北京大学“中学生数学奖”夏令营初赛试题
2018年6月23日
本试卷共4题，每题30分，满分120分.考试时间180分钟.
1.已知a、b、c为整数，且对任意正整数m、n，存在整数x满足如下关系：
2
ax bx c 三m mod n .
求所有满足要求的三元整数组a,b,c .
、，1
2.已知头数a1,a2,11 （, a2018两两不同，存在t满足a i t （i = 1,2,11丨,2018，并规定
a i
a2019 =印）.求实数t的可能取值的个数.
3.给定正整数n、k.有一个密码锁，它有n个按钮，编号分别为1L n.打开该锁的密码是长度为k的按钮序列.当且仅当连续正确的按动这k个按钮时，密码锁会被打开.（例如n=3 ,
k =2，密码为13时，依次按动1,2,3,2,1,1,3后可以打开该锁，按动2,2,3,1,3后也可以打开该锁.）要保证把这个密码锁打开，至少需要按动多少次按钮？
4.如图，AABC中AB = AC .点A所对应的旁切圆圆J分别与直线BC、CA、AB相切于
点D、E、F .点M是线段BC的中点.点S在线段JM上，且满足AS D^ AE.求证:
MS BD CD
SJ 一JD
本试卷共4题
1.设f x = ax 2 bx c ，注意f x 三f x • n mod n ，故本题只需对任意正整数
n ,
f 0 ,f 1 n -1组成模n 的完全剩余系.
下证 a =0, b 二「1 或 1.
若 a +b 式0, ±1，取 n = |a +b ，则 f （0）三 f （1modn ），矛盾• 若a • b = 0，则f x 二ax 2 - ax • c ，此时f 0二f 1，这也不可能• 故 a • b = -1 或 1.
当 a+b=1 时，a^0，贝U 16a+4b|z12a —4a + bK12 — 4= 8. 取 n = 16a 4b ，则 f 0 三 f 4 mod n ，矛盾.故 a = 0. 类似当a b - -1时，取n = 16a 4b ，可得a = 0. 故 a,b 二 0,1 或 0,-1 .
注意对任意正整数 m 、n ，同余方程 x • c 三m mod n 和- x • c 三m mod n 显然有解.
故（a,b, c ）=（0,1, k 或 （0,—1,k ）, " Z .
1 一 、 1 2
2.由已知有a i 1
,不动点方程为x
,化为x - tx ■ 1 = 0 ,设此一元二次方程的
tp
t —x
两根为：•与1
. 当，--时，
所以「= 1 ,可得 a ： 1 _「=「，以及 ai
■ aL ^-
试卷答案
1
a i -1
1
a 2019 - 1
2018，矛盾.
6 T
若t 二-2，同理可得
—-2018，也矛盾.
a 「1
若 t = 2，则 a i ,
2 p
1
a 2019
1
a ： —a a —ct 另一方面，当1叮门空2018
时，由a=a j 知，」
虫
aj _ P a - P
而 a ^ = /2 .1.所以当仁— 2018 时，〉2t "，
a j -】 4——
2「tki
即：.2t 乂罰 -1，即对任意1 <t :: 2018，tk 都不是2018的倍数， 即 k,2018 =1，又因为 2018=2 1009，
f 1 \ f 1 、 kr 所以这样的 k 有 2018 汇 1—— 1x11— --- 1(=1008 个，所以 t =a+P=2cos ——有 1008
V 2 八 1009 丿 2018
个取值.
3.最少需要按n k k -1次.
不同的密码共有n k 个，要保证打开密码锁，必须全部试过一遍
.从第k 次按键开始，每次按动 按
钮都可以视为一个长为 k 的序列末位，故至少需要 n k k -1次. 下面给出按动n k k -1次可以满足要求的存在性证明 . 当k =1时结论显然成立，故下设 k _ 2.
构造图G ，共有n k ‘个顶点，每个顶点对应为一个长为 k-1的序列.
对顶点A ，B ，若点A 所对应序列的后k-2位与点B 所对应序列的前k-2位相同，则在AB 之间连一条由 A 指向B 的有向边.此时每一个长为k 的序列可以对应为该图中的一条边 .注意 图G 为连通图，且每个顶点的入度和出度均为 n ，我们即证明该图中存在欧拉圈 . 为此给出如下引理：
若有向连通图G 中所有顶点的入度和出度都相同，则该图中存在欧拉圈 对图G 的总边数进行归纳证明，若图 G 每个顶点出入度为1，且该图中存在圈，再由连通性
可得该圈为欧拉圈.
两式相除得「7
- ai ■'
，有 ai 1 _ -
q …. 2i a-i -:- ---------------------- —=a ------ -----------------------------
a i 1 —
从而 a2019 ■-
4036 =a
a 2019 -'
4036 ‘ : =1,
由对称性，不妨设〉二e 翻，［二
二 4036 _k i
，其中1 Ek 乞2018.。