求曲线方程学案 课前预习学案一、预习目标回顾圆锥曲线的定义, 并会利用定义和性质求圆锥曲线的方程。
二、预习内容1．到顶点)0,5(F 和定直线516=x 的距离之比为45的动点的轨迹方程是 2．直线l 与椭圆1422=+y x 交于P 、Q 两点, 已知l 过定点（1, 0）, 则弦PQ 中点的轨迹方程是3．已知点P 是双曲线12222=-by a x 上任一点, 过P 作x 轴的垂线, 垂足为Q, 则PQ 中点M的轨迹方程是4．在ABC ∆中, 已知)0,2(),0,2(B A -, 且BC AB AC 、、成等差数列, 则C 点轨迹方程为课堂探究学案【学习目标】1．了解用坐标法研究几何问题的方法, 了解解析几何的基本问题．2．理解曲线的方程、方程的曲线的概念, 能根据曲线的已知条件求出曲线的方程, 了解两条曲线交点的概念．3．通过曲线方程概念的教学, 培养学生数与形相互联系、对立统一的辩证唯物主义观点．4.通过求曲线方程的教学, 培养学生的转化能力和全面分析问题的能力, 帮助学生理解解析几何的思想方法.5.进一步理解数形结合的思想方法． 【学习重难点】学习重点：熟练掌握求曲线方程的常用方法：定义法、代入法、待定系数法、参数法等, 并能灵活应用。
学习难点：曲线方程的概念和求曲线方程的方法． 【学习过程】 一、 新课分析解析几何主要研究两大类问题：一是根据题设条件, 求出表示平面曲线的方程；二是y yC通过方程, 研究平面曲线的性质．求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一.求符合某种条件的动点的轨迹方程, 其实质就是利用题设中的几何条件, 用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系.这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义, 性质等基础知识的掌握, 还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力, 因此这类问题成为高考命题的热点, 也是同学们的一大难点.解答轨迹问题时, 若能充分挖掘几何关系, 则往往可以简化解题过程．二、典型例题例1．设动直线l 垂直于x 轴, 且与椭圆4222=+y x 交于B A 、两点, P 是l 上满足1=•PB PA 的点, 求点P 的轨迹方程。
方法点拨：用直接法：若曲线上的动点满足的条件是一些几何量的等量关系, 则只需直接把这种关系“翻译”成关于动点的坐标y x 、的方程。
经化简所得同解的最简方程, 即为所求轨迹方程。
其一般步骤为：建系——设点——列式——代换——化简——检验。
例2．如图, 在ABC Rt ∆中, 2),1,2()1,2(,90=-=∠∆ABC S B A BAC 、ο 平方单位, 动点P 在曲线E )1(≥y 上运动, 若曲线E 过点C 且满足PB PA +的值为常数。
（1） 求曲线E 的方程；（2） 设直线l 的斜率为1, 若直线l 与曲线E 有两个不同的交点R, 求线段的轨迹方程。
Bx A BOxO方法点拨：用圆锥曲线的定义求方程。
如果题目中的几何条件能够满足圆、椭圆、双曲线, 抛物线的第一、二定义, 则直接利用曲线定义写出其轨迹方程。
例3．如图所示, 过椭圆E ：12322=+y x 上任一点P, 作右准线l 的垂线PH, 垂足为H 。
延长PH 到Q, 使HQ=)0(>⋅λλPH（1）当P 点在E 上运动时, 求点Q 的轨迹G 的方程； （2）当λ取何值时, 轨迹G 是焦点在平行于y 轴的直线上的椭圆？证明这些焦点都在同一个椭圆'E 上, 并写出椭圆的方程；（3）当λ取何值时, 轨迹G 是一个圆？判断这个圆与椭圆'E 的右准线'l 的位置关系。
方法点拨：求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一。
求符合某种条件的动点的轨迹方程, 其实质就是利用题设中的几何条件, 通过“坐标互化”将其转化为变量间的关系。
在确定了轨迹方程之后, 有时需要对方程中的参数进行讨论, 因为参数取值的变化会使方程表示不同的曲线, 会使其与其他曲线的位置关系不同, 会引起另外某些变量取值范围的变化。
例4．设椭圆方程为1422=+y x , 过点)1,0(M 的直线l 交椭圆于点A 、B, O 是坐标原点, 点P 满足),(21+=点N 的坐标为)21,21(, 当l 绕点M 旋转时, 求：（1）动点P 的轨迹方程；（2方法点拨：本题是运用参数法求的轨迹。
当动点P 的坐标y x 、之间的直接关系不易建立时, 可适当地选取中间变量t , 并用t 表示动点P 的坐标y x 、, 从而得到动点轨迹的参数方程⎩⎨⎧==)()(t g y t f x , 消去参数t , 便可得到动点P 的轨迹普通方程。
其中应注意方程的等价性, 即由t 的范围确定出y x 、范围。
三、小结: 求曲线方程的两类问题：一是动点变动的根本原因, 二是动点变动的约束 条件；求曲线方程的常用方法：定义法、代入法、待定系数法、参数法等。
