x2
a21 (t ) x1
a22
(t)x2
a2n
(t)x2
f2 (t)
…(5.1)
xn an1(t)x1 an2 (t)x2 ann (t)xn fn (t)
aij (t), fi (t) i, j 1，2，, n 在[a,b]上连续
a11(t)
A(t
)
a21(t
)
an1(t)
在某区间 t ([, ] [a,b]) 的解就是向量
u(t) 在区间 t 上连续且满足
u(t) A(t)u(t) f (t)
§ 5.1 Existence & Uniqueness Theorems of Linear ODEs
定义2 初值问题(Cauchy Problem)
§ 5.1 线性微分方程组解的 存在唯一性定理
Existence & Uniqueness Theorems of Linear ODEs
本节要求/Requirements/
➢ 掌握高阶线性微分方程与线性微分方程组的关系。 ➢ 理解线性微分方程组解的存在唯一性定理。 ➢ 熟练掌握解的逐次逼近序列的构造方法。
u(t)dt ( u1(t)dt, u2(t)dt,, un (t)dt)T
1) (A(t) B(t)) A(t) B(t) (u(t) v(t)) u(t) v(t)
2) (A(t) B(t)) A(t)B(t) A(t)B(t) 3) (A(t) u(t)) A(t)u(t) A(t)u(t)
B(t) (bij (t)) nn u(t) (u1(t), u2 (t),, un (t))T
bij (t) Existence & Uniqueness Theorems of Linear ODEs
B(t)dt ( bij (t)dt)nn
§ 5.1 Existence & Uniqueness Theorems of Linear ODEs
a12 (t) a1n (t) a22 (t) a2n (t)
an2 (t)
ann
(t
)
……….(5.2)
f1(t)
f
(t )
f
2
(t
)
fn
(t )
x1
x
x2
xn
x1
dx dt
x
x2
……(5.3)
xn
dx x A(t) x f (t) dt
………….(5.4)
§ 5.1 Existence & Uniqueness Theorems of Linear ODEs
b11(t) b12 (t) b1n (t)
B(t)
b21(t)
b22 (t)
初值条件 x1(t0 ) 1, x2 (t0 ) 2 , , xn (t0 ) n
§ 5.1 Existence & Uniqueness Theorems of Linear ODEs
一阶线性微分方程组
x1 a11(t)x1 a12 (t)x2 a1n (t)xn f1(t)
dx
dt
x
A(t)x
f (t)
x(t0 ) η
………….(5.5)
的解就是方程组(5.4)在包含 t0的区间 t 上的解u(t), 使得 u(t0 ) η
§ 5.1 Existence & Uniqueness Theorems of Linear ODEs
et
例1
验证向量
u(t)
e
t
是初值问题
x
0 1
1 0 x
1 x(0) 1
在区间 t 上的解。
解
u(t
)
et
et
,
0 1 et et
1
0
et
et
e0 1
u(0)
e0
1
因此 u(t) 是给定初值问题的解。
§ 5.1 Existence & Uniqueness Theorems of Linear ODEs
f
(t)
x
(t) (t)
0 1 (t) 0
q(t)
p(t)(t)
f
(t)
x1(t0 ) 1 , x2 (t0 ) 2
x
0 q(t)
满足
1 p(t)
x
f
0 (t)
§ 5.1 Existence & Uniqueness Theorems of Linear ODEs
§ 5.1 Existence & Uniqueness Theorems of Linear ODEs
x(t0 ) 1 , x(t0 ) 2 x p(t)x q(t)x f (t)
解 x (t)
(t) p(t)(t) q(t)(t) f (t)
构造
向量
(t) (t)
(t) p(t)(t) q(t)(t)
§ 5.1 Existence & Uniqueness Theorems of Linear ODEs
定义1 设 A(t) 是区间a t b上的连续 n n 矩阵，
f (t) 是区间a t b上的连续 n 维向量，方程组
dx x A(t) x f (t) ………….(5.4) dt
b2n (t)
bn1(t) bn2 (t) bnn (t)
u1(t)
u(t )
u2 (t)
un (t)
在区间 a t b 可定义矩阵与向量函数
B(t) (bij (t)) nn u(t) (u1(t), u2 (t),, un (t))T
连续: 可微:
可积:
bij (t) ui (t) 在区间 a t b 连续。 bij (t) ui (t) 在区间 a t b 可微。
§ 5.1 Existence & Uniqueness Theorems of Linear ODEs
5.1.1 记号与定义/Symbol and Definition/ 一阶微分方程组
x1 f1(t, x1, x2 , , xn ) x2 f2 (t, x1, x2 , , xn ) xn fn (t, x1, x2 , , xn )
5.1.2 n 阶线性微分方程与一阶线性微分方程组等价
例1 x p(t)x q(t)x f (t)
解 令 x1 x, x2 x,
x1 x x2
x2 x p(t)x q(t)x f (t)
x1 x2
x2
q(t)x1
p(t)x2
f
(t)
x
0 q(t)
1 p(t)
x
f
0 (t)