始猜值几乎不敏感因为算法会以增加迭代步数为代价来弥补精度
误差（图１）。
科 教 研 究
４ 在气象中的应用概述
在许多数学物理反问题的研究中，都需要解第一类算子方程： 例如热传导问题的反问题，医学上ＣＴ技术，地震勘测，卫星遥感反 演 ， 气 候 系 统 动 力 模 式 研 究 等 。由 于 这 类 问 题 是 不 适 定 的 ， 对 求 解 带来很大的困难。
带噪声的近似解的离散图象。
３ 计算结果讨论
下图为用基于偏差原理的Ｔｉｋｈｏｎｏｖ正则化方法得到的结果，星号
线为近似解，虚线为真解。为方便描述，最上层的图记为图（１），下一层
左图记为图（２），右图记为图（３），最下层左图记为图（４），右图记为图（５）。
最上面的图（１）中积分步数为１００步，误差水平为０．０１，正则参数初始猜
３ ． 南海舰队海洋水文气象中心 广东湛江 ５ ２ ４ ０ ０ １ ）
摘 要： 本文先简述了Ｔｉｋｈｏｎｏｖ正则化方法的原理， 再用Ｍ ａ ｔ Ｌ ａ ｂ对一个数学实例进行了编程实现并对计算结果进行了讨论， 最后概述了与
Ｔ ｉ ｋ ｈ ｏ ｎ ｏ ｖ 正则化方法紧密相联的数学物理反问题在气象中的应用。
科 教 研 究
中国科教创新导刊 ２０１０ ＮＯ．１１
Ｃｈｉｎａ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ Ｉｎｎｏｖａｔｉｏｎ Ｈｅｒａｌｄ
Ｔｉｋｈｏｎｏｖ 正则化的编程实现及其在气象中的应用
仇晓庆 １ 彭跃华 ２ 龚锋 ２，３ 项杰 ２ （ １ ． 东海舰队司令部 ３ ７ 分队 宁波东钱湖 ３ １ ５ １ ２ ２ ； ２ ． 解放军理工大学气象学院 江苏南京 ２ １ １ １ ０ １ ；
２ 编程实例检验
考虑第一类Ｆｒｅｄｈｏｌｍ方程中的逆Ｌａｐｌａｃｅ变换
smax
∫ ( Af )(t) = k(s,t)x(s)ds = g(t), t ∈[tmin ,tmax ] 其 中 k (s,t) = exp(st) ， 精 确 smin
右
端项
为
g (t )
=
et+1 −1 , t +1
(tmin
α →0
图１
中国科教创新导刊 Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ Ｅ ｄ ｕ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ Ｉ ｎ ｎ ｏ ｖ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ Ｈ ｅ ｒ ａ ｌ ｄ
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中国科教创新导刊 ２０１０ ＮＯ．１１ Ｃｈｉｎａ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ Ｉｎｎｏｖａｔｉｏｎ Ｈｅｒａｌｄ
这 样 的 正 则 算 子 R(uδ ,α ) ， 连 同 决 定 正 则 参 数 的 不 同 原 则 和 方 法 ， 都 定 义 了 构 造 原 问 题 近 似 解 的 一 个 稳 定 算 法 。Ｔ ｉ ｋ ｈ ｏ ｎ ｏ ｖ 通 过 引 入 展平泛函（ｓｍｏｏｔｈｉｎｇ ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ）来构造正则算子，展平泛函的表 达式为 M α [z, u] = ρU2 ( Az, u) + αΩ[z], u ∈U , z ∈ F 。其中正则参数的选 择是一个重要的研究课题，当误差水平已知时，常采用的后验策略 （即在计算正则解的过程中确定正则参数）是Ｍｏｒｏｚｏｖ偏差原理，原 理表述如下：
方法的算法过程如下：
Ｓｔｅｐ １：输入积分步数和积分步长，并初始化ｘ向量 δ ，给出误 差水平，正则参数的初始值 α0 和容许偏差 ε 。
Ｓｔｅｐ ２：给出真解ｘＴ，并把积分方程离散化得算子矩阵。
Ｓｔｅｐ ３：给出精确右端项和带噪声的右端项。
Ｓｔｅｐ ４：迭代求解正则参数，这是Ｔｉｋｈｏｎｏｖ正则化方法的核心，
值为０．１，容许偏差为０．０１，它迭代５步后收敛（ G(αk ) < ε ），真解与近似 解误差的模为０．７７０８。用它作为参照方案，其他为某个参数变化的敏
感性方案。图（２）与参照方案的区别是正则参数初始猜值为１，它迭代
７步后收敛，解误差模为０．７７５６，可见精度略微变差了；图（３）与参照方
案的区别是误差水平为０．１，它迭代５步后收敛，解误差模为１．８８１７，可
如 果 φ(α ) 是 单 值 函 数 ， 则 当 ρU ( Az0,u) > δ 时 存 在 这 样 的 α = α (δ ) ，使得 ρU ( Azα (δ ) , u) = δ 。式中 z0 ∈{z | Ω[z] = infγ∈F Ω[γ ]} 。若 近 似 右 端 项 满 足 条 件 ： ρU (uT ,uδ ) < δ ; ρ(0,uδ ) > δ ， 则 正 则 参 数 存 在 且唯一。
有一半而且从图上容易看出其在第５０步时误差明显比参照方案的第
５ ０ 步 要 大 ， 所 以 其 精 度 是 下 降 的 。由 以 上 结 果 可 以 知 道 ： 积 分 步 数 越
