J JX X JX
JX,X X
这里，JX ,X 是 X 的线性泛函，若 X 0 时，有 ， 0 则称 JX ,X 是泛函 J X 的变分。J 是 J
的线性主部。
图3-1自变量函数的变分
6、泛函的极值：
我们知道函数有极值问题，同样道理泛函也 有极值问题。泛函的极值问题就是要求出使泛函 取得最大值最小值的函数
y]
0
0
• 可见泛函取极值的条件与函数取极值的条件是类 似的，但它们之间有本质的差别。函数的极值条 件为自变量在某点处的增量 x 时0函数将以一定 的方式趋于零，即 y f (x0 x) f (x0) 0 ；而泛 函取极值的条件为y=y(x)在某处的变分 y 0时，
泛函以某种方式趋于零。
4、自变量函数的变分： 自变量函数 X (t)的变分 X
是指同属于函数类 X (t)中两个函数X1(t) 、X 2 (t)之差
X X1 (t) X 2 (t)
这里, t 看作为参数。当X (t) 为一维函数时，X 可用图3-1来表示。
5、泛函的变分：当自变量函数 X (t)有变分X 时， 泛函的增量为
2、泛函的连续性：若对任给的 0 ，存在 0
当 X (t) Xˆ (t) 时，就有
J ( X ) J ( Xˆ )
则称J (X ) 在 Xˆ 处是连续的。
3、线性泛函：满足下面条件的泛函称为线性泛函
JX JX
J (X Y ) J (X ) J (Y )
这里 是实数，X 和 Y 是函数空间中的函数。
变分与微分联系
（1）.变分与微分在数学意义上等同都是指微小的 变化，因此运算方法相同，但它们的运算对象不 同。
（2）.微分运算中，自变量一般是坐标等变量，因 变量是函数。
（3）.变分运算中，自变量是函数，因变量是函数 的函数，即泛函。
数 X(t) ，有一个实数 J与之相对应，则称 J为依
赖于函数 X(t) 的泛函。记为
J J{X(t)}
• 粗略来说，泛函是以函数为自变量的函数。
• 一般的泛函就是把函数作为元素来研究的一门学 科，泛函分析，举个简单一点的列子，我们以前 学的函数是把数字作为基本的元素来研究的，现 在更高一个层次，就是元素就是一个函数，比如 全体实系数连续函数构成一个集合A，那么这个A 中每一个元素就是一个函数，而泛函就是研究在 类似于A这种集合到数之间的关系，比如在定义一 个A到实数R的映射f(x),那么x就代表一个函数， 所以有些人也称为是研究函数的函数.
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0
• 其中, 为任意小的正数。
泛函取极值的条件
• 从数学分析中可知，可微函数y=f(x)在x=x0处取 极值的必要条件是该点处dy=0，即:
f x0
x 0
0
• 对于有变分的泛函I=I[y(x)]来说，在 y y0(x) 上 达到极值的必要条件是在该曲线上有 I 0，即:
I[ y0 (x)
所有容许的增量函数
X（自变量的变分），
泛函 J (X )在 X * 处的变分为零，即：
J(X*, X ) 0
为了判别是极大还是极小，要计算二阶变分δ2 J。
但在实际问题中根据问题的性质容易判别是极大还 是极小，故一般不计算δ2 J。 .
变分法
• 研究函数的极值问题用的是微分学，研究泛函极 值的方法是变分法。因此，变分法即研究泛函极 值的方法。
• 研究函数y=f(x)在一点的性态用的是微分。其中 包括自变量的微分dx和函数的微分dy，函数的微 分可写为:
dy f (x x )
0
• 其中 为任意小的正数。
• 类似地，研究泛函在一点的性态用变分。自变函
数y=y(x)的变分记为 y，泛函的变分记为 I 。
• I 的定义为;
I I y(x) y
y y(x)(或y1(x), y2(x)...)
因此，泛函极值即求使泛函取得最大（小）值的 函数。
泛函极值定义： 若存在 0，对满足的 X X * 一切X，J ( X ) J ( X * )具有同一符号，则
称 J (X ) 在 X X *处有极值。
定理： J (X ) 在 X X * 处有极值的必要条件是对于
第三章 用变分法解最优控制 —泛函极值问题
主讲人：翟立强
第一节 变分法基础
• 在动态系统最优控制问题中，性能指标是一个 泛函，性能指标最优即泛函达到极值。解决泛函 极值问题的有力工具是变分法。所以下面就来列 出变分法中的一些主要结果，大部分不加证明， 但读者可对照微分学中的结果来理解。
先来给出下面的一些定义 • 1、泛函：如果对某一类函数 {X(t)} 中的每一个函