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1. 拟最优准则
Tikhonov指出当数据误差水平和未知时，可根据下面的拟最优准则：

0minoptdxd









（1-1）

来确定正则参数。其基本思想是：让正则参数以及正则解对该参数的变化率同时稳定在
尽可能小的水平上。
2. 广义交叉验证
令
2
2
(())/()[(())]/IAymVtrIAm



（2-1）

其中，*1*()A(AAI)AhhhhA，1(IA())(1())mkkktr，
()
kk

为()A的

对角元素。这样可以取
*


满足

*
()min()VV

（2-2）

此法源于统计估计理论中选择最佳模型的PRESS准则，但比它更稳健。
3. L_曲线法
L曲线准则是指以log-log尺度来描述与的曲线对比，进而根据该对比结果来确定正则
参数的方法。其名称由来是基于上述尺度作图时将出现一个明显的L曲线。
运用L曲线准则的关键是给出L曲线偶角的数学定义,进而应用该准则选取参数。
Hanke等[64]建议定义L曲线的偶角为L曲线在log-log尺度下的最大曲率。令
logbAx，logx
，则该曲率作为参数的函数定义为

''''''
3
'2'2
2

()(()())c

（3-1）

其中“'”表示关于的微分。
H.W.Engl在文献[40]中指出:在相当多的情况下,L曲线准则可通过极小化泛函
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()xbAx
来实现。即,选取*使得


*

0arginf()

（3-2）

这一准则更便于在数值计算上加以实施。
但到目前为止,还没有相关文献获得过关于L曲线准则的收敛性结果。另一方面,有文献
己举反例指出了L曲线准则的不收敛性。虽然如此,数值计算的结果表明,L曲线准则与GCV
一样,具有很强的适应性。
4. 偏差原理:
定理4-1:(Morozov 偏差原理)[135]如果()是单值函数,则当
0
(,)UzAu

时存在

这样的(),使得:

()
(,)UzAu
（4-1） ,

式中

1
0|[]inf[]Fzzz

。

事实上，令
2
()()

，由()的单调性和半连续性，可知()也是单调和

半连续的，并且

0lim()0

，

同时，由
0
z

的定义以及()的半连续性，对于给定的，可以找到这样的00()，

使得：

()
0

00(())(())(,)Uz

Au
，

由()的单值性可导出()的单值性，从而必定存在
0
()[0,]

满足方程

（4-1）。
根据上述定理，若方程
,Azu
uF， uU

（4-2）

的准确右端项()uRA,而u的近似
s
uU且满足条件：(,)Uuu；(0,)u

，
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则正则化参数()存在且唯一。
5. 误差极小化准则
Arcangeli主张由下式来确定正则参数

0Axy
（5-1）

注意到对于每个固定的0，函数
()Axy
（5-2）

对是连续的，单调递增的，且有

0lim()0,lim()

（5-3）

故存在唯一的一个()满足方程（5-1）。
6. 无偏差预测风险估计