数列综合测试题第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。

)1.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 33－S 22＝1，则数列{a n }的公差是( )A.12B ．1C ．2D ．32．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若8a 2＋a 5＝0，则下列式子中数值不能确定的是( )A.a 5a 3B.S 5S 3C.a n ＋1a nD.S n ＋1S n3.(理)已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)的值是( )A ．－5B ．－15C ．5D.154．已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a nb n为正偶数时，n 的值可以是( )A ．1B ．2C ．5D ．3或115．已知a >0，b >0，A 为a ，b 的等差中项，正数G 为a ，b 的等比中项，则ab 与AG 的大小关系是( )A ．ab ＝AGB ．ab ≥AGC ．ab ≤AGD ．不能确定6．各项都是正数的等比数列{a n }的公比q ≠1，且a 2，12a 3，a 1成等差数列，则a 3＋a 4a 4＋a 5的值为( )A.1－52B.5＋12C.5－12D.5＋12或5－127．数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －49，当该数列的前n 项和S n 达到最小时，n 等于( ) A ．24 B ．25 C ．26D ．278．数列{a n }是等差数列，公差d ≠0，且a 2046＋a 1978－a 22012＝0，{b n }是等比数列，且b 2012＝a 2012，则b 2010·b 2014＝( )A ．0B ．1C ．4D ．89．已知各项均为正数的等比数列{a n }的首项a 1＝3，前三项的和为21，则a 3＋a 4＋a 5＝( )A ．33B ．72C ．84D ．18910．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 3＝a 5，a m ＝2011，则m ＝( ) A ．1004 B ．1005 C ．1006D ．100711．设{a n }是由正数组成的等差数列，{b n }是由正数组成的等比数列，且a 1＝b 1，a 2003＝b 2003，则( )A ．a 1002>b 1002B ．a 1002＝b 1002C ．a 1002≥b 1002D ．a 1002≤b 100212．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝6n －4，数列{b n }的通项公式为b n ＝2n ，则在数列{a n }的前100项中与数列{b n }中相同的项有( )A ．50项B ．34项C ．6项D ．5项第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．已知数列{a n }满足：a n ＋1＝1－1a n，a 1＝2，记数列{a n }的前n 项之积为P n ，则P 2011＝________.14．秋末冬初，流感盛行，荆门市某医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列{a n }，已知a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n (n ∈N *)，则该医院30天入院治疗流感的人数共有________人．15．已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 3＋a 10a 1＋a 8＝________.16．在如图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，且从上到下所有公比相等，则a ＋b ＋c 的值为________．三、解答题()17．设数列{a n }的前n 项和为n S =2n 2，{b n }为等比数列，且a 1=b 1，b 2(a 2 －a 1) =b 1。

（1）求数列{a n }和{b n }的通项公式； （2）设c n =nnb a , 求数列{c n }的前n 项和T n .18．设正数数列{n a }的前n 项和n S 满足2)1(41+=n na S ． （I ）求数列{n a }的通项公式； （II ）设11+⋅=n n n a a b ，求数列{n b }的前n 项和n T19.已知数列{b n }前n 项和为S n ，且b 1＝1，b n ＋1＝13S n .(1)求b 2，b 3，b 4的值； (2)求{b n }的通项公式；(3)求b 2＋b 4＋b 6＋…＋b 2n 的值．20．已知函数)(x f =157++x x ,数列{}n a 中,2a n +1－2a n +a n +1a n =0，a 1=1,且a n ≠0, 数列{b n }中, b n =f (a n －1)（1）求证：数列{na 1}是等差数列； （2）求数列{b n }的通项公式； (3)求数列{n b }的前n 项和S n .21.数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n (n ＋1)(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足：a n ＝b 13＋1＋b 232＋1＋b 333＋1＋…＋b n3n ＋1，求数列{b n }的通项公式；(3)令c n ＝a n b n4(n ∈N *)，求数列{c n }的前n 项和T n .22．已知数列{n a }满足11=a ，且),2(22*1N n n a a nn n ∈≥+=-且（1）求证：数列{n na 2}是等差数列；（2）求数列{n a }的通项公式； （3）设数列{n a }的前n 项之和n S ，求证：322->n S n n。

数列综合测试题答案一 选择题1-6CDADCC 7-12 ACCCCD二 填空题13__2__． 14____255____．15____223+____．16___22_____． 三．解答题17. 解：（1）∵当n=1时 ，a 1=S 1=2；当n ≥2时，a n =S n －S n －1=2n 2 －2(n －1)2=4n －2. 故数列{a n }的通项公式a n =4n －2，公差d=4.设{b n }的公比为q ，则b 1qd= b 1，∵d=4，∴q=41.∴b n =b 1q n －1=2×141-⎪⎭⎫ ⎝⎛n =142-n ,即数列{ b n }的通项公式b n =142-n 。

