第1讲计算问题主要题型:①尾数法、估算法、公式法、②乘方尾数问题、裂项相消、重复项计算、③新定义符号运算、符号运算、数学概念例1：破：①底数留个位；②指数除以4，恰好整除取4。

例2：破：用（最小数的分之一减最大数的分之一）乘以原来的分子/两数之差例3：破：把目标算式转化成已经给定的算式、特殊值带入第2讲多位数问题主要方法：带入排除，多步推理题型：①多位数求值、②多位数构造、③多位数个数统计、④多位数判定位置、⑤多位数乘法拆分、⑥多位数加法拆分、⑦复杂多位数问题例1：破：按给定条件一步步推理例2：破：多位数个数统计--位数固定：按数位来考虑，此时第一位可以是0。

破：多位数个数统计—位数不固定：按位数划分，如果是一位数，两位数，三位数。

首位不能是0。

例3：破：多位数加法拆分问题，分5步，①求总和；②确定问题对其他影响；③写下确定的情况；④剩下的总和求平均，对应中位数，写下这种情况；⑤对此情况调整修正。

第3讲平均数问题题型：①总和与平均数、②轮换平均数、③混合平均数、④不规则平均数、⑤分析性平均数、⑥调和平均数:三个数，它们的倒数成等差数列，则这三个数构成调和平均数。

