山东省泰安市新泰一中2019-2020学年高二数学下第一次质量检测考试试题（含解析）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1.已知集合{}2230A x x x =-->，集合{}2Z 4B x x x =∈≤，则()RA B =（ ）A. {}03x x ≤≤ B. {}1,0,1,2,3- C. {}0,1,2,3D. {}1,2【答案】C 【解析】集合{}2230A x x x =-->{}=31x x x <-或，{}{}2Z 44,3,2,1,0B x x x =∈≤={}|13RA x x =-≤≤ 故(){}0,1,2,3R AB ⋂=故答案为C ． 2.复数z =（其中i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的除法法则将复数z 化为一般形式，进而可求得复数z 的共轭复数，由此可得出复数z 的共轭复数在复平面对应的点所在的象限.【详解】21121z -====-++，则12z =-， 因此，复数z 的共轭复数在复平面内对应的点位于第三象限. 故选：C.【点睛】本题考查复数在复平面对应的点所在象限的判断，考查了复数的除法法则和共轭复数概念的应用，考查计算能力，属于基础题.3.已知随机变量X 的分布列如图所示，则(68)E X +=（ ）X123P0.20.40.4A. 13.2B. 21.2C. 20.2D. 22.2【答案】B 【解析】 试题分析：首先()10.220.430.4 2.2E X =⨯+⨯+⨯=，所以(68)6()86 2.2821.2E X E X +=+=⨯+=，故选择B.考点：随机变量的概率分布.4.某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表： 广告费用（万元） 4 2 3 5 销售额（万元）49263954根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为A. 63.6万元B. 65.5万元C. 67.7万元D. 72.0万元 【答案】B 【解析】【详解】试题分析：4235492639543.5,4244x y ++++++====，∵数据的样本中心点在线性回归直线上，回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9.4， ∴42=9．4×3．5+a ，∴ˆa=9．1， ∴线性回归方程是y=9．4x+9．1，∴广告费用为6万元时销售额为9．4×6+9．1=65．5 考点：线性回归方程5.某次中俄军演中，中方参加演习的有4艘军舰、3架飞机；俄方有5艘军舰、2架飞机.从中俄两方中各选出2个单位（1艘军舰或1架飞机都作为一个单位，所有的军舰两两不同，所有的飞机两两不同），则选出的四个单位中恰有一架飞机的不同选法共有（ ） A. 180种 B. 160种 C. 120种 D. 38种【答案】A 【解析】 【分析】分两类进行，第一类，飞机来自中方得到方法数，第二类，飞机来自俄方得到方法数，然后两类求和.【详解】分两类，第一类，飞机来自中方，有112435120C C C ⋅⋅=种， 第二类，飞机来自俄方，有21145260C C C ⋅⋅=种，所以选出的四个单位中恰有一架飞机的不同选法共有180种.故选：A 【点睛】本题主要考查分类加法计数原理和组合问题，还考查了运算求解的能力，属于基础题.6.函数4cos e xy x =-（e 为自然对数的底数）的图象可能是（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【详解】试题解析：函数为||4cos x y x e =-偶函数，图象关于y 轴对称，排除B 、D ， 0x =时，413,y =-=舍去C ，选A.考点：函数的奇偶性、单调性，函数的图象.7.设两个正态分布2111()(0)N μσσ>，和2222()(0)N μσσ>，的密度函数图像如图所示．则有（ ）A. 1212,μμσσ<<B. 1212,μμσσC. 1212,μμσσ><D. 1212,μμσσ>> 【答案】A 【解析】 根据正态分布函数的性质：正态分布曲线是一条关于对称，在处取得最大值的连续钟形曲线；越大，曲线的最高点越底且弯曲较平缓；反过来，越小，曲线的最高点越高且弯曲较陡峭，选A ．8.5名成人带两个小孩排队上山，小孩不排在一起也不排在头尾，则不同的排法种数有（ ）A. 5254A A 种B. 5255A A 种C. 5256A A 种D.76764A A -种【答案】A 【解析】首先5名大人先排队，共有55A 种，然后把两个小孩插进中间的4个空中，共有24A 种排法，根据乘法原理，共有5254A A 种，故选A.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9.512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则其中正确命题的序号是（ ）A. 1a =B. 展开式中含6x 项的系数是-32C. 展开式中含1x -项D. 展开式中常数项为40【答案】AD 【解析】 【分析】根据512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，令1x =，解得 a ，判断A 的正误.