自主招生讲座1—基础知识1.定义1 角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。

若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。

角的大小是任意的。

2.定义2 角度制，把一周角360等分，每一等份为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。

360=2π rad 。

若圆心角的弧长为L ，则其弧度数的绝对值|α|=rL ,其中r 是圆的半径（相应的扇形面积为12S Lr =）。

3.定义3 象限角：角的终边落在象限内的角，如2,6k k Z ππ+∈为第一象限角。

轴线角：角的终边落在坐标轴上的角，如终边落在x 轴上的角的集合为：{},k k Z ααπ=∈ 4.定义4 三角函数，在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x 轴的正半轴重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P ，设它的坐标为（x ,y ），到原点的距离为r,则正弦函数s in α=r y ,余弦函数co s α=r x ,正切函数tan α=xy ，余切函数cot α=y x ，正割函数se c α=xr ,余割函数c s c α=.y r （在单位圆中定义更加简单）（1）三角函数的正否：“一全二正弦，三切四余弦”（2）sin α与cos α大小关系如图：5.定义5 三角函数线：略6.定理1 同角三角函数的基本关系式，倒数关系：tan α=αcot 1,s in α=αcsc 1，co s α=αsec 1；商数关系：tan α=αααααsin cos cot ,cos sin =；乘积关系：tan α×co s α=s in α,cot α×s in α=co s α；平方关系：s in 2α+co s 2α=1, tan 2α+1=se c 2α, cot 2α+1=c s c 2α；若*sin cos 1(,2)n n n N n αα±=∈≠，则α为轴线角。

7.定理2 诱导公式（Ⅰ）s in (α+π)=-s in α, co s(π+α)=-co s α, tan (π+α)=tan α, cot (π+α)=cot α;（Ⅱ）s in (-α)=-s in α, co s(-α)=co s α, tan (-α)=-tan α, cot (-α)=cot α; （Ⅲ）s in (π-α)=s in α, co s(π-α)=-co s α, tan =(π-α)=-tan α, cot (π-α)=-cot α;（Ⅳ）s in ⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ2=co s α, co s ⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ2=s in α, tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ2=cot α（奇变偶不变，符号看象限）。

1< 1-<0=cos α8.三角函数的图像：略（留意cot ,sec ,csc x x x 的图像）9.正弦函数的性质，根据图象可得y =s inx （x ∈R ）的性质如下。

单调区间：在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-22,22ππππk k 上为增函数，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ232,22k k 上为减函数，最小正周期为2π. 奇函数. 有界性：当且仅当x =2kx +2π时，y 取最大值1，当且仅当x =3k π-2π时, y 取最小值-1。

对称性：直线x =k π+2π均为其对称轴，点（k π, 0）均为其对称中心，值域为[-1，1]。

这里k ∈Z .10.余弦函数的性质，根据图象可得y =co s x (x ∈R )的性质。

单调区间：在区间[2k π, 2k π+π]上单调递减，在区间[2k π-π, 2k π]上单调递增。

最小正周期为2π。

奇偶性：偶函数。

对称性：直线x =k π均为其对称轴，点⎪⎭⎫ ⎝⎛+0,2ππk 均为其对称中心。

有界性：当且仅当x =2k π时，y 取最大值1；当且仅当x =2k π-π时，y 取最小值-1。

值域为[-1，1]。

这里k ∈Z .11.正切函数的性质：由图象知奇函数y =tanx (x ≠k π+2π)在开区间(k π-2π, k π+2π)上为增函数, 最小正周期为π，值域为（-∞，+∞），点（2k π，0）均为其对称中心。

这里k ∈Z .12.csc y x =的性质：单调区间：增区间（2,22k k ππππ++），（32,22k k ππππ++），减区间（2,22k k πππ-），（2,22k k πππ+）；最小正周期为2π，奇函数，对称轴为2x k ππ=+，对称中心为(,0)k π，值域为(,1][1,)-∞-+∞。

这里k ∈Z .13. sec y x =的性质：单调区间：增区间（2,22k k πππ+），（2,22k k ππππ++），减区间（2,22k k ππππ--），（2,22k k πππ-）；最小正周期为2π，偶函数，对称轴为x k π=，对称中心为(,0)2k ππ+，值域为(,1][1,)-∞-+∞。