例1：破：轮换平均数，写出各自表达式最后求和例2：破：混合平均数：已知各自平均数，又知混合后平均数，用十字交叉法求人数比例，再带入。

例3：破：不规则平均数：混合的不均匀，有两两求平均，有三三求平均。

设未知数带入求解。

例4：破：调和平均数题型的突破口是每次的增量成等差（最常见是相等），知道是调和平均数，直接带入求解。

第4讲工程问题总量不变，效率和时间成反比。

可赋值总量为一常数。

题型：①基本工程问题（等式列方程）；②分阶段工程问题（按阶段解题）；③两项工程型问题；④合作问题；⑤时效转化问题。

例1：破：典型的分阶段工程问题，赋值总量，然后按步骤写出。

效率与时间成反比。

第5讲浓度问题浓度问题的破题之道就是要在变化的过程中抓住不变量。

题型：①重复稀释：多次加溶剂稀释，加的过程有变化，有时是不等量、有时先倒出再加。

②溶液混合：已知不同浓度的溶液混合求新浓度；由混合后浓度推原始浓度。

③等量挥发：典型的调和平均数模型，挥发掉、稀释相同的溶液的量。

④抽象比例问题：未出现数字，转化为具体实际过程操作。

例1：破：液体混合浓度之和为1，重复稀释公式实质是存在量乘稀释比例。

例2：破：混合之后，溶质质量守恒。

例3：破：等量稀释题目，因为溶质不变，所以对溶质赋值，求出每次稀释的量。

第6讲计数模型牢记各个模型的解题突破口例1：破：比赛模型，看淘汰赛或循环赛，淘汰赛N-1，循环赛提防主客场。

例2：破：植树模型中，一看是单边线性，二看是否+1，（棵树-1）是个整体。

间隔是长度，棵数是次数，公式中两者不能混淆。

例3：破：段数=切口数+1，初始一根绳子切口数为1，对折N次，一刀下去切口=2的N次方，剪M刀，再乘以M。

例4：破：倍增计数中，看是否存在死亡，若有死亡，其次数一般不大，可直接写出。

若无死亡机制，则是乘方幂次数计算，是个等比数列。

例5：破：方阵计数，总人数一定是个完全平方数。

例6：破：过河问题中，因为要有一个人把船划回来，所以装N人，但运的只有N-1人。

第7讲年龄问题题型：①年龄差问题②普通年龄问题-两步解。

列表格，1.写每个人在每个时刻年龄、2.列方程。

等式有两个来源，一是题目中所给，二就是年龄差恒等。

③置换年龄问题-适用于上步。

或者用画图解决。

例1：破：列表格，写出各个时间段对应的年龄。

列方程，从题目或年龄差恒等中找等式。

例2：破：可以参照上题方法，还可以画图，三个时间段的年龄差相同，所以两者之差是3倍。

第8讲初等数学题型：①牛吃草问题：有一基础量，让另一个量来消耗，边消耗边生长。

由于消耗的量不同，所以消耗的时间也不同。

（车站检票口等模型）N=（牛数-X）×天数；N表示原有存量，X表示专门吃新长的草所要的牛数。

可理解为原有存量等于除掉吃新草的牛数乘以天数。

N与X是未知的，自己设。

②盈亏问题：一个总量分成若干份，份数不同，有盈有亏。

总量=份数×每份数量+盈余（-亏损），总量与份数是未知的。

③鸡兔同笼问题：两个部分混合，某一指标不同，得到不同的结果，求各个指标。

整体思维——先将两个部分看成是一种情况，然后分析差异。

以此量代入算，则求出的是彼量，所以一定要盯紧算出的是谁的量。

④抽屉原理：黑色口袋里往外摸，至少摸出多少个满足至少的条件。

反向构造——变抽为发的思想。

一是假设所有的物在自己手中；二、逐一发出，不满足条件时最多发出多少；三、在上述不满足的条件下+1就是所求答案。

例1：破：利用公式，两个未知数，两个方程，求出代入第三个工程。

例2：破：当初到底是加还是减，多出的是-，不够的是加，抓紧总量来写等式。

例3：破：抓紧是以谁为标量来算的，算出的就是另一个量。

例4：破：变抽为发的关键是写出不满足的形式，然后+1，使其满足。

第9讲初等数学题型：①周期问题：某元素呈周期性出现：一是单一周期性，求的是过了很长时间后，求解只需要将完整周期部分舍去；二是多个周期，就是多个元素，各有个周期，求解需确定周期的最小公倍数。

②倍数与约数:实质上求最小公倍数与最大公约数，掌握短除法③分段计算问题：一个量，在不同时期内计算标准不同。

④推断问题：从条件中抓突破口例1：破：多重周期就是要求最小公倍数，单个周期中注意间隔期如何计算。

例2：破：明确是最大公约数还是最小公倍数，最大公约数是内部整体划分，最小公倍数是外部满足的各种情况。

短除法---最大公约数是左边所有，最小公倍数则是全部。

第10讲等差数列主要考察已知项，待求和或已知和、待求项。

都是围绕公式展开。

题型：①等差数列求和：利用基本公式②查找数列规律：给一个图，寻找内在规律③等差数列和项转化：已知和，求具体项上的数。

④复杂等差数列分析：在等差数列基础上加减数形成新数列，先按原来算，事后调整。

例1：紧紧围绕首尾项，中位项与平均数的关系。

第11讲和差倍比问题可以理解为数量之间存在和差倍比关系,题型：①基本和差倍比：直接逐步分析②基本方程问题：根据提示找出等量关系，列方程。

例1：破：基本和差倍比就是根据题目中的和差倍比，逐步分析例2：破：背景一般简单，关键是找到等量关系来列方程。

第12讲行程问题公式型行程问题:典型公式+典型模型题型:①公式法解行程问题②等距离平均速度:因为距离相等,就是调和平均数问题。

重点是等距离，而不局限于是何种形式。

③两次相遇问题:相遇有追及相遇与迎面相遇。

如果起点是同向而行，那么要么是相距一段距离追及；要么是绕圈圈直到第几圈追及，此时，因为时间相同，根据速度比等于距离比，所以对应的距离在同一地点。

这里是起始点是相向而行，第二次相遇，则根据提示不同，公式也不同。

提示主要是：第一次相遇点与边多少，第二次相遇点遇边多少。

④往返相遇问题：在相向而行折返走很多次之后，会产生两种相遇情形。

一是迎面相遇，一是追及相遇。

全程应该是已知，两运动体路程和（差）可以求得，一般是速度和（差）乘以时间求得，所以求得这是第N次。

⑤双向数车：知道两个时间，求得的是发车的时间间隔。

例1：破：两次相遇问题，判断是何种形式，再带入公式。

例2：破：往返相遇问题，明确类型，如果不明，可估计时间以可能公式带入，减少运算量。

例3：破：直接套入公式。

第13讲行程问题主要是分析型行程问题,所以主要方法就是:画图和比例法.题型:①画图法解行程问题；②比例法解行程问题：三量模型推导的三个推论，基于基本公式，路程一定，速度与时间反比。