再根据A 的结果，写出展开式中的通项公式()562521rr rr C x ---或()()54252rrr r C x ---，然后分别令626r -=或426r -=，令621r -=-或421r -=-，令620r -=或420r -=，判断BCD 的正误.【详解】因为512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，令1x =得，12a +=，所以1a =，故A 正确.此时5511122a x x x x x x x x =⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，展开式中通项为()()5562551221r rr r r r r xC x C x x ---⎛⎫-=- ⎪⎝⎭或()()()5542551122rr r r r rr C x C x x x ---⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，令626r -=或426r -=解得0r =，所以含6x 项的系数是32，故B 错误.令621r -=-或421r -=-，都无解，故展开式中不含1x -项，故C 错误. 令620r -=或420r -=，解得3r =或2r ，所以展开式中常数项为40.故选：AD【点睛】本题主要考查二项式定理的展开式的系数及通项公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.10.下列说法正确的是（ ）． A. 若0xy ≥，则||||||x y x y +>+ B. 若220x y +≠，则0x ≠或0y ≠C. “2a bx +>是x > D. “0x ∀>，1x e x >+”的否定形式是“0x ∃≤，1x e x ≤+” 【答案】B 【解析】 【分析】对A ，举出反例判定即可.对B ，根据原命题的逆否命题判断即可. 对C ，举出反例判定即可.对D ，根据全称命题的否定判定即可.【详解】对A ，当0x y ==时满足0xy ≥，但||||||x y x y +=+，故A 错误.对B ，命题“若220x y +≠，则0x ≠或0y ≠”的逆否命题为“若0x =且0y =，则220x y +=”为真命题，故原命题也为真命题.故B 正确.对C ，当0ab 时，“0x >是0x >”的充要条件，故C 错误.对D ，“0x ∀>，1x e x >+”的否定形式是“0x ∃>，1x e x ≤+”，故D 错误. 故选：B【点睛】本题主要考查了命题真假的判定、绝对值不等式与全称量词的否定等.属于基础题. 11.已知函数()e e xxf x -=-，()e exxg x -=+，则以下结论错误的是（ ）A. 任意的1x ，2x ∈R 且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-B. 任意的1x ，2x ∈R 且12x x ≠，都有()()12120g x g x x x -<-C. ()f x 有最小值，无最大值D. ()g x 有最小值，无最大值 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据()e e xxf x -=-与()e exxg x -=+的单调性逐个判定即可.【详解】对A, ()e e xxf x -=-中e x y =为增函数,e x y -=为减函数.故()e e xxf x -=-为增函数.故任意的1x ,2x ∈R 且12x x ≠,都有()()12120f x f x x x ->-.故A 错误.对B,易得反例11(1)e e g -=+,11(1)(1)e e g g --=+=.故()()12120g x g x x x -<-不成立.故B 错误.对C, 当因为()e e x xf x -=-为增函数,且当x →-∞时()f x →-∞,当x →+∞时()f x →+∞.故()f x 无最小值,无最大值.故C 错误.对D, ()e e 2x x g x -=+≥=,当且仅当e e =x x -即0x =时等号成立. 当x →+∞时()g x →+∞.故()g x 有最小值,无最大值. 故选：ABC【点睛】本题主要考查了函数的单调性与最值的判定,需要根据指数函数的性质分析.属于基础题.12.已知函数()ln f x x x =，给出下面四个命题：①函数()f x 的最小值为1e-；②函数()f x 有两个零点；③若方程()f x m =有一解，则0m ≥；④函数()f x 的单调减区间为1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭. 则其中错误命题的序号是（ ）A. ①B. ②C. ③D. ④【答案】BCD 【解析】 【分析】由函数()ln f x x x =，求导()1ln f x x '=+，当10x e<<时，()0f x '<，当1x e >时，()0f x '>，作出函数图象逐项判断.