源
发展
应用
Hamilton 于1843年 扩展复数到 更高维的层 次，指出矢 量之间的变 换
Maxwell将 四元数数量 部分和矢量 部分的分开 ，作了大量 矢量分析等
在飞行器 姿态解算 中的应用 ，来解决 大姿态角 的控制问 题
xpqxqp1 pxqx p1q
p 1 p 2 p n* p n * p 2 * p 1 * ② p 1 p 2 p n 1 p n 1 p 2 1 p 1 1
③ S c a l p 1 p 2 p 3 S c a l p 2 p 3 p 1 S c a l p 3 p 1 p 2 ④ V e c t p 1 p 2 p 3 V e c t p 3 p 2 p 1
四元数的应用举例（1）
欧拉角表示的地面坐标轴系 S g 与机体坐标轴系S b 的转化
①绕z g 轴转动偏航角 ，有S g S '
x' cos
y'
sin
z' 0
sin cos
0
0 0
xg yg
1zg
②绕 y ' 轴转动俯仰角 ，有S' S''
x'' cos 0 sinx'
y''
四元数的定义和性质
四元数：qq0q1iq2jq3k q q 0 qq q 1 i q 2 j q 3 k
qq0,q1,q2,q3
四元数组成四元数域 （加法交换律、结合律；乘法结合律、分配律；单元、零元、逆元）
单元： I10i0j0k 零元： 000i0j0k 负元： q q 0 q 1 i q 2j q 3 k
四元数的定义和性质
四元数的规范化：
qq2
q0 q
2
q1iqq2j2q3k
定义单位矢量： q 1 iq 2jq 3k qq q 0 q 1 2q 2 2q 3 2
q 1 2q 2 2q 3 2
2 q2
q 2
定义： q 0 c o s q
2
q12q22q32 sin 0
q 2
q q2c o s sin
由上述矩阵L 可解算出三个姿态角
a rc ta n L L 1 1 2 1 a rc sinL 1 3 a rc ta n L L 3 2 3 3
奇异性问题：当
2
时，L110,L330
, 无法确定，姿态角解算出现奇异
姿态矩阵及姿态角的解算涉及超越函数计算，运算量较大
c o sc o s
c o ssin
sin
L sin c o s sin sin c o ssin sin sin c o s c o sc o ssin
sin c o s c o s sin sin sin sin c o s c o s sin c o sc o s
四元数的应用举例（1） 欧拉角表示的地面坐标轴系 S g 与机体坐标轴系S b 的转化