··· ··· ··· ···
an an ··· an + b
n 仿教材例1.4.4 n−1 ∑ = = = = = = = = = = = =b ( ai + b). i=1 或例1.4.6
a1 ··· a1
当b ̸= 0, 且
ai + b ̸= 0时, 方程组仅有零解.
i=1
13. 见《线性代数学习指导》P28例31.
−1 1
2
1 (4)A31 + A32 + A33 + A34 = 3 1
2 3 1
−3 6 3 1 3 1 .
3 4 1 8 3.(1)第i行减去末行的ai 倍(i = 1, 2, · · · , n), 再按末列展开. (2)仿教材例1.4.4. (3)从第一行开始, 上一行的x倍加到下一行, 再按末行展开. (4)按末列展开. 4.(1)见《线性代数学习指导》P25例25. (2)见《线性代数学习指导》P26例26. 或: 第一行减去第二行, 按第一行展开, 得递推关系式; 列同样 处理. 联立解之. 注: ::::::::: 此题较难,::::::::::: 可不作要求. (3)从第一行开始, 用上一行消下一行, 化为上三角行列式. 1 5. M11 + M21 + M31 + M41 = A11 − A21 + A31 − A41 = −1 1 −1 1 A11 + A12 + A13 + A14 = 1 −1 1 1 3 1 0 1 1 −5 3 −3 . −5 1 3 −4 2 0 1 1 −5 3 .
第 2章 矩 阵
习 题2.1
略.
习题 2.2
5.(1)待定系数法. 仿教材例2.2.6.
3
(2)见《线性代数学习指导》P45例2. 6.(1)直接计算. (2)先计算A2 , A3 , 猜测An = (3)要牢记此一结论 . :::::::::::::: (4)直接计算. (5)直接计算得, A = 4E, A = 4A, A = 4 E . 因此, A =
11. |BA | = |B | · |A | = (−|A|) · |A| .
12.(3)利用“初等变换和初等方阵”解此题将较为简捷(见§2.6).
4
习题 2.5
2.(1)利用结论:
[
= . O B O B −1 注: :::::::::::::: 要牢记此一结论. [ ]−1 [ ] O A O B −1 (2)利用结论: = . B O A−1 O 见《线性代数学习指导》P51例12. 注: :::::::::::::: 要牢记此一结论. λ1 4. 将P 按 列 分 块 为P = (α1 , α2 , · · · , αn ), 则AP = P Λ ⇒ A(α1 , α2 , · · · , αn ) = (α1 , α2 , · · · , αn ) λ2 .. . ⇒ (Aα1 , Aα2 , · · · , Aαn ) = (λ1 α1 , λ2 α2 , · · · , λn αn ) ⇒ Aαi = λi αi , i = 1, 2, · · · , n.
i=1 i=1 i=1
注: :::::::::::::::::::::::::::::::::: 要牢记矩阵乘法的口诀“前行乘后列”.
习题 2.3
4. aij = −aji = =⇒ aii = 0. 5. 见《线性代数学习指导》P46例4.
i=j
习题 2.4
3.(2)AA∗ = |A|E ⇒ |AA∗ | = 若|A| ̸= 0, 则|A∗ | = |A|n−1 . 若|A| = 0, 则r(A) < n, 由教材P83第4题的结论知, r(A∗ ) = 1或0, 于是|A∗ | = 0. 综上, |A∗ | = |A|n−1 恒成立. 注: “|A| = 0 ⇒ |A∗ | = 0”另证: (反证法)假设|A∗ | ̸= 0, 则A∗ 可逆, 于是AA∗ = |A|E = 0E = O ⇒ A = O ⇒ A∗ = O, 矛盾. 4. 直接验证(E − A)(E + A + A2 + · · · + Ak−1 ) = E . 注: :::::::::::::: 要牢记此一结论. 7. 直接验证. 注: :::::::::::::: 要牢记此一结论. 8. ABA−1 = BA−1 +3E ⇒ ABA−1 − BA−1 = 3E ⇒ (A − E )BA−1 = 3E ⇒ B = (A − E )−1 · 3E · A = 3(A − E )−1 A = 3(A−1 (A − E ))−1 = 3(E − A−1 )−1 , 其中A−1 = 9. AA∗ = |A|E ⇒ 10.