课后题高与练习1.若点M （x,y |3|0x y -+=, 则点M 的轨迹是（ ） A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D 抛物线.2.点M 为抛物线2y x =上的一个动点, 连结原点O 与动点M, 以OM 为边作一个正方形MNPO, 则动点P 的轨迹方程为（ ）A.2y x = B. 2y x =- C. 2y x =± D. 2x y =±3.20=化简的结果是（ ）A.22110036x y += B. 22110064x y += C.22136100x y += D. 22164100x y +=4.一动圆M 与两定圆222212:(4)1,:(4)9C x y C x y ++=-+=e e 均外切, 则动圆圆心M 的轨迹方程是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.5.抛物线24y x =关于直线:2l y x =+对称的曲线方程是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.６.椭圆Ｃ与椭圆14)2(9)3(22=-+-y x 关于直线0=+y x 对称, 椭圆Ｃ的方程是（ ） A.19)3(4)2(22=+++y x B. 14)3(9)2(22=-+-y x C.14)3(9)2(22=+++y x D. 19)3(4)2(22=-+-y x ７.下列四个命题：⑴圆22(2)(1)1x y -+-=关于点A(1, 2)对称的曲线方程是22(3)(3)1x y -+-=；⑵以点（2, －3）和点（2, 1）为焦点的椭圆方程可以是22(2)(1)11014x y -++=； ⑶顶点在原点, 对称轴为坐标轴且过点(―4, ―3)的抛物线方程只能是294y x =；⑷双曲线221169x y -=右支上一点P 到左准线的距离为18, 则P 点到右焦点的距离为292； 以上正确的命题是＿＿＿＿＿＿＿.（将正确命题的序号都．填上）8.设曲线C ：y =:l y kx =.⑴记l 与C 的两个交点为A 、B, 求线段AB 中点的轨迹方程； ⑵若线段AB 上的点Q 满足211OQ OA OB=+, 求点Q 的轨迹方程； ⑶在点Q 的轨迹上是否存在点Q 0, 使得经过曲线C 的焦点的弦被点Q 0平分？证明你的结论.答案：1、C ； 2、C ； 3、B ；4、)1(11522-≤=-x y x 解析：应用圆锥曲线的定义, 注意只有一支. 5、2(2)4(2)x y +=-； ６、Ａ注意焦点所在位置的变化。
7、②④； 8、略解：（1）设AB 中点M (,)x y , 联立方程组得：222(1)220k y ky k ---=, 则21,11k y x k k==--, 消云k 得22x y x -=, 注意到△＞0, 1k <<, 得2x > ∴AB 中点的轨迹方程是2211()(2)24x y x --=>.（2）点Q 的轨迹方程是2)x y =<<, 是一条线段（无端点）.（3）曲线C 的焦点F , 设过F 的直线方程为(1)y m x =-+与曲线C 的方程联立, 得弦的中点的横坐标为02x ==,解得m =.①当m =, 弦的中点的纵坐标0y ∈；②当m =, 弦的中点的纵坐标0y ∉.综上, 存在点 ()00,2y Q , 使得经过曲线C 的焦点的弦被点Q 0平分.求曲线的方程【教学目标】1．了解用坐标法研究几何问题的方法, 了解解析几何的基本问题．2．理解曲线的方程、方程的曲线的概念, 能根据曲线的已知条件求出曲线的方程, 了解两条曲线交点的概念．3．通过曲线方程概念的教学, 培养学生数与形相互联系、对立统一的辩证唯物主义观点．4.通过求曲线方程的教学, 培养学生的转化能力和全面分析问题的能力, 帮助学生理解解析几何的思想方法.5.进一步理解数形结合的思想方法． 【教学重难点】教学重点：熟练掌握求曲线方程的常用方法：定义法、代入法、待定系数法、参数法等, 并能灵活应用。
教学难点：曲线方程的概念和求曲线方程的方法． 【教学过程】 一、课前预习1．到顶点)0,5(F 和定直线516=x 的距离之比为45的动点的轨迹方程是 2．直线l 与椭圆1422=+y x 交于P 、Q 两点, 已知l 过定点（1, 0）, 则弦PQ 中点的轨迹方程是3．已知点P 是双曲线12222=-by a x 上任一点, 过P 作x 轴的垂线, 垂足为Q, 则PQ中点M 的轨迹方程是4．在ABC ∆中, 已知)0,2(),0,2(B A -, 且BC AB AC 、、成等差数列, 则C 点轨迹方程为 答案：1．191622=-y x （提示：设动点),(y x , 则191645516)5(2222=-⇒=-+-y x x y x 。
）；2．0422=+-y x x ； 3．142222=-b y a x （提示：设),(y x M , 则).2,(y x P 将)2,(y x P 代入双曲线方程得()141222222222=-⇒=-by a x b y a x 。
）； 4．)0(1121622≠=+y y x （提示：C BC AC AB ,2+=到AB 的距离之和为8。
） 二、新课分析解析几何主要研究两大类问题：一是根据题设条件, 求出表示平面曲线的方程；二是通过方程, 研究平面曲线的性质．求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一.求符合某种条件的动点的轨迹方程, 其实质就是利用题设中的几何条件, 用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系.这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义, 性质等基础知识的掌握, 还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力, 因此这类问题成为高考命题的热点, 也是同学们的一大难点.解答轨迹问题时, 若能充分挖掘几何关系, 则往往可以简化解题过程．三、典型例题例1．设动直线l 垂直于x 轴, 且与椭圆222+y x 1=•的点, 求点P 的轨迹方程。