大，误差水平、正则参数初始猜值和容许偏差越接近０，精度越高；该方
法对误差水平的敏感程度最大，容许偏差敏感程度其次，正则参数初
若 ρU (uT ,uδ ) ≤ δ ， 则 可 取 zα = R(uδ ,α ) 作 为 具 有 近 似 右 端 项 的 方 程 Az = uδ 的 近 似 解， 式 中 的 α = α (δ ) 与 原 始 数 据 及 其 误 差 有 关 。称 这 个 解 为 方 程 Az =u 的 正 则 解 ， α 为 正 则 参 数 。判 定 算 子 为 该 方 程 的 正 则 算 子 的 一 个 充 分 条 件 是 ： lim R( Az,α ) = z,∀z ∈ F 。显 然 ， 每 个
迭
代公式
可算出
α1
= α0
−
G(α0 ) G′(α0 )
，然
后把
它
代入
得
x2 = (α1I + AT A)−1 AT bδ ， 再 用 同 样 的 方 法 求 出 α2 ， 如 此 循 环 迭 代 ，
直 到 G(αk ) < ε 或 者 迭 代 次 数 超 过 最 大 次 数 为 止 。
Ｓ ｔ ｅ ｐ ５ ：显 示 最 后 结 果 包 括 迭 代 次 数 ， P x − xT P， 真 解 和 右 端 项
本 文 用 Ｍ ｏ ｒ ｏ ｚ ｏ ｖ 偏 差 原 理 。x1 = (α0I + AT A)−1 AT bδ ， 然 后 可 求 出
G(α0 ) =P Ax1δ − bδ P2 −δ 2
和
G′(α0 )
=
− P x1δ
P2
−2*α* <
dx1δ dα
> − < A dx1δ ,bδ dα
>
，
再用Ｎｅｗｔｏｎ
目前这些方面还有许多问题没有解决，以晴空情况下大气温湿 廓 线 反 演 为 例 ， 目 前 没 有 解 决 的 关 键 问 题 如 下 。其 一 ， 反 演 的 不 适 定 性。这就导致了反演的不稳定性。曾庆存在总结国内外工作遥感反演 及反演研究成果的基础上，发展了一整套关于解决不稳定反演问题 的 理 论 与 方 法 ， 包 括“ 最 佳 信 息 层 ”理 论 ， 最 优 通 道 选 择 等 。此 后 Ｒｏｄｇｅｒｓ（１９７６）对几种典型反演方法进行总结。在各种反演方法中，最 小 方 差 法 在 实 际 上 用 得 较 为 广 泛 。其 二 ， 初 始 猜 值 的 决 定 。如 果 初 始 猜 值 越 接 近 于 真 值 ， 则 迭 代 收 敛 性 、收 敛 速 度 及 求 解 精 度 较 好 。一 般 来 说 ， 用 统 计 回 归 法 作 为 初 始 猜 值 。其 三 ， 问 题 的 非 线 性 。由 于 R = R(Ts ,T ( p), q( p),...) 是一个非线性方程，特别对求解水汽而言，非线 性更为突出， 传统的方法一般将辐射方程线性化。但是二者关系复 杂，例如非线性问题不适定并不意味着线性化问题也是不适定，非线 性问题适定也不意味着线性化问题也适定。所以设置合理有效的算 法 显 得 十 分 重 要 。其 四 ： 权 重 函 数 的 计 算 。不 管 是 线 性 还 是 非 线 性 方 法进行反演，非常关键的一步是权重函数的计算，此问题长期以来一 直没有很好解决，例如ＩＴＰＰ３．０和４．０版本中，水汽权重函数未处理好 等。因 此，与 Ｔｉｋｈｏｎｏｖ正 则 化 方 法 相 关 的 研 究 还 大 有 作 为 。
求解数学物理反问题所面临的两个实质问题是：原始数据可能不
属于所论问题精确解所对应的数据集合，因而在经典意义下的近似解 可能不存在；近似解的不稳定性，即原始数据小的误差会导致近似解 与真解的严重偏离。总之，反问题常常是不适定的，是和不适定性紧密 联系在一起的，若不采用特殊的方法求解，将得不到合理的答案。
见精度下降很大；图（４）与参照方案的区别是容许偏差为０．１，它迭代３
步后收敛，解误差模为１．４３５３，可见精度也下降较大但比图（３）的下降
幅度小；图（５）与参照方案的区别是积分步数为５０步，它迭代５步后收
敛，解误差模为０．６８１５，乍看上去似乎精度提高了但实际上这是由于
它的元素个数少了一半才使其解误差模偏小一点，但它并未小到只
关键词： 正则化 反问题 编程
中图分类号： Ｇ ６ ４ ２
文献标识码： Ａ
文章编号： １ ６ ７ ３ － ９ ７ ９ ５ （ ２ ０ １ ０ ） ０ ４ （ ｂ ） － ０ ０ ５ ７ － ０ ２
近二十年来，数学物理反问题已成为应用数学中发展和成长 最快的领域之一。之所以如此， 在很大程度上是受其它学科与众多 工程技术领域的应用中产生的迫切需要所驱动；同时，由于它在理 论上又具有鲜明的新颖性和挑战性，所以引起了国内外许多学者 和实际工作者从事研究和应用。迄 今， 它已发展成为具有交叉性的 计 算 数 学 、应 用 数 学 和 系 统 科 学 中 的 一 个 热 门 学 科 方 向 。数 学 物 理 反 问 题 的 研 究 可 分 为 研 究 和 实 际 应 用 两 个 方 面 ， 地 质 工 程 、医 学 、 军 事 、环 境 、遥 测 、控 制 、通 讯 、气 象 、经 济 等 领 域 着 重 实 际 的 应 用 ； 而数学研究着重研究问题的理论和方法。