解析：因为x＋y＝18，所以 xy≤x＋2 y＝9，当且仅当x＝y＝9
时，等号成立．
答案：A
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2．(必修5P100练习T1改编)设a>0，则9a＋1a的最小值为
()
A．4
B．5
C．6
D．7
解析：因为a>0，所以9a＋1a≥2 9a×1a ＝6，当且仅当9a
＝1a，即a＝13时，9a＋1a取得最小值6.故选C.
＝(x－1)＋x－3 1＋2≥2 3＋2.
当且仅当 x－1＝x－3 1，即 x＝ 3＋1 时，取等号．
[答案]
2 (1)3
(2)1
(3)2 3＋2
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[解题技法] 通过拼凑法利用基本不等式求最值的实质及关键点 拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆 项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等 式求解最值的方法．拼凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系 数、凑常数是关键．
[解析] 由a>b>0，得a－b>0，
∴b(a－b)≤b＋2a－b2＝a42.
∴a2＋ba1－b≥a2＋a42≥2
a2·a42＝4，
当且仅当b＝a－b且a2＝a42，即a＝ 2，b＝ 22时取等号．
∴a2＋ba1－b的最小值为4.
[答案] 4
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[解题技法] 两次利用基本不等式求最值的注意点 当连续多次使用基本不等式时，一定要注意每次是 否能保证等号成立，并且注意取等号的条件的一致性．
润最大，最大利润为1 000万元．
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[解题技法] 有关函数最值的实际问题的解题技巧 (1)根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等 式求得函数的最值． (2)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围． (3)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可 利用函数的单调性求解．
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(2)把确定的定值(常数)变形为1； (3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除， 进而构造和或积为定值的形式； (4)利用基本不等式求解最值．
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考向(三) 消元法——利用基本不等式求最值 [例3] 已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为
________．
[解析] 法一：(换元消元法)由已知得 x＋3y＝9－xy， 因为 x>0，y>0，所以 x＋3y≥2 3xy， 所以 3xy≤x＋23y2，当且仅当 x＝3y，即 x＝3，y＝1 时取等号， 即(x＋3y)2＋12(x＋3y)－108≥0. 令 x＋3y＝t，则 t>0 且 t2＋12t－108≥0， 得 t≥6，即 x＋3y 的最小值为 6.
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2. 变设问 保持本例条件不变，则 1＋1a 1＋1b 的最小值为 ________．
解析：1＋1a1＋1b＝1＋a＋a b1＋a＋b b ＝2＋ba2＋ab＝5＋2ba＋ab≥5＋4＝9.当且仅当 a＝b＝12 时，取等号．
答案：9
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[解题技法] 通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤 (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；
[对点变式]
1.变条件将条件“a＋b＝1”改为“a＋2b＝3”，则1a＋1b的最
小值为________．
解析：因为a＋2b＝3，所以13a＋23b＝1.
所以1a＋1b＝1a＋1b13a＋23b
＝13＋23＋3ab＋23ba≥1＋2
a 2b 3b·3a
＝1＋232.当且仅当a＝ 2b时，取等号．
答案：1＋2 3 2
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[跟踪训练]
1．若对于任意的x>0，不等式
x x2＋3x＋1
≤a恒成立，则实数a
的取值范围为
()
A．a≥15
B．a>15
C．a<15
D．a≤15
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解析：由x>0，得
x x2＋3x＋1
＝
1 x＋1x＋3
≤
2
1 x·1x＋3
＝
1 5
，当
且仅当x＝1时，等号成立．则a≥15，故选A.
答案：A
2．(2019·天津高考)设x>0，y>0，x＋2y＝5，则
a＋b 2
，几何平均数为
ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于
它们的几何平均数．
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3．利用基本不等式求最值问题
已知 x>0，y>0，则
(1)如果 xy 是定值 p，那么当且仅当 x＝y 时，x＋y 有最小值
是 2 p (简记：积定和最小)．
(2)如果 x＋y 是定值 q，那么当且仅当 x＝y 时，xy 有最大值
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[解题技法] 通过消元法利用基本不等式求最值的策略 当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已 知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最 后利用基本不等式求最值．
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考向(四) 利用两次基本不等式求最值
[例4] 已知a>b>0，那么a2＋ba1－b的最小值为________．
是
q2 4
(简记：和定积最大)．
和定积最大，积定和最小：两个正数的和为定值时，则 可求其积的最大值；积为定值时，可求其和的最小值.