【详解】因为函数()ln f x x x =，所以()1ln f x x '=+当10x e<<时，()0f x '<，当1x e >时，()0f x '>所以当1x e =时， ()f x 的最小值为1e-；如图所示：当0x →时，()0f x →，当x →+∞时，()f x →+∞，所以函数()f x 有一个零点； 若方程()f x m =有一解，则0m ≥或1m e =-，函数()f x 的单调减区间为10,e ⎛⎫⎪⎝⎭. 故错误命题的序号是 ②③④ 故选：BCD【点睛】本题主要考查导数在函数的图象和性质中的综合应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知复数()252z i =-（i 为虚数单位），则复数z 的虚部是______. 【答案】20- 【解析】【分析】先利用复数的乘法，将复数()252z i =-化为：z a bi =+再求解. 【详解】因为复数()2215022z i i =-=-， 所以复数z 的虚部是20-. 故答案为：20-【点睛】本题主要考查复数的概念和运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 14.从0，1，2，3，4，5六个数字中每次取3个不同的数字，可以组成________个无重复数字的3位偶数． 【答案】52 【解析】 【分析】由题意可知取出的3个数字组成的偶数有两类，一类是个位数字为0的三位数，另一类是个位数字是2或4的三位数，分别计算最后相加可得答案. 【详解】解：由题意得，若0在个位，则从1，2，3，4，5中选两个排在百位和十位上，有2520A =种；若0不在个位，则从2，4中选1个排在个位，从除了0之外的4个数中选一个排在百位上，再从剩下的4个数字中任选1个排在十位上，有11124432A A A =,由分类加法原理可得共有20+3252=个 故答案为：52【点睛】此题考查排列组合及简单计数问题，解题时要注意分类，属于基础题. 15.已知函数()2ln38f x x x =+，则()()121lim x f x f x∆→-∆-∆的值等于 ．【答案】20- 【解析】试题分析： 由题意，因为()2ln38f x x x =+，所以()2'8f x x=+，于是()'110f =，由导数的定义知，()()121lim x f x f x∆→-∆-∆()()()201212lim2'1202x f x f f x∆→-∆-=-=-=--∆，故答案为20-.考点：导数的定义. 16.若20172017012017(12)()x a a x a x x R -=+++∈，则0a =______，201712232018222a a a +++=______. 【答案】 (1). 1 (2). 12- 【解析】 【分析】 根据20172017012017(12)x a a x a x -=+++，0x =即可.两边同乘以x ，再令12x =求解. 【详解】因为20172017012017(12)x a a x a x -=+++，令0x =得，01a =.201722018012017(12)x a a x x x a x -=+++⨯，令12x =得：020171223201802222a a a a ++++=， 所以20171223201812222a a a +++=-. 故答案为： (1). 1 (2). 12-【点睛】本题主要考查二项展开式的系数，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 四、解答题：本题共6小题，第17题10分，其余每小题12分，共70分． 17.已知0a >，1a ≠，()2:log 2119a p x x -+-有意义，:q 关于x 的不等式()22210x a x a a -+++<.（1）若p 是真命题，求x 的取值范围；（2）若p 是q 的必要不充分条件，求a 的取值范围.【答案】（1）91,2⎛⎫⎪⎝⎭；（2）71,2⎛⎤ ⎥⎝⎦. 【解析】 【分析】（1）解不等式221190x x -+->，即可求得符合条件的实数x 的取值范围； （2）解不等式()22210x a x a a -+++<得出1a x a <<+，由题意得出(),1a a + 91,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得出关于实数a 的不等式组，即可解得实数a 的取值范围. 【详解】（1）因为p 是真命题，所以221190x x -+->，即221190x x -+<，解得912x <<. 故x 的取值范围为91,2⎛⎫⎪⎝⎭； （2）因为()22210x a x a a -+++<，即()()10x a x a --+<⎡⎤⎣⎦，所以1a x a <<+. 因为p 是q 的必要不充分条件，则(),1a a + 91,2⎛⎫⎪⎝⎭， 由于0a >且1a ≠，所以1912a a >⎧⎪⎨+≤⎪⎩，解得712a <≤.故a 的取值范围为71,2⎛⎤⎥⎝⎦.【点睛】本题考查利用命题的真假求参数，同时也考查了利用必要不充分条件求参数，涉及一元二次不等式的解法，考查运算求解能力，属于基础题.18.已知函数322()1f x x mx m x =+-+（m 为常数，且m >0）有极大值9. （Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）若斜率为5-的直线是曲线()y f x =的切线，求此直线方程. 