0 2
B− A A =f ( ) 4
2 2
若地球是旋转椭球体， 若地球是旋转椭球体，则有转动惯量
A = B ，将系数代入
M K ω 2r 3 2 则有： 则有： U = f [1 + 2 (1 − 3 cos θ ) + sin 2 θ ] r 2 fM 2r
式中： 式中：
KM = A − C
地球正常重力位的公式
g
水准面之间既不平行，也不相交和相切。 水准面之间既不平行，也不相交和相切。
重力的单位
•对于某一单位质点而言，作用其上的重力在数值上等 于使它产生的重力加速度的数值，所以重力即采用重 力加速度的量纲，单位是： 伽(Gal=cms－２)， ， 毫伽(mGal= Gal/1000=10－５ms－２) 微伽(µGal= mGal/1000=10－８m s－２) •地面点重力近似值 980Gal，赤道重力值 978Gal，两 极重力值 983Gal。由于地球的极曲率及周日运动的原 因，重力有从赤道向两极增大的趋势。 •地球上重力的大小与方向只与被吸引点的位置有关， 理论上应该是常数，但重力是随时间变化而变化，即 相同的点在不同的时刻所观测到的重力不相同。
四、地球的正常重力位
重力位
dm ω 2 2 W = f ⋅∫ + (x + y2 ) r 2 M
•要精确计算出地球重力位，必须知道地球表面的形状 及内部物质密度，但前者正是我们要研究的，后者分 布极其不规则，目前也无法知道，故根据上式不能精 确地求得地球的重力位，为此引进一个与其近似的地 球重力位——正常重力位。 •正常重力位是一个函数简单、不涉及地球形状和密度 便可直接计算得到的地球重力位的近似值的辅助重力 位。当知道了地球正常重力位，想法求出它同地球重 力位的差异(称扰动位)，便可求出大地水准面与这已 知形状(正常位水准面)的差异。最后解决确定地球重 力位和地球形状的问题。
M
R n Pn0 ( cos θ m ) dm
Ank = 2
B nk = 2
(n − k )! f ∫ R n Pnk ( cos θm ) cos kλm dm (n + k )! M
( n − k )! f ( n + k )!
∫
M
R n Pnk ( cos θ m ) sin kλm dm , k = 1, L , n
（二）离心力位 • 质点坐标可用质点向径 r，地心纬度φ及经度λ 表示为：（图3-2）
x = r cos ϕ cos λ , y = r cos ϕ sin λ , z = r sin ϕ
• 地球自转仅仅引起经度变化，而它对时间的一阶 导数等于地球自转角速度ω时，得
x = − r ⋅ c o s ϕ ⋅ s in λ ⋅ ω • y = r ⋅ cos ϕ ⋅ cos λ ⋅ ω • z = 0
用球谐函数表示的地球引力位的公式
V =
θ − seita
∑V
n=0
∞
n
=
∑r
n=0 n
∞
1
n +1
[ An Pn (cos θ ) +
( An K cos K λ + B n K sin K λ ) Pn K (cos θ )] ∑
K =1
第n阶地球引力位公式 阶地球引力位公式
Vn = 1 r
n K K =1
• ••
x = -ω
••
2
y = -ω
2
••
z = 0
x y
坐标对时间的二阶导数就是质点的 离心加速度。
（二）离心力位(续) 离心力位( 假定一个函数（离心力位）： ω 2 Q= ( x2 + y 2 ) 2 • 则有： ∂Q = ω 2 x = − •x ∂x •• ∂Q 2 = ω y = − y ∂y ∂Q =0 ∂z 因此，我们可把Q称为离心力位函数。
重力位 (续) 续
•重力位在任意方向的偏导数等于重力在该方向上 重力位在任意方向的偏导数等于重力在该方向上 的分力： 的分力： ∂W
∂l = g l = g cos( g , l )
相垂直时， 当g与l相垂直时，那么 Ｗ=0，有Ｗ＝常数 与 相垂直时 那么d ， 当给出不同的常数值，就得到一簇曲面，称为重力 当给出不同的常数值，就得到一簇曲面， 等位面，也就是我们通常说的水准面。 等位面，也就是我们通常说的水准面。可见水准面 有无穷多个。其中， 有无穷多个。其中，我们把完全静止的海水面所形 成的重力等位面，专称它为大地水准面 大地水准面。 成的重力等位面，专称它为大地水准面。 如果令g与 夹角等于 夹角等于π，则有： 如果令 与l夹角等于 ，则有： dl = − dW
设赤道的离心力与重力之比为 设赤道的离心力与重力之比为： 离心力与重力之比
q=
ω 2a
ge
3K , 2 2a