这里k ∈Z . 14.cot y x =的性质：减区间为（,(1)k k ππ+）；最小正周期为π，奇函数，对称中心为(,0)2k π，值域为R 。

这里k ∈Z . 15.平移与伸缩变换：（1）先平移后伸缩；（2）先伸缩后平移。

图象之间的关系：y =s inx 的图象经上下平移得y =s inx +k 的图象；经左右平移得y =s in (x +ϕ)的图象（相位变换）；纵坐标不变，横坐标变为原来的ω1，得到y =s in x ω(0>ω)的图象（周期变换）；横坐标不变，纵坐标变为原来的A 倍，得到y =A s inx 的图象（振幅变换）；y =A s in (ωx +ϕ)(ω>0)的图象（周期变换）；横坐标不变，纵坐标变为原来的A 倍，得到y =A s inx 的图象（振幅变换）；y =A s in (ωx +ϕ)(ω, ϕ>0)(|A |叫作振幅)的图象向右平移ωϕ个单位得到y =A s in ωx 的图象。

16.两角和与差的基本关系式：co s(α±β)=co s αco s β s in αs in β,s in (α±β)=s in αco s β±co s αs in β; tan (α±β)=(tan tan )(1tan tan )αβαβ±（注意其的变形形式） 17.和差化积与积化和差公式:（重要）s in α+s in β=2s in ⎪⎭⎫ ⎝⎛+2βαco s ⎪⎭⎫ ⎝⎛-2βα,s in α-s in β=2s in ⎪⎭⎫ ⎝⎛+2βαco s ⎪⎭⎫ ⎝⎛-2βα, co s α+co s β=2co s ⎪⎭⎫ ⎝⎛+2βαco s ⎪⎭⎫ ⎝⎛-2βα, co s α-co s β=-2s in ⎪⎭⎫ ⎝⎛+2βαs in ⎪⎭⎫ ⎝⎛-2βα, s in αco s β=21[s in (α+β)+s in (α-β)],co s αs in β=21[s in (α+β)-s in (α-β)], co s αco s β=21[co s(α+β)+co s(α-β)],s in αs in β=-21[co s(α+β)-co s(α-β)]. 18.倍角公式:s in 2α=2s in αco s α, co s2α=co s 2α-s in 2α=2co s 2α-1=1-2s in 2α, tan 2α=.)tan 1(tan 22αα- 19.三倍角公式：3sin 33sin 4sin ααα=-=4sin sin()sin()33ππααα-+ 3cos34cos 3cos 4cos cos()cos()33ππαααααα=-=-+ 323tan tan tan 3tan tan()tan()13tan 33ααππααααα-==-+- 20.半角公式:s in ⎪⎭⎫ ⎝⎛2α=2)cos 1(α-±,co s ⎪⎭⎫ ⎝⎛2α=2)cos 1(α+±, tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛2α=)cos 1()cos 1(αα+-±=.sin )cos 1()cos 1(sin αααα-=+ 21.万能公式: ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=2tan 12tan 2sin 2ααα, ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2tan 12tan 1cos 22ααα, .2tan 12tan 2tan 2⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=ααα 22.辅助角公式：如果a , b 是实数且a 2+b 2≠0，则取始边在x 轴正半轴，终边经过点(a , b )的一个角为β，则s in β=22b a b +,co s β=22ba a +，对任意的角α. a s in α+bco s α=)(22b a +s in (α+β).23.正弦定理：在任意△ABC 中有R Cc B b A a 2sin sin sin ===，其中a , b , c 分别是角A ，B ，C 的对边，R 为△ABC 外接圆半径。

24.余弦定理：在任意△ABC 中有a 2=b 2+c 2-2bco s A ，其中a ,b ,c 分别是角A ，B ，C的对边。

25.在ABC ∆中，下列公式成立：（1）sin sin sin 4cos cos cos 222A B C A B C ++= （2）cos cos cos 14sin sin sin 222A B C A B C ++=+ （3）tan tan tan tan A tanB C A tanB C ++=⋅⋅（4）222sin sin sin 2(1cos cos cos )A B C A B C ++=+（4）cot cot cot cot cot cot 1A B B C C A ++=（5）cot cot cot cot cot cot 222222A B C A B C ++=⋅⋅ （6）tan tan tan tan tan tan 1222222A B B C C A ++= 26.函数y =s inx ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈2,2ππx 的反函数叫反正弦函数，记作y =a r c s inx (x ∈[-1, 1])，函数y =co s x (x ∈[0, π]) 的反函数叫反余弦函数，记作y =a r cco s x (x ∈[-1, 1]). 函数y =tanx ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈2,2ππx 的反函数叫反正切函数。

记作y =a r ctanx (x ∈[-∞, +∞]). y =co s x (x ∈[0, π])的反函数称为反余切函数，记作y =a r ccotx (x ∈[-∞, +∞]). 定理15 三角方程的解集，如果a ∈(-1,1)，方程s inx =a 的解集是{x |x =n π+(-1)n a r c s ina , n ∈Z }。