【答案】(Ⅰ) m ＝2. （Ⅱ）5x ＋y －1＝0，或135x ＋27y －23＝0. 【解析】【详解】（Ⅰ）322()1f x x mx m x =+-+，22()32(3)()f x x mx m x m x m '=+-=-+，令()0,f x x m '==-或,0,33m mx m m =>∴>-， ()0,f x x m '><-或,()0,33m m x f x m x >'<-<<，()f x ∴递增区间是(,),(,)3m m -∞-+∞，递减区间是(,)3m m -， ,()x m f x ∴=-取得极大值为319,2m m +=∴=；（Ⅱ）设切线的切点坐标为00(,)x y ，由（1）得，322()241,()344f x x x x f x x x =+-+'=+-，依题意2000()3445f x x x '=+-=-，解得01x =-或013x =-， 所以切点坐标为(1,6)-或168(,)327-， 所求的切线方程为65(1)y x -=-+或6815()273y x -=-+， 即510x y +-=或13527230x y +-=19.某投资公司在2020年年初准备将1000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利40%，也可能亏损10%，且这两种情况发生的概率分别为35和25； 项目二：通信设备据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为35，13和115．针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由． 【答案】投资项目一更合理，理由见解析 【解析】 【分析】根据题意，写出两个项目的获利的分布列，再根据离散型分布列分别写出期望1E ξ和2E ξ，再求出两个项目的获利的方差1D ξ和2D ξ，比较两个项目的期望和方差，利用期望和方差的意义，即可得出结论.【详解】解：由题意知，项目一：到年底可能获利40%，也可能亏损10%， 且这两种情况发生的概率分别为35和25，若按“项目一”投资，设获利1ξ万元， 1ξ∴的分布列为：∴1)32400(10020505E ξ=⨯+-⨯=（万元）；而项目二：到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚， 且这三种情况发生的概率分别为35，13和115， 若按“项目二”投资，设获利2ξ万元，则2ξ的分布列为：∴2311500(300)02005315E ξ=⨯+-⨯+⨯=（万元）； 又2212(400200)(100200)60355000D ξ=-⨯+--⨯=，2222311(500200)(300200)(0200)1400005315D ξ=-⨯+--⨯+-⨯=，12E E ξξ∴=，12D D ξξ<，这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥， 综上所述，该投资公司投资项目一更合理.【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列、期望和方差，以及运用这些知识解决实际问题的能力，考查运算能力.20.213nx ⎫⎪⎭的二项展开式中.（1）若第5项的二项式系数与第3项的二项式系数的比是14:3，求展开式中的常数项；（2）若所有奇数项的二项式系数的和为A ，所有项的系数和为B ，且24364A B =，求展开式中二项式系数最大的项.【答案】（1）5； （2）52109x -，51027x -.【解析】 【分析】（1）根据第5项的二项式系数与第3项的二项式系数的比是14:3，则有42:14:3n n C C =，求得n ，再利用通项公式求解.（2）根据所有奇数项的二项式系数的和为12n A -=，令1x =，得到所有项的系数和B ，代入24364A B =求得n ，若n 为偶数，则中间项二项式系数最大，若n 为奇数，则中间两项二项式系数最大.【详解】（1）依题意42:14:3n n C C =，化简得()()2356n n --=， 解得10n =或5n =-（舍去）， ∴()101052211010233r rrrr r r T C xxxC --+--=⋅⋅=，令10502r-=，解得2r ，∴常数项为第3项，2231035T C -==.（2）12n A -=，令1x =，得43nB ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则122436443n nA B -==⎛⎫ ⎪⎝⎭，解得：5n =，则展开式中二项式系数最大的项是第3项和第4项，2523235211039T C x x -⎛⎫== ⎪⎝⎭，3325452110327T C xx -⎛⎫== ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查二项式定理的系数及通项公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.21.某土特产超市为预估2020年元旦期间游客购买土特产的情况，对2019年元旦期间的90位游客购买情况进行统计，得到如下人数分布表.