③加速运动：找出初始，末始速度，求平均速度。

④间歇运动：考虑追及是否在休息中。

⑤复杂行程问题例1：破：画图讲究的是不同时刻的运动状态，所以画图追求的是位置对应。

位置画好，体现差异，成功一半。

例2：破：比例法的核心是路程公式的三个推论。

一般是路程一定，则时间和速度成反比，利用比例差对应的数值，求出各自数值，带入求解。

例3：破：间歇运动关键是看休息中是否有追上。

所以在追上之前那段单独列出计算。

例4：破：有匀加减速运动，则算出首尾速度，按平均速度来考虑全程。

第14讲几何问题正方形——正方形——正方体——正方体长方形——长方形——长方体——长方体圆形——圆形——球体——球体面积：三角形，平行四边形，梯形，扇形表面积：圆柱体的：底面积，侧面积，全面积体积：圆柱体，圆锥体（棱柱体）题型：①规则几何量（公式）②不规则几何量（从规则几何体的割补）例1：破：运用公式是基本，区间结果带入其中，不用解。

第15讲几何问题主要是对给定的情形画图,一般注重极端位置与对称位置题型：①几何位置分析：对特殊位置的考虑②几何计算：有几个③几何性质：平面几何图形，表面积与体积的关系④三边关系：三角形中，三边关系例1：破：画出符合条件的图形例2：破：可以边写边找规律例3：破：熟记公式即可。

第16讲容斥原理容斥原理主要用于计算有重叠部分的计数方法。

题型：①两集合公式运用②三集合公式运用③三集合文氏图④三集合的整体思维⑤多集合：反向极端构造。

这里有一个等式：总数-都不满足的个数=公式的右边三集合文氏图不是专门题型，只是画图解题的一种方法，所以可以配合公式运用。

题型的区分：一个是：A和B有多少，B和C有多少，A和C有多少；另一种的两种有多少，是概括说。

计算一次3个，计算两次2个，计算三次1个。

所以A+B+C=X+2Y+3Z，这个是总共，AUBUC=X+Y+Z。

例1：破：公式法与画图都可以。

例2：破：区别好什么时候是相加，什么时候是相并。

例3：破：说满足的，找不满足，来构造反求。

第17讲排列组合概率主要找切入口，看是排列还是组合，是分类还是分步。

分类加法，分步乘法题型：①基本排列组合模型②分类求解排列组合③分布求解排列组合④其他方法模型：主要是插空法例1：破：插空法。

主要体现是两个不相连。

第18讲概率问题概率问题是排列组合的衍生题型，特有的是期望值。

涉及到排列组合的分类，概率也是加，分步，概率也是求积。

题型：①普通概率问题②概率中的分类与分步③正面情形较多的概率问题④期望值相关问题期望值：将每种取法的概率与所获奖励值相乘。

第19讲经济利润问题题型：①普通经济利润问题：已知具体数值列方程②比例经济利润问题：赋值化虚为实，列方程③价钱最优问题：判断最省方案最考：成本、售价、利润或成本、售价、利润率。

例1：破：找等量关系列方程。

例2：破：分别统一标准对应最省，关注需求量第20讲方程与不等式题型：①I型不定方程：写出不等式，然后赋值排除法；主要是排除法②II型不定方程：有限定条件，要么根据奇偶性，要么整除性，要么题目提示，直接求得解，是能够求出的解。

③一元二次方程：配方法。

④不等式分析：用到不等式性质。

例1：破：写出不等式，赋值，带入，排除。