知识整合（一）等差数列
1.等差数列的判定方法
（1）用定义：对任意的n ，都有1n n a a d +-=（d 为常数）⇔{}n a 为等差数列（定义法） （2）122n n n a a a ++=+（n ∈*
N ）⇔{}n a 为等差
数列（等差中项）
(3) n a =pn+q (p ， q 为常数且p ≠0)（即为关于n 的一次函数） ⇔{}n a 为等差数列
(4) 2n S pn qn =+ (p ， q 为常数)（即为关于n 的不含常数项的二次函数） ⇔{}n a 为等差数列 2.常用性质
(1) 若数列{}n a ，{}n b 为等差数列，则数列
{}n a k +，{}n k a ，{}n n a b ±，{}n ka b +(k ， b 为非零常数)均为等差数列.
(2) 对任何m ，n ∈*
N ，在等差数列{}n a 中，有
()n m a a n m d =+-，特别的，当m=1时，便得
到等差数列的通项公式。

另外可得公差d=
11n a a n --，或d=n m
a a n m
-- (3) 若m+n=p+q (m ，n ，p ，q ∈*
N )，则
n m a a +=p q a a +.特别的，当n+m=2k 时，得n m a a +=2k a
(4) {}n a 是有穷等差数列，则与首末两项等距离的
两项之和都相等，且等于首末两项之和，即121321n n n i n i a a a a a a a a --+-+=+=+=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+=⋅⋅⋅
(5) 在等差数列{}n a 中，每隔k(k ∈*
N )项取出一
项，按原来的顺序排列，所得的数列仍为等差数列，且公差为(k+1)d(例如：1a ，4a ，7a ，
10a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅仍为公差为3d 的等差数列)
(6) 如果{}n a 是等差数列，公差为d ，那么n a ，1n a -，
⋅⋅⋅⋅⋅⋅2a ，1a 也是等差数列，其公差为d -.
(7) 若数列{}n a 为等差数列，则记
12k k
S a a a =++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+，2122k k k k k S S a a a ++-=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+，
3221223k k
k k k S S a a a ++-=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+，
则k S ，2k k S S -，32k k S S -仍成等差数列，且公差为2
k d 3.等差数列前
n
项和公式：
2111()(1)()2222
n n n a a n n d d
S na d n a n
+-==+=+-4.等差数列前n 项和n S 常用的基本性质：
（1）在等差数列{}n a 中，当项数为2n (n ∈*
N )
时，1
,
n n S a
S S nd S a +-==奇偶奇偶(即中间两项之比)，
当项数为
2n-1(n
∈*
N )时，
11
,n S n S S a S n
++-==
奇偶奇偶(即奇偶项数之比) (2).若等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和为,n n S T (n 为
奇
数
)
，
则
12112121121
12121()
22()22
n n n n n n n n a a n a a a S b b n b b b T ------++===++
(3) 若n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，则数列
{
}n
S n
也为等差数列. (4 记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ：①若1a >0，公差d<0，则当10
n n a a +≥⎧⎨
≤⎩时，则n S 有最大值；②若
1a <0，
公差d>0，则当1
0n n a a +≤⎧⎨≥⎩时，则n S 有最小值。

求n S 最值的方法也可先求出n S ，再用配方法求解。

巩固训练（一）
1、{a n }是首项a 1＝1，公差为d ＝3的等差数列，如果a n ＝2 005，则项数n 等于( C )． A ．667 B ．668
C ．669
D ．670
2、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知23a =，
611a =，则7S 等于( C )
A ．13
B ．35
C ．49
D ． 63
【解析】
172677()7()7(311)49.222
a a a a S +++====故选C.
3、若数列{a n }是等差数列，首项a 1＞0，
a 2 003＋a 2 004＞0，a 2 003·a 2 004＜0，则使前n 项和 S n ＞0成立的最大自然数n 是( B )．
A ．4005
B ．4006
C ．4007
D ．4008 4、设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若35a a ＝9
5
，
则59S S
＝( A )． A ．1
B ．－1
C ．2
D ．
2
1
5、已知{}n a 为等差数列，且7a －24a ＝－1, 3a ＝0,则公差d ＝B A.－2 B.－
12 C.1
2
D.2 【解析】a 7－2a 4＝a 3＋4d －2(a 3＋d)＝2d ＝－1 ⇒ d ＝－
1
2
6、在等差数列{}n a 中， 284a a +=,则 其前9项
的和S 9等于 （ A ）
A ．18
B 27
C 36
D 9 7、记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若112
a =
，420S =，则6S =（ D ） A ．16 B ．24 C ．36 D ．48 8、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，
636S =，则789a a a ++=（ B ）
A ．63
B ．45
C ．36
D ．27
9、已知数列1
…，
则是它的（ ）
A ．第22项
B ．第23项
C ．第24项
D ．第28项
10、已知数列
{}
n a 对任意的
*
p q ∈N ，满足
p q p q a a a +=+，且26a =-，那么10a 等（ ）
A ．165-
B ．33-
C ．30-
D ．21-
11、已知等差数列}{n a 中，
12497,1,16a a a a 则==+的值是 （ ）
A ．15
B ．30
C ．31
D ．64
答案 A
12、已知等差数列的首项为31,若此数列从第16项开始小于1，则此数列的公差d 的取值范围是B
A ．(－∞,－2)
B ．[－
715
, －2] C ．(－2, +∞) D ．(—7
15
,－2)
13、 已知等差数列{}n a 的前n 项之和记为S n ，S 10=10 ，S 30=70，则S 40等于 。

正解：由题意：⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=⨯+=⨯+70
2293030102
9101011
d a d a 得152
,521==
d a
代入得S 40 ＝120402
3940401=⨯⨯+d a 。

14、等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和为S n 、T n .若
),(2741
7+∈++=N n n n T S n n 求7
7b a ；正解：79
92
2713411371313777777=+⨯+⨯==++=∴
T S b b a a b a 15、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若
1221S =，则25811a a a a +++=
．
答案 7
16、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且
53655,S S -=则4a =
解析 ∵S n ＝na 1＋
1
2
n(n －1)d ∴S 5＝5a 1＋10d,S 3＝3a 1＋3d
∴6S 5－5S 3＝30a 1＋60d －(15a 1＋15d)＝15a 1＋45d ＝15(a 1＋3d)＝15a 4 答案 3
1
17、已知*2
()156
n n
a n N n =
∈+，则在数列{}n a 的最大项为__
18、数列7，77，777，7777，77777，……的通项公式为_____________。