盘点“比较函数值大小的方法”
杨光冬 湖北省孝感市肖港初级中学 邮编432023
初中数学第二十八章《锐角三角函数》学完后，整个第三学段的函数就结束了. 每年中考前的系统复习中， 我们经常遇到比较两函数值（或多个函数值）大小的考题，学生遇到这类题型得分率虽然较高，但笔者在课堂教学中发现，学生对这类题型的掌握并不系统，针对这种现象，笔者在此对比较函数值大小的比较方法作一个总的盘点，希望对大家的教学有所帮助.
一、同一函数中比较函数值的大小 解法1：运用增减性比大小
例1：点A （-3，y 1）、B （-5，y 2）均在双曲线x
y 3
=上，试比较y 1和y 2的大小. 解析：因为反比例函数x
y 3
=
的图象是双曲线，在每个象限内，y 随x 的减小而增大 且点A （-3，y 1）、B （-5，y 2）在第三象限的同一支曲线上，所以12y y >.
例2：点A （-3，y 1）、B （-5，y 2）均在抛物线322
++=x x y 上，试比较y 1和y 2的大小.
解析：因为抛物线322
++=x x y 的对称轴是直线1-=x ，其开口向上，所以在对称轴左侧的抛物线上y 随x 的减小而增大，因此12y y >.
解法2：运用正负性比较反比例函数值的大小
例3：点A （-3，y 1）、B （1，y 2）均在双曲线x
y 3
-=上，试比较y 1和y 2的大小.
解析：因为反比例函数x
y 3
-=的图象是双曲线，在每个象限内，y 随x 的减小而减小，
但是点A （-3，y 1）、B （1，y 2）不在同一支曲线上，所以不能用增减性比较1y 和2y 的大小. 又因为A （-3，y 1）、B （1，y 2）分别位于第二、第四象限的图象上，所以0
>y ，0<y ，
因此21y y >.
解法3：运用距离比较二次函数值的大小
例4：点A (-2，y 1)、B (3.5，y 2)、C (5，y 3)均在 抛物线y =x 2-2x -3上，试比较y 1、y 2和y 3的大小.
解析：因为点A (-2，y 1)、B (3.5，y 2)、C (5，y 3) 不在对称轴（直线1=x ）同侧的抛物线上，所以不 能直接用增减性比较y 1和y 2、y 3的大小，此时我们 可以用抛物线的对称性将A (-2，y 1)先转化到对称轴 右侧的抛物线上，使A 、B 、C 三点在对称轴的同侧，
再用抛物线的增减性比较y 1、y 2和y 3的大小；也可以先求出-2、3.5、5和1的距离：
3)2(1=--、5.215.3=-、415=-. 因为抛物线开口向上，所以距离越大，说明相对
应的点越高，其纵坐标越大（反之，若抛物线开口向下，所以距离越大，说明相对应的点越低，其纵坐标越小）. 因此点C (5，y 3)最高，点B (3.5，y 2)
解法4：运用动态的图形分析三角函数值的大小
例5：当O
900<<<βα时，试比较αcos 和βcos 的大小 解析：如图(2)，Rt △ABC 中，∠C =90O
，当∠B 逐 渐增大时，其邻边BC 不变，斜边逐渐增大BA />BA ，所 以
/
BA BC
BA BC >
. 这说明当锐角逐渐增大时，其余弦值 逐渐减小，所以当O
900<<<β
α时，αcos >βcos
我们还可以用图(3)，类比探究锐角的正弦和正切值的增减性.
二、比较不同函数值的大小 （一）预备知识：
1、比较不同函数值大小的前提条件：
当自变量x 相等时，才能比较不同函数值的大小. 例6：如图（4），直线)0(1≠+=k b kx y 与 直线)0(2≠+=m n mx y 相交于A （3，5），试比 较1y 与2y 的大小.
解析：如图，经过A 点作直线l ⊥x 轴 ①当x =3时，1y =2y
②当x >3时，由图象可看出1y >2y ③当x <3时，由图象可看出1y <2y 2、经验归纳：
从例6中可直观的看出，当x 等于交点横坐标时，两函数值相等；分别在x >3和 x <3的两个区域内，若图象在上面，其函数值就大；若图象在下面，其函数值就小.
在以上两个预备知识的基础上，我们可用三线六域比较不同函数值的大小.
（二）运用三线六域比较不同函数值的大小
例7：如图，直线f x y +-=1和双曲线x
e
y =2相交于A (-2,m )、B (3,n )，问：当x 分别
取何值时，1y =2y 、1y >2y 、1y <2y ？
解析：分别经过A 、B 两点作x 轴的垂线. 以这两条垂线和y 轴为分界线，将自变量x 的取值范围分为六个区域，每个区域x 的取值范围如图（5）所示：
在第⑤、⑥区域内，两函数值分别相等；
C
A / 图（2）
/
C 图（3）
)0(≠k b
)0(≠+m n
因为在①、③区域内，直线在曲线的上面， 所以1y >2y
因为在②、④区域内，直线在曲线的下面, 所以1y <2y
因此，当x=-2或x=3时，1y =2y 当x <-2或0<x<3时，1y >2y 当-2<x <0或x>3时，1y <2y
由以上分析过程，我们可得到三线六域中 的三个结论：
结论一：在六个区域中，当x 的值分别等 于两交点横坐标时，两函数值相等；
结论二：在①、②、③、④区中，①、③ 区结果相同，②、④区结果相同，
结论三：②、④区的结果与①、③区的结果相反.
有了以上归纳的三个结论，今后，我们只需分析一个区域的结果，就能推导出其余区域的结果了.
（三）三线六域的类比应用
当直线和抛物线相交时，我们可以类比三线六域得到两线五域. 而且两线五域的结论和三线六域的结论是一致的.
例8：如图，抛物线)0(2
1≠++=a c bx ax y 和直线f x y +=2相交于A (3,m )，B (-1,n )，当x 分 别取何值时，y 1= y 2、y 1< y 2、y 1> y 2？
解析：分别经过A 、B 两点作x 轴的垂线. 因为抛物线是一条连续的图象，所以只能以 两条垂线作为分界线把自变量x 的取值范围 分为五个区域，类比例7，观察每个区域， 同理可得：
当x =-1或x =3时，即在第④、⑤区域内，1y =
y 当x <-1或x >3时，即在第①、③区域内，1y >y 当-1<x <3时，即在第②区域内，1y <2y 此结果和例7所得结论是一致的.
④
⑤。