数列综合练习
一、选择题：本大题共6小题，每小题6分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。

1若公比为2的等比数列｛a n｝的各项都是正数，且aa i=16,则a5等于（）.
A. 1
B.2
C.4
D.8
2•若数列｛a n｝的前n项和S=2n2-3n（n€N）,则a4等于
A.11
B.15
C.17
D.20
3•已知｛a n｝,｛ b n｝都是等差数列，若a1+b10=9, a3+b=15,则a s+b e等于
A.18
B.20
C.21
D.32
4.某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产.已知该生产
1
线连续生产n年的产量为f （n）=1n（ n+1）（2 n+1）吨,但如果年产量超过150吨,将会给环境
2
造成危害.为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是
A. 5年
B. 6年C7年 D.8年
5•设S为等差数列｛a n｝的前n项和，（n+1）S<nS+1（n€N*）若旦< -1则 a7
A. S的最大值是S8
B. S的最小值是S8
C. S的最大值是S z
D. S的最小值是S z
6.若2a, b，2c成等比数列，则函数y = ax2+ bx+ c的图象与x轴的交点个数是（）
A. 0 B . 1 C . 2 D . 0 或 2
7•各项均为正数的等比数列｛a n｝的前n项和为S，若S=2, S3n=14,则&等于（）
A.80
B.30
C.26
D.16
&若数列｛a n｝的通项公式为a n=2n+2n-1，则数列｛a n｝的前n项和为（）.
A2 n+n2-1 B. 2n+1+n2-1 C .2 n+1+n2- 2 D .2 n+n-2
9.等差数列｛a n｝的首项为1,公差不为0.若a2, a3, a6成等比数列，则｛a n｝前6项的和为（
）
A.-24
B.-3
C.3
D.8
10.设等差数列｛a n｝的前n项和为S，若a1=-11, a4+a6=-6,则当S取最小值时，n等于（）
A.6
B.7
C.8
D.9
11.设数列｛2n-1｝按第n 组有n个数(n 是正整数)的规则分组如
下:(1),(2,4),(8,16,32), …,则第101组中的第一个数为()
4 951
A 2 4 950 5 051 5 050
B. 2 C 2 D. 2
12 •已知函数f(x)是定义在(0,")上的单调函数，且对任意的正数x, y都有
f(x y)=f(x)+f(y),若数列｛a n｝的前n 项和为S,且满足f(S+2)-f (a n)=f(3)( n€Nl),则
a n等于(
n-1 A. 2 )
n 1
B.n C2n-1 D. 3
2
二、填空
题：
本大题共 4小题，每小题6分。

13•在3和一个未知数间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去6,则成等比数列，
则此未知数是___________ •
14•设数列｛a n｝为公比q>1的等比数列，若a4, a5是方程4x2—8x + 3 = 0的两根，则a6+
15•已知两个数列｛a n｝,｛ b n｝满足b n=3n a n,且数列｛b n｝的前n项和为S=3n-2,则数列｛a n｝的通项公式为___________ .
1 1
16.若数列｛a n｝满足一—=d(n€ g, d为常数)，则称数列｛a n｝为调和数列，已知数列
a n 1 a n
｛丄｝为调和数列，且X1+X2+…+x?o=2OO,则X5+X16= _________
X n
三、解答题：本大题共 3小题，满分45分.
2
17. (10分)已知a1 = 2,点(a n, a n+1)在函数f (x) = x + 2x的图象上，其中1,2,3，….
(1) 证明数列｛lg(1 + a n)｝是等比数列；
(2) 求a n的通项公式.
18. (15 分)设数列｛a n｝的前n 项和为S.已知S2=4, a n+i=2S+1, n€N*.
(1)求通项公式a n；
⑵求数列｛|a n rn- 2|｝的前n项和.
19. (15分)已知等差数列｛a n｝的前n项和S满足S=0, $=-5.
(1)求数列｛a n｝的通项公式；
⑵求数列｛- ｝的前n项和
a2n 1a2n 1
20. (10分)已知｛a n｝为等差数列，且a3 = —6, a e= 0.
(1) 求｛a n｝的通项公式；
(2) 若等比数列｛b n｝满足b1= —8, b2= a1 + a?+ a3，求｛b n｝的前n项和公式.
21. （15分）已知｛a n｝是等差数列，｛b n｝是等比数列，且b=3, b a=9, a i=b i, a i4=b4. （1）求｛a n｝的通项公式；
⑵设C n=a+b n,求数列｛ C n｝的前n项和•
22 •（15分）等比数列｛a n｝的前n项和为S,已知对任意的n €N*,点（n, S）均在函数
x
y=b+r（b>0,且b詞，b, r均为常数）的图象上•
（1）求r的值；
n 1 *
⑵当b=2时，记b n（n N ）,求数列｛b｝的前n项和T n.
4a n
参考答案
一、选择题：本大题共 6小题，每小题6分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1 •解析：-33311 37 16,且3n>0, •• 37=4. - - 35 —
2 — 1
q2 22
答案:A
2 •解
析：
34=SrS3=20- 9=11.
答案:A
3.解析:
因为｛3n｝,｛ b n｝都是等差数列，
所以233=31 +35,2 b8=bi o+b6,
所以2( 33+b8) =( 31 + b10)+( 35+b6),
即35+b6=2( 33+b) - (3汁be) =2 X1& 9=21.
答案:C
4 •解析：
1
由题意可知第一年的产量为31-一X1X2X3-3;以后各年的产量分别为
2
a n=f(n)-f (n-1)
1 1 2
= ’n(n+1)(2 n+1)- (n -1)n(2 n-1)=3 n2.
2 2
令3n2<150,二1勺屿血又n€2,
••• 14筍，即生产期限最长为 7年.
答案:C
5.解析：由(n+1)S<nS+1,得(n+1)
"佝an)< n (n 1)佝^1),整理得a n<a n+1,所
2 2
以等差数列｛a n｝是递增数列.又a8< 1,所以a8>0, a7<0,所以数列｛a n｝的前7项为负值,
37
即S的最小值是S.
答案:D
6.解析：由题意，得b2= 4ac,令ax2+ bx+ c= 0,
•••△= b2—4ac= 0,故函数y = ax2+ bx+ c的图象与x轴相切，故选 B.
答案： B
7.解析：设 Sn=a, Sn=b,由等比数列的性质知2(14-a) =(a- 2),解得a=6或a=-4(舍去), 同理(6-2)( b-14) =(14-6)2,所以b=S n=30.
答案:B
& 解析：S n=(2+22+…+2)+(1+3+5+…+2n-1) 2(1 2 ) (1 2n 1) 2n 1 2 n2
1 2 2
答案:C
9.解析：设等差数列的公差为d,则d电a f=a2 aq即(1 +2d) 2=(1 +d)(1 +5d),解得d=-2,所
6 5
以$=6X1+ X(-2) =-24,故选 A.
2
答案:A
10 .答案:A
n 1 11 •解析：前100组共有1 +2+3+…+100=5 050个数，则第101组中的第一个数为数列｛2 -｝
的第5 051项,该数为25 050.
答案:D
12•解析:由题意知f(S+2)=f(a n)+f(3)( n€N),
•S+2=3a n, S-1+2=3a n-1(n支)，两式相减得2a n=3a n-1 (n支)，又n=1 时，S+2=3a1=@+2,
3 3 n 1
•- a1=1, •数列｛a n｝是首项为1,公比为3的等比数列，•a n=. 答案:D
2 2
、填空题：本大题共 4小题，每小题6分。

13•解析：设此三数为3, a, b
2a= 3+ b
a — 6 2= 3b。