1 / 40
2
������1 (������ ) ≝ ������ −������ , 那么
������2 (������) ≝ ������ −������ ������ sin ������,
2
Φ[������1 ] = 1 − ������ −2 ≈ 0.864665, 例 下面的泛函有两个宗量，
2. 泛函的连续性
对于泛函Φ[������]，给定函数������ (������ )，如果能够满足 ∀������ > 0, ∃������ > 0，当|������(������ ) − ������(������ )| < ������, |������′ (������ ) − ������ (������ )| < ������, ⋯ , |������(������)(������) − ������ (������) (������ )| < ������ 时，有 |Φ[������] − Φ[������]| < ������, 则称泛函Φ[������]在������处������阶接近的连续。
+∞
Φ[������2 ] ≈ 0.337979.
Φ[������, ������] ≝ ∫
0
������ (������ )������(������ )������ −������ ������������
泛函可类比于多变量函数， ������ = ������(������1 , ������2 , ⋯ , ������������ )~{������1 , ������2 , ⋯ , ������������ }, Φ[������]~{������ (������)|������ ∈ ������的定义域}. 这里的 ������(������) 相当于前面多变量函数的自变量 ������������ ， ������ ↔ ������, ������ ↔ ������ ；泛函 Φ[������] 是以无穷多个变量 ������(������1 ), ������ (������2 ), ⋯作为自变量的函数。
即函数形状的无穷小变化。在数学分析中，用小参量法定义变分为
2 / 40
������������ (������) = ������������ (������ ) 其中������为任意无穷小量，������ (������ )为任意连续有界函数。。
函数的微分������������(������1 , ������2 , ⋯ , ������������ ) ≝ ������(������1 + ������������1 , ������2 + ������������2 , ⋯ , ������������ + ������������������ ) − ������(������1 , ������2 , ⋯ , ������������ ). 泛函的变分������Φ[������] ≝ Φ[������ + ������������] − Φ[������].
17-11-08, 07:48
第 3 章 变分法与哈密顿原理
分析力学中的基本概念和原理与泛函的变分有直接联系。变分法是数学分析中的核心部分 之一，是一个强有力的数学工具。在量子力学、量子场论等物理后续课程，以及其它自然学科和 工程应用中，都有泛函变函的概念
普通的函数是从数到数的映射， ������: ������ n → ������, ������ = ������(������1 , ������������ , ⋯ , ������������ ) 自变量为一个或多个复数。 泛函是普通函数概念的推广，自变量是函数，甚至是任意集合， Φ: {函数} → ������ 泛函的自变量称为宗量。即给定一条或多条函数曲线（多变量函数为曲面）������ = ������(������)，泛函将其 对应到唯一的数值Φ[������] ∈ ������。
例 例
������������ ⃗������ ������������������
Φ[������] ≝ ������(������0 ), ������Φ[������] = (������ + ������������)(������0 ) − ������(������0 ) = ������������ (������0 ). 位 移 ������ ⃗������ [������1 , ������2 , ⋯ , ������] ≝ ������ ⃗������ (������1 (������), ������2 (������), ⋯ , ������) ， 虚 位 移 ������������ ⃗������ = ������ ⃗������ (������(������) + ������������ (������), ������) − ������ ⃗������ (������(������), ������) = ������������������ (������)。
3. 变分
泛函可类比于多变量函数， 多变量函数������(������1 , ������2 , ⋯ , ������������ )，自变量的微分为 ������������������ = ������������′ − ������������ 泛函Φ[������]的自变量为{������(������)|������ ∈ 定义域}，自变量的变分定义为 ������������ = ������ ′ − ������, ������������ (������) = ������ ′ (������ ) − ������(������)
定义域
值域
图 1 泛函的定义域和值域
例
������(������ ) ≝ ������ 2 + 2������是函数；Φ[������] ≝ ������(1)是泛函，并且有 Φ[sin] = sin 1 ≈ 0.84, Φ[exp] = e1 ≈ 2.718, Φ[������] = 3.
例
定义泛函Φ[������] ≝ ∫ ������(������)������������，如果有两个函数 0