的 x ,有 x ln x 1 ,从而
ln x x
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b
1 4
1 4
x 0

x ln x x
3 4
1 4

1 x
3 4
据比较判别法2, 所给积分绝对收敛 .
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三、 函数
1. 定义
函数 : ( s ) x ( s 0 ) x ed
5
a t
lim x ) d x x ) d x f( f(
a

t

f( x ) d x 收敛 . 极限存在 , 即广义积分 a
若

a
f (x )d x发散 , 因为 t a时有
0 x ) d x ( x ) d x f( g
a a t t
3 2
2 的收敛性
.
x
1 1 1 1 2
根据极限判别法 1 , 该积分收敛 .
例3. 判别广义积分
解:
x d x 的收敛性 . 2 1 1 x 3 2 2 1 x x lim lim x2 1 2 2 x1 x x 1 x

根据极限判别法 1 , 该积分发散 .
0 , A a , 使 对 A , A A 都 有 0 0
|
A A

f (x)d x|.
证：利用无穷限广义积分收敛的定义以及 极限存在的Cauchy准则即得。
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3
柯西（Cauchy，Augustin Louis 1789-1857）， 十九世纪前半世纪的法国数学家。1789年8月21日生 于巴黎。在大学毕业 后当土木工程师，因数学上的成
a

证: 不失一般性 , 设 0 f ( x ) g ( x ) x [ a , ) 时 ,
若 x 收敛 , 则对 t a 有 g(x)d
t
t
t
a f ( x) dx a g(x) dx a
a
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g(x)dx
故 )d x 是 t的 单调递增有上界函数 , 因此 f(x
注意:
x
f( x ) lim x f( x )lim 1 此极限的大小刻画了
p x p x
x 时 f( x ) 趋于 0 的快慢程度 .
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例2. 判别广义积分 1 解:

dx
x 1 x 1 2 lim x lim 2 x x 1 x x
a
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定义. 设广义积分

若

a
f (x )dx收敛 ,
a a
若
a
f( x )d x收敛 ,则称
f (x) dx 绝对收敛 ; f (x) dx 条件收敛 .
a
f(x )d x发散 ,则称
a x
根据极限收敛准则知
x
lim F ( x ) lim t ) d t f(
a x

x
广 义 积 分 f() xd x 收 敛 . 存在 , 即 a
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定理 2.
（Cauchy收敛原理）
a
广 义 积 分 x d x 收 敛 f()
广义积分的 收敛判别法
一、无穷限广义积分的收敛判别法
f ( x ) C [ a , ) , 且 f ( x ) 0 , 定理1. 设 若函数
F (x ) f ( t)dt
a x
广 义 积 分 f() xd x 收 敛 . 在 [ a , )上有上界 ,则 a

f ( x ) 0 ,F (x )在 [ a , )上单调递增有 , 证:
x
1 , 0 l 时 则有: 1) 当 p

1 , 0 l 时 2) 当 p
a
f (x )dx 收敛 ;
a
f (x )dx发散 .
p 1 时 , 根据极限定义, 对取定的 0, 当 x 充 证: 1) 当
p x f( x ) l , 即 分大时, 必有 M M l ) 0 f (x) p ( x 可见 )d x 收敛 ; f(x
根据极限判别法2 , 所给积分发散 .
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x 1 为瑕点 ,利用洛必达法则得 解: 此处 1 1 lim 1 1 lim (x1 ) lnx x 1 x x 1
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例6. 判定椭圆积分 0 敛性 .
1
d x
2 22 ( 1 x )( 1 k x)
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f ( x ) C [ a , ) , 且 f （ x ） d x 收敛 , 定理6. 若 a

则广义积分 dx 收敛 . f(x)
1 则0 证： 令 ( x ) [ f ( x ) f ( x ) ] , ( x ) f ( x ) 2
时 , f (x )dx 收敛 ; q 1 ,0 l 则有: 1) 当 0 a
2) 当 q 1 ,0 l 时 , f (x )dx发散 .
a b
x q lim ( x a ) f( x ) l
b
例5. 判别广义积分
3 dx
1 lnx
的敛散性 .
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定理3 . (比较原理)
且对充 设 f ( x ) C [ a , ) ,
f ( x ) g ( x ) 分大的 x有0 ,则
a

g(x)d x收敛
a

f (x)d x收敛
g(x)d x发散
a
a

f (x)d x发散
f( x ) C [ a , ) 定理4. (比较判别法 1) 设非负函数
(a0 ).
, 使对充分大的 1 ) 若存在常数 M 0 , p1 x有 M f ( x) p x 则 )dx 收敛 ; f(x
a
, 使对充分大的 2 ) 若存在常数 N0 , p1 x有 N f ( x) p x 则 )dx发散 . f(x
2 ( k 1 )的收
x 1 为瑕点 ,由于 解: 此处 1 1 2 lim (1 x ) 2 2 2 x 1 ( 1 x )( 1 k x )
lim 22 x 1 ( 1 x )( 1 k x ) 2 (1 k 2 )
根据极限判别法 2 , 椭圆积分收敛 .

b
b
2 1 t t t2 t b a 因此无穷限广义积分的收敛判别法完全可平移到无界函数
1 0 b a
a
b
1 d t 1d t f ( x ) d x limf ( a ) f( a )

1
的广义积分中来 .
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0
s 1 x
(含参变量 s的广义积分 )
下面证明这个特殊函数在 s 0内收敛 . 令
1 s 1 x s 1 x I x e d x , I x e d x 1 0 2 1
1 ) 讨论 I .当 s 1 时 ,I 是定积分 ; 1 1 1 1 1 s 1 x 当 0 s 1 时 , x e 1 s x 1 s x e x 而 1 s 1 , 根据比较判别法 2 知 I1收敛 .
M , 有 f (x) 1 ) 若存在常数 M 0 ,q1 q ( x a ) b 则 ; a f (x)dx收敛 N 2 ) 若存在常数 N0 , 有 f (x) x a b 则 . f (x)dx发散
a
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定理3
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f ( x ) C ( a , b ] , 且 f ( x ) 0 ， 定理8. (极限判别法2) 若
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d x 的收敛性 . 3 4 x 1 1 sin2 x 3 4 14 0 3 4 x x 1 x3

sin x
2
f ( x ) C [ a , ) , 且 f ( x ) 0 , 定理5. (极限判别法1) 若 p lim x f (x )l 满足
给积分收敛 (绝对收敛) .
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二、无界函数广义积分的收敛判别法
无界函数的广义积分可转化为无穷限的广义积分. 例如 由定义 设 f ( x ) C ( a , b ] , a 为 f ( x ) 的瑕点 ,
1 令 xa ,则有 t
f ( x ) d x lim f ( x ) d x a 0 a
a
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例1. 判别广义积分 1
解:
由比较判别法 1 可知原积分收敛 . 1 思考题: 讨论广义积分 dx 的收敛性 . 3 3 1 x 1 提示: 当 x≥1 时, 利用 1 1 1 3 3 3 1 x 1 3( x 1 ) x 可知原积分发散 .


a
( x )d x 也收敛 , f （ x ） d x 收敛 , a
a


而
f ( x ) 2 ( x ) f ( x )