≈
ω 2a
fM
a2 =
ω 2a3
fM
令： µ = 则有： 则有：
地球形状参数。 地球形状参数。
M µ q 2 2 U= f [1 + (1 − 3 cos θ ) + sin θ ] r 3 2
cos K λ PnK (cos θ ),
sin K λ PnK (cos θ )
称为缔合球函数 其中 时称为扇球函数 称为缔合球函数(其中，当k=n时称为扇球函数，当k≠n时称 缔合球函数 其中， 时称为扇球函数， 时称 田球函数)。 为田球函数 。
地球正常重力位
W =V +
ω2
2
2
r 2 sin 2 θ
（三）重力位
重力是引力和离心力的合力，重力位W是引力位 和离心 重力是引力和离心力的合力，重力位 是引力位V和离心 是引力位 力位Q之和 之和： 力位 之和： dm ω 2 2 W =V +Q W = f ⋅∫ + (x + y2 ) r 2 对三坐标轴求偏导数求得重力的分力或重力加速度分量： 对三坐标轴求偏导数求得重力的分力或重力加速度分量
2、建立地固坐标系统必须解决的问题 、
• 确定椭球的形状和大小（长半径a和扁率α等）； • 确定椭球中心的位置（椭球定位）； • 确定椭球短轴的指向（椭球定向）； • 建立大地原点。( LK , BK , AK , H K )
上一讲应掌握的内容
3、1954年北京坐标系的特点 1954年北京坐标系的特点 1980年国家大地坐标系特点 4、1980年国家大地坐标系特点 1954年北京坐标系的特点 5、新1954年北京坐标系的特点 6、WGS-84世界大地坐标系 世界大地坐标系 7、站心坐标系 • 以测站为原点，测站上的法线(垂线)为Z轴方向 以测站为原点，测站上的法线(垂线) 的坐标系就称为法线(或垂线)站心坐标系。 的坐标系就称为法线(或垂线)站心坐标系。常用 来描述参照于测站点的相对空间位置关系。 来描述参照于测站点的相对空间位置关系。工程 上在小范围内有时也直接采用站心坐标系。 上在小范围内有时也直接采用站心坐标系。 8、不同空间直角坐标系转换
式中：θ 极距，ϕ + θ = 90 0
K K
[ An Pn (cosθ ) + ∑ ( An cos Kλ + Bn sin Kλ ) Pn (cosθ )] n +1
Hale Waihona Puke 称为n阶主球函数(或带球函数 或带球函数)。 勒让德多项式 Pn (cosθ ) 称为 阶主球函数 或带球函数 。 K Pn (cosθ ) 称为 阶K级的勒让德缔合函数 或伴随函数 。 称为n阶 级的勒让德缔合函数(或伴随函数 级的勒让德缔合函数 或伴随函数)。
（一）引力位： 引力位：
单位质点受物质M的引力作用产生的位能称为引力位，或者 单位质点受物质 的引力作用产生的位能称为引力位， 的引力作用产生的位能称为引力位 说将单位质点从无穷远处移动到该点引力所做的功。 说将单位质点从无穷远处移动到该点引力所做的功。即：
由牛顿第二定律可导出： 由牛顿第二定律可导出：单位质点的 物体在引力场中的加速度等于引力位 的导数，方向与径向方向相反。 的导数，方向与径向方向相反。
M ⋅m F= f⋅ 2 r
P = mω 2ρ
v v v g = F + P
离心力P在赤道达最大值， 但数值比地球引力1/200还 要小一些。故重力基本上由 地球引力确定的。当高出地 面35730km处，重力加速 度将改变符号，背向地球。
三、引力位和离心力位
位函数的概念：设有一标量函数， 位函数的概念：设有一标量函数，它对被吸引点各坐标方向 的偏导数等于引力在相应方向上的分力， 的偏导数等于引力在相应方向上的分力，则此函数称为位函 位函数的形式为： 数。位函数的形式为： ∂V ∂V ∂V 则：Fx = − ，Fy = − ，Fz = − ∂x ∂y ∂z
当选取前3项时，将重力位 写成 写成U 当选取前 项时，将重力位W写成 项时
U =∑
n =0 2
1 r
[ An Pn (cos θ ) + ∑ ( An K cos K λ + Bn K sin K λ ) n +1
K =1
Pn (cos θ )] +
K
ω2
2
r 2 sin 2 θ
0 An = f
∫
gx = − gy = − g = − ∂W ∂V ∂Q = −( + ∂x ∂x ∂x ∂W ∂V ∂Q = −( + ∂y ∂y ∂y ∂W ∂V ∂Q = −( + ∂z ∂z ∂z ) ) )
z
g = gx + g y + gz
2 2
2
由各分力可计算重力加速度（ 由各分力可计算重力加速度（模）：