B发生时A发生的条件概率,记为 P( A | B) .
P( AB) 当P(B)>0时，P( A | B) (其中，A B可以记成AB) P( B)
类似地，当P(A)>0时，A发生时B发生的条件概率 P( AB) P( B | A) P( A)
问题 2
从一副扑克牌(去掉大、小王,共52张)中随机取 出1张,用A表示取出的牌是“Q”,用B表示取出的 牌是红桃.试利用P(B)及P(AB)计算p(A|B).
四个射手独立地进行射击,设每人中靶的概率都 是0.9.试求下列各事件的概率.
(1)4人都没有中靶; 0.1 0.1 0.1 0.1 0.0001 (2)4人都中靶; 0.9 0.9 0.9 0.9 0.6561 (3)2人中靶,另2人没有中靶.
0.9 0.9 0.1 0.1 0.0081
P( AB) P( A) P( B)
对于两个事件A, B, 如果P ( AB) P ( A) P ( B ), 则称A, B相互独立.
通过调查发现,某班学生患近视的概率为0.4, 现随机抽取该班级的2名同学进行体检,求他 们近视的概率.
解:如果用Ai(i=1,2)表示抽取的第i名学生患近视, 则P( A1 ) P( A2 ) 0.4
可以认为2名同学是否近视是相互独立的,因此
P(两位同学都近视） P( A1 A2 ) P( A1 ) P( A2 ) 0.4 0.4 0.16
如果 A1 , A2 ,, An 相互独立， 则P( A1 A2 An ) P( A1 ) P( A2 ) P( An )
问题 1
100个产品中有93个产品的长度合格,90个产品 的重量合格,85个产品的长度、重量都合格.现在,任 取一个产品,若已知它的重量合格,那么它的长度合 格的概率是多少?
令A={产品的长度合格},B={产品的重量合格}
则AB={产品的长度、重量都合格} 现在任取一个产品,已知它的重量合格(即B发生),则
由于52张牌中有13张红桃,则B发生的概率为 而在52张牌中既是红桃又是“Q”的牌只有1张,故
P( AB) 1 P( A | B) 根据条件概率的计算公式,有 P( B) 13
1 P( AB) 52 13 1 P( B) 52 4
另外,由于52张牌中共有4张“Q”,因而 P( A) 4 1
它的长度合格(即A发生)的概率为 由题目可知: P( A) 93 , P( B) 90 , P( A B) 85
100 100 90
85 90
因此,在事件B发生的前提下,事件A发生的概率为:
85 85 100 P( A B) 90 90 P( B) 100
我们把B发生的条件下,A发生的概率(如上例),称为
不难发现
P( A | B) P( A)
52
13
已知取出的牌是红桃时它为“Q”的概率等于取出的牌是“Q”的概率.也就 是说,取出的牌是红桃不影响取出的牌是“Q”的概率.
对于两个事件A,B,如果P(A|B)=P(A),则意味着事件
B发生不影响时间A的概率.
P( AB) 设P(B)>0时，则P( A | B) P( A) P( B)