《线性代数》(经科社2013版)习题解答
山东财经大学 数学院 王继强∗
说明 : ::::::::::::::::::::::::::::: 本 解答仅为同学们解题时参考使用, :::::::::::: 切勿 照 抄 照 搬 ,::::::::::::: 否则有悖我心.20 Nhomakorabea3. 9
第 1章 行 列 式
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1
习题 1.4
1.(3)见《线性代数学习指导》P15例13. (4)仿教材例1.4.4. 2.(1)各行减去第一行, 化为上三角行列式. (2)见《线性代数学习指导》P16例15. (3)各列加到第一列, 按第一列展开. (4)各行减去第一行, 按第二行展开. (5)各列加到第一列, 按第一列展开. (6)见《线性代数学习指导》P17例16. (7)各行加到第一行, 按第一行展开. (8)见《线性代数学习指导》P18例17. 1 1 3.(1)A11 + A12 + A13 + A14 = −1 5 2 0 (2)异乘变零定理. 2 (3)M14 + M24 + M34 + M44 = −A14 + A24 − A34 + A44 = −1 2 0 (4)直接计算. 4. (2 − 1) · (3 − 1) · (4 − 1) · (3 − 2) · (4 − 2) · (4 − 3). −3 5 2 1 1 7 2 −1 −1 1 −1 1 . 2 1 1 7 2 −1 1 −8 2 0 .
2 3 4 2 n
(
1 0
3n 1
) , 再用数学归纳法证明.
{
2n E,
n为偶数
2n−1 A, n为奇数
.
(6)见《线性代数学习指导》P47例5. 7. A2 的第k 行l列的元素= A的第k 行· A的第l列 n ∑ = ak1 a1l + ak2 a2l + · · · + akn anl = aki bil . AAT 的第k 行l列的元素= A的第k 行· AT 的第l列= A的第k 行· A的第l行 n ∑ = ak1 al1 + ak2 al2 + · · · + akn aln = aki bli . AT A的第k 行l列的元素= AT 的第k 行· A的第l列= A的第k 列· A的第l列 n ∑ = a1k a1l + a2k a2l + · · · + ank anl = aik bil .
−1 −3
2 −4 −1 6. 见《线性代数学习指导》P14例12. 7. 见《线性代数学习指导》P15例14. 8. 见《线性代数学习指导》P24例24. 9. 按行展开法则+异乘变零定理. 10. 由范德蒙德行列式知, f (x) = ∏
1≤j<i≤n
(i − j ) · (x − 1)(x − 2)(x − 3) · · · (x − n).
n(n−1) . 2
习题 1.2
1.(3)∼(6)化行列式为上三角行列式是计算行列式的常用方法之一. 2. D = m → −m → 25 (−m) →
1 4
· 25 (−m).
5. 见《线性代数学习指导》P12例7.
习题 1.3
3.(2)取后三行, 使用Laplace定理展开最为简捷. 注: 另见习题1.1第9题. 4.(2)取后三行, 使用Laplace定理.
5. A2 − 2A − 4E = O ⇒ A2 − 2A − 3E = E ⇒ (A + E )(A − 3E ) = E , 故(A + E )−1 = (A − 3E ).
= |A|n−1 (n = 4).
4 3 4 3 16 ∗ ∗ 2 = |− 4 3 A | = (− 3 ) |A | = (− 3 ) |A| = − 27 .
习题 1.1
4.(5)显然, 数1, 2, 3, · · · , n之间不构成逆序. 与2n构成逆序的有1, 2, 3, · · · , n(n个)及2n − 1, 2n − 2, · · · , n + 1(n − 1个), 共2n − 1个; 与2n − 1构成逆序的有2, 3, · · · , n(n − 1个)及2n − 2, · · · , n + 1(n − 2个), 共2n − 3个; 依次类推,· · · 与n + 2构成逆序的有n − 1, n(2个)及n + 1(1个), 共3个; 与n + 1构成逆序的有n, 共1个. 因此, 逆序数为1 + 3 + · · · + (2n − 3) + (2n − 1) = n2 . (6)显然, 数1, 3, 5, · · · , 2n − 1之间不构成逆序, 数2, 4, 6, · · · , 2n之间也不构成逆序. 与3构成逆序的有2, 共1个; 与5构成逆序的有2, 4, 共2个; 与7构成逆序的有2, 4, 6, 共3个; 依次类推,· · · 与2n − 1构成逆序的有2, 4, 6, · · · , 2n − 2, 共n − 1个. 因此, 逆序数为1 + 2 + 3 + · · · + (n − 1) = 8. 见《线性代数学习指导》P11例6.