（2）∵114)12(4224---=-==n n nn n n n b a c∴T n =1+3·41+5·42+······+(2n －1)4n－1∴4T n =1·4+3·42+5·43+······+(2n －1)4n两式相减得3T n =－1－2（41+42+43+······+4n －1）+(2n －1)4n =]54)56[(31+-nn∴T n =]54)56[(91+-nn18．解：（Ⅰ）当1=n 时，2111)1(41+==a S a ，∴ 11=a . ∵ 2)1(41+=n n a S ， ① ∴ 211)1(41+=--n n a S (n )2≥. ②①－②，得 2121)1(41)1(41+-+=-=--n n n n n a a S S a ，整理得，0)2)((11=--+--n n n n a a a a ， ∵ 0>n a ∴ 01>+-n n a a .∴ 021=---n n a a ，即)2(21≥=--n a a n n . 故数列}{n a 是首项为1，公差为2的等差数列.∴ 12-=n a n . （Ⅱ）∵ )121121(21)12)(12(111+--=+-=⋅=+n n n n a a b n n n ，∴ n n b b b T +++= 21)121121(21)5131(21)311(21+--++-+-=n n )1211(21+-=n 12+=n n .19. [解析] (1)b 2＝13S 1＝13b 1＝13，b 3＝13S 2＝13(b 1＋b 2)＝49，b 4＝13S 3＝13(b 1＋b 2＋b 3)＝1627.(2)⎩⎨⎧b n ＋1＝13S n ①b n＝13Sn －1 ②①－②解b n ＋1－b n ＝13b n ，∴b n ＋1＝43b n ，∵b 2＝13，∴b n ＝13·⎝⎛⎭⎫43n －2(n ≥2)∴b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (n ＝1)13·⎝⎛⎭⎫43n －2(n ≥2).(3)b 2，b 4，b 6…b 2n 是首项为13，公比⎝⎛⎭⎫432的等比数列， ∴b 2＋b 4＋b 6＋…＋b 2n ＝13[1－(43)2n ]1－⎝⎛⎭⎫432＝37[(43)2n －1]． 20．解：（1）2a n+1－2a n +a n+1a n =0 ∵a n ≠0, 两边同除a n+1a n21111=-+n n a a ∴数列{n a 1}是首项为1,公差为21的等差数列（2）∵n a 1=21)1(11+=-+n d n a∴a n －1=)(,11N n n n∈+- ∵b n =f (a n －1)=f (11+-n n)=－n+6 (n ∈N)（3） －n+6 (n≤6, n ∈N)n b = n －6 (n>6, n ∈N)2)11(2)6(1n n n b n -=-+ (n≤6, n ∈N) ∴S n =260112))(6(276+-=+-+n n b b n S n (n>6, n ∈N)21.[解析] (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n (n ＋1)－(n －1)n ＝2n ，知a 1＝2满足该式 ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n .(2)a n ＝b 13＋1＋b 232＋1＋b 333＋1＋…＋b n3n ＋1(n ≥1)①∴a n ＋1＝b 13＋1＋b 232＋1＋b 333＋1＋…＋b n3n ＋1＋b n ＋13n ＋1＋1②②－①得，b n ＋13n ＋1＋1＝a n ＋1－a n ＝2，b n ＋1＝2(3n ＋1＋1)，故b n ＝2(3n ＋1)(n ∈N *)． (3)c n ＝a nb n4＝n (3n ＋1)＝n ·3n ＋n ， ∴T n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n ＝(1×3＋2×32＋3×33＋…＋n ×3n )＋(1＋2＋…＋n ) 令H n ＝1×3＋2×32＋3×33＋…＋n ×3n ，① 则3H n ＝1×32＋2×33＋3×34＋…＋n ×3n ＋1② ①－②得，－2H n＝3＋32＋33＋…＋3n －n ×3n ＋1＝3(1－3n )1－3－n ×3n ＋1∴H n ＝(2n －1)×3n ＋1＋34，∴数列{c n }的前n 项和T n ＝(2n －1)×3n ＋1＋34＋n (n ＋1)222解．(1)),2(22*1N n n a a n n n∈≥+=-且)2......(..........2)21(2252232212)1....(..........2)21(225223221)3(2)21(,211)1(21)1(212)1()2(,212,1,}{),2(122,12214323211*1111+----⋅-++⋅+⋅+⋅=∴⋅-++⋅+⋅+⋅=⋅-=∴-=⋅-+=-+===∴∈≥=-+=∴n n n n nn n n nn n n n n n n n n n S n S n a n n d n a a d a N n n a a a a 得由首项公差为是等差数列数列且即12)21(22222)21(221)2()1(132132-⋅--++++=⋅-++++=--++n n n n n n S 得322,2)32(32)32(.32)23(12)21(21)21(21->∴⋅->+⋅-=-⋅-=-⋅----=+n S n S n n n nn n n n n n。