（1）根据以上数据完成22⨯列联表，并判断是否有95%的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关.（2）为吸引游客，该超市推出一种优惠方案，购买金额不少于60元可抽奖3次，每次中奖概率为p （每次抽奖互不影响，且p的值等于人数分布表中购买金额不少于60元的频率），中奖1次减5元，中奖2次减10元，中奖3次减15元.若游客甲计划购买80元的土特产，请列出实际付款数X （元）的分布列并求其数学期望.附：参考公式和数据：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.附表：【答案】(1)见解析，有95%的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关.(2)分布列见解析，数学期望75 【解析】 分析】（1）完善列联表，计算214403.841247K =>得到答案. （2）先计算13p =，分别计算()16527P X ==，()2709P X ==，()4759P X ==，()88027P X ==，得到分布列，计算得到答案. 【详解】（1）22⨯列联表如下：()22901220401814405 3.84130605238247K ⨯⨯-⨯==>>⨯⨯⨯，因此有95%的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关. （2）X 可能取值为65，70，75，80，且10201903p +==. ()3331165327P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()22312270339P X C ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭， ()21312475339P X C ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭，()3032880327P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， 所以X 的分布列为12486570758075279927EX =⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查了列联表，分布列，意在考查学生的应用能力和计算能力.22.已知函数21()2ln (2)2f x x a x a x =+-+． （1）当1a =时，求函数()f x 的单调区间； （2）是否存在实数a ，使函数34()()9g x f x ax x =++在(0,)+∞上单调递增？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】（1）()f x 的单调递增区间为(]0,1和[)2,+∞，单调递减区间为()1,2（2）存在,724a ≥【解析】 【分析】 （1）求出导函数'()f x ，由'()0f x >确定增区间，由'()0f x <确定减区间；（2）求出导函数'()g x ，假设存在，则'()0g x ≥在(0,)+∞上恒成立，而不等式恒成立，又可用分离参数法转化为求函数的最值． 【详解】（1）当1a =时，21()2ln 3(0)2f x x x x x =+->． 所以2()3f x x x '=+-=232(2)(1)x x x x x x-+--=令()0f x '≥，则01x <≤或2x ≥，令()0f x '<，则12x <<， 所以()f x 的单调递增区间为(]0,1和[)2,+∞，单调递减区间为()1,2（2）存在724a ≥，满足题设， 因为函数34()()9g x f x ax x =++=23142ln 229x a x x x +-+所以224()23a g x x x x '=+-+ 要使函数()g x 在0,∞（+）上单调递增，224()20,(0,)3a g x x x x x '=+-≥+∈+∞ 即3243660x x x a +-+≥，(0,)x ∈+∞⇔324366x x xa +-≥-，(0,)x ∈+∞令32436()6x x xh x +-=，(0,)x ∈+∞，则2()21(21)(1)h x x x x x '=+-=-+，所以当10,2x⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x'<，()h x在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，当1,2x⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0h x'>，()h x在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增，所以12x=是()h x的极小值点，也是最小值点，且17224h⎛⎫=-⎪⎝⎭，∴324366x x x+--在(0,)+∞上的最大值为724．所以存在724a≥，满足题设．【点睛】本题考查研究函数的单调性，研究函数的最值．一般情况下，我们用'()0f x>确定增区间，用'()0f x<确定减区间，另外用导数研究不等式恒成立问题，都是转化为求函数的最值，为此分离参数法用得较多．。