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[常用结论]
1．基本不等式的两种常用变形形式
(1)ab≤a＋2 b2(a，b∈R ，当且仅当a＝b时取等号)．
(2)a＋b≥2 ab(a>0，b>0，当且仅当a＝b时取等号)．
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此时，当x＝60时，L(x)取得最大值L(60)＝950万元．
当x≥80时，L(x)＝1
200－
x＋10
000
x
≤1
200－2
10 x·
x000＝1
200－200＝1
000.
此时x＝10 x000，即x＝100时，L(x)取得最大值1 000万元．
由于950<1 000，
所以当年产量为100千件时，该厂在这一商品生产中所获利
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法二：(代入消元法)由x＋3y＋xy＝9， 得x＝91－＋3yy， 所以x＋3y＝91－＋3yy＋3y＝9－3y＋1＋3yy1＋y ＝91＋＋3yy2＝31＋y2－1＋61y ＋y＋12 ＝3(1＋y)＋11＋2y－6≥2 31＋y·11＋2y－6 ＝12－6＝6.即x＋3y的最小值为6. [答案] 6
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3．(2019·河南许昌、洛阳第三次质量检测)已知 x>0，y>0，
且1x＋2y＝1，则 xy＋x＋y 的最小值为________． 解析：因为1x＋2y＝1，所以 xy＝y＋2x，xy＋x＋y＝3x＋2y＝
(3x
＋
2y)· 1x＋2y
＝
7
＋
2y x
＋
6x y
≥7
＋
4
3
当且仅当y＝ 3x，即x＝1＋233，y＝2＋ 3时取等号， 所以 xy＋x＋y 的最小值为 7＋4 3.
13x2＋10x
－250＝－
1 3
x2
＋40x－250.
当x≥80时，L(x)＝(0.05×1
000x)－51x＋10
x000－1
450－250
＝1
200－x＋10
000
x
.
所以L(x)＝－ 1 2130x02－＋4x0＋x－102x05000，，0<xx≥<8800，.
(2)当0<x<80时，L(x)＝－13(x－60)2＋950.
商品能全部售完．
(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；
(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利
润最大？
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[解] (1)因为每件商品售价为0.05万元，则x千件商品销售额
为0.05×1 000x万元，依题意得：
当0<x<80时，L(x)＝(0.05×1
000x)－
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考向(二) 常数代换法——利用基本不等式求最值
[例 2] 已知 a>0，b>0，a＋b＝1，则1a＋1b的最小值为________．
[解析] 因为a＋b＝1，
所以
1 a
＋
1 b
＝
1a＋1b
(a＋b)＝2＋
ba＋ab
≥2＋2
＝4.当且仅当a＝b＝12时，取等号．
ba a·b
＝2＋2
[答案] 4
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答案：C
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二、走出误区 常见误区：①忽视不等式成立的条件a>0且b>0致误；②忽 视定值存在致误；③忽视等号成立的条件致误．
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3．(多选)下列选项错误的是
()
A．两个不等式 a2＋b2≥2ab 与a＋2 b≥ ab成立的条件是
相同的
B．函数 y＝x＋1x的最小值是 2
C．函数 f(x)＝sin x＋sin4 x的最小值为 4
2．几个重要的结论
(1)a2＋2 b2≥a＋2 b2. (2)ba＋ab≥2(ab>0)．
(3) ab≤a＋2 b≤
a2＋2 b2(a>0，b>0)．
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[基础自测]
一、走进教材
1．(必修5P99例1(2)改编)若x>0，y>0，且x＋y＝18，则 xy 的最大
值为
()
A．9
B．18
C．36
D．81
________．
(2)已知 x<54，则 f(x)＝4x－2＋4x1－5的最大值为________．
(3)函数 y＝xx2－＋12(x>1)的最小值为________．
[解析]
(1)x(4－3x)＝
1 3
×(3x)·(4－3x)≤