●
O
C D
小于半圆的弧叫做劣弧,如记作 ⌒ AB(用 两个字母). ⌒ 大于半圆的弧叫做优弧,如记作 ACB (用三个字母).
垂径定理 AB是⊙O的一条弦. 作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M.
下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么? 你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你 的想法和理由.
小明发现图中有:
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒
（AD＝BD）CD ⊥AB
⌒
⌒
记忆
推论（1）
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，
并且平分弦所对的两条弧。 （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， 并且平分弦所对 的两条弧
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦 所对的两条弧 （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分 弦，并且平分弦所对的另一条弧
B O
A
M└
●
∵⊙O关于直径CD对称,
∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B ⌒ ⌒ ⌒ 重合, ⌒ AC和BC重合, AD和BD重合.
D
⌒=BC, ⌒ ∴AC
⌒ ⌒ AD =BD.
垂径定理的逆定理
AB是⊙O的一条弦,且AM=BM. 过点M作直径CD. 下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么? 你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说 你的想法和理由. 小明发现图中有:
圆也是中心对称图形.
●
O
它的对称中心就是圆心.
用旋转的方法即可解决这个问题.
读一读
圆的相关概念
圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧. AB ,读作“弧 以A,B两点为端点的弧.记作⌒ AB”. 连接圆上任意两点间的线段叫做弦(如弦AB).
B A
经过圆心的弦叫做直径(如直径AC). 直径将圆分成两部分,每一部分都叫 做半圆(如弧ABC). ⌒
如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条 对称轴？
你是用什么方法解决上述问题的?
圆是中心对称图形吗？
如果是,它的对称中心是什么?你 能找到多少个对称中心？
你又是用什么方法解决这个问题的?
●
O
想一想
圆的对称性
圆是轴对称图形.
圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它 有无数条对称轴. 可利用折叠的方法即可解决上述问题.
解:连接OC.
设弯路的半径为Rm, 则OF ( R 90)m.
C
老师提示: 注意闪烁 的三角形 的特点. F
●
E
OE CD,
1 1 CF CD 600 300(m). 2 2 D 2 2 2 OC CF OF ,即 根据勾股定理, 得
O
R 2 300 2 R 90 .
2
这段弯路的半径约为545m. 解这个方程, 得R 545.
讨论
（3）
（1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦 （4）平 分弦所对优弧 （5）平分弦所对的劣弧 （2） （1） （4） （5） （1） （ 3） （ 2） （ 5） （1） （3） （4） （2）
（2） （4） （5）
（1）
C
●
A
┗
B O
M
●
由 ① CD是直径 ③ AM=BM
②CD⊥AB,
可推得
⌒不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.
D
垂径定理的应用
例1 如图，一条公路的转变处是一段圆弧(即图中弧CD, 点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点, 且OE⊥CD垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.
课本习题3.2
第2题
再见
C
A
M└
●
B
O
③AM=BM,
可推得
由 ① CD是直径 ② CD⊥AB
⌒ ⌒ ④AC=BC,
⌒ ⑤AD=BD.
⌒
D
如图,小明的理由是:
连接OA,OB, 则OA=OB. 在Rt△OAM和Rt△OBM中, ∵OA=OB，OM=OM， ∴Rt△OAM≌Rt△OBM. ∴AM=BM.
C
∴点A和点B关于CD对称.
.
C O E
B
D 命题（2）：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对 的两条弧 已知：AB是弦，CD平分AB，
CD ⊥AB，求证：CD是直径，
AD＝BD，AC＝BC 命题（3）：平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且 平分弦所对的另一条弧 已知：CD是直径，AB是弦，并且AD＝BD （AC＝BC）求证：CD平分AB，AC＝BC
（4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的 两条弧………………………………………( × ) （5）圆内两条非直径的弦不能互相平分（ √ ）
（6）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧 （7）平分弦的直线，必定过圆心
( ） （ ）
（8）一条直线平分弦（这条弦不是直径），那么这
条直线垂直这条弦
A C O D A C O
3.2.2 圆的对称性
复习提问：
1、什么是轴对称图形？我们在学过 哪些轴对称图形？
如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的 部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称 图形。如线段、角、等腰三角形、矩形、菱 形、等腰梯形、正方形
2、我们所学的圆是不是轴对 称图形呢？
.
想一想
圆的对称性
圆是轴对称图形吗？
（ ）
C O B A B
(1) B
(2) D
(3) D
（9）弦的垂直平分线一定是圆的直径
（ ）
（10）平分弧的直线，平分这条弧所对的 弦（ ） （11）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分 （ ）
B O O D A (5)
C
O E D (6)
A
C (4)
B
C
A
B
这节课有何收获？！
作业
（3）
（4）
（5）
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且 平分弦所对的两条弧
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对 的两条弧 （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦， 并且平分弦所对的另一条弧
命题（1）：平分弦（不是直径）的直径垂 直于弦，并且平分弦所对的两条弧 已知：CD是直径，AB是弦，并且CD平分AB ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ A 求证：CD⊥AB，AD＝BD，AC＝BC
判断
挑战自我
（1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的 弧…………………………………………..( × )
（2）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且 经过圆心……………………………………..( √ ) （3）圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平 分…………………………………………...( × )