Picard存在和唯一性定理
本节利用逐次逼近法，来证明微分方程
(2.1)
的初值问题
(2.2)
的解的存在与唯一性定理.
定理 2.2(存在与唯一性定理)如果方程(2.1)的右端函数在闭矩形域
上满足如下条件：
(1) 在R上连续;
(2) 在R上关于变量y满足李普希兹(Lipschitz)条件，即存在常数N，使对于R上任何一
对点和有不等式：
则初值问题(2.2)在区间上存在唯一解
其中
在证明定理之前，我们先对定理的条件与结论作些说明:
1. 在实际应用时，李普希兹条件的检验是比较费事的.然而，我们能够用一个较强的，
但却易于验证的条件来代替它.即如果函数在闭矩形域R上关于y的偏导数
存在并有界，.则李普希兹条件成立，事实上，由拉格朗日中值定理有
其中满足，从而.如果在R上连续，它在R上当然就满足李普希兹条件.（这也是当年Cauchy证明的结果）
2．可以证明，如果偏导数在R上存在但是无界，则Lipschitz条件一定不满足，
但是Lipschitz 条件满足，偏导数不一定存在，如(,)||f x y y 。
3.现对定理中的数h 0做些解释.从几何直观上，初值问题(2.2)可能呈现如图2-5所示的情况. 这
时，过点
的积
图 2-5
分曲线
当
或 时，其中
，
，到
达R 的上边界
或下边界
.于是，当
时，曲线
便可能没有定义.由此可见，初值问题(2.2)的解未必在整个区间
上存在. 由于定理假定
在R 上连续,从而存在
于是，如果从点
引两条斜率分别等于M 和-M 的直线，则积分曲线
(如果存在的话)必被限制在图2-6的带阴影的两个区域内，因此，只要我们取
则过点 的积分曲线 (如果存在的话)当x 在区间上变化时，必位于R 之
中.
图 2-6
存在性的证明
求解初值问题（2.2）
求解积分方程（2.3）.
因此，只要证明积分方程(2.3)的连续解在 上存在而且唯一就行了. 下面
用毕卡(Picard )逐次逼近来证明积分方程(2.3)的连续解的存在性，可分三个步骤进行:
1.构造逐次近似序列.
近似序列
或写成
01()(,())x
n n x x y f d ϕξϕξξ--=⎰
的每一项都在 上有定义，这是因为 于是
．这样，我们在区间
上，按逐
次逼近手续得到了一个连续函数列(近似序列)
2. 证明近似序列
在区间
上一致收敛.
“ 函数序列的一致收敛
1．设
（1）
是定义在I 上的函数序列，若对
，数列
收敛，则称
为序列（1）的收敛点．收敛点的全体叫收敛域．
在收敛域上每一点，序列（1）都有极限，这极限形成收敛域上的
一个函数，称为极限函数．设此函数为，即
2．若对，总存在一个只与 有关的自然数N，使得对I上任何一点
，当时，有，则称序列（1）在I上一致收敛．证明分如下二步：
（1）序列在上一致收敛级数（2.7）在
上一致收敛（级数）．因为级数
（2.7）
的部分和
“ 函数项级数的一致收敛
1．设函数项级数
（1）
在区间I上收敛于和函数，即对，
数项级数收敛于，或级数（1）的部分和所组成的数列
=
由数列极限定义，对，，使得时，有
2．级数（1）在I上一致收敛对，，
使得对，当时，有．
3．若函数项级数（1）的每一项都在I上连续，并且在I上一致收敛，
则（1）的和函数在I上连续．
（2）级数（2.7）在上一致收敛．
用数学归纳法，易证级数（2.7）从第二项开始，每一项绝对值都小于正项级数
的对应项，而上面这个正项级数显然是收敛的.所以，由优级数判别法，
“ 函数项级数的一致收敛判别法
（魏尔斯特拉斯优级数判别法）
函数项级数
（1）
若函数项级数（1）在区间I上满足
（I ）；
（II ）正项级数收敛．
则函数项级数（1）在区间I上一致收敛．
数项级数收敛的判别法
（比值判别法，达朗贝尔（）判别法）
若正项级数的后项与前项的比值的极限等于
：
则当时级数收敛，时（或）
时级数发散；时级数可能收敛，也可能发散．
级数(2.7)在区间上不仅收敛，而且一致收敛.设其和函数为，从
而近似序列在区间上一致收敛于.由于在区间上
连续，因而也是连续的.
3.证明是积分方程(2.3)的解，从而也是初值问题(2.2)的解. 在n次近似序列（2.6）两端取极限有
因为
所以要证明是积分方程（2.3）的解，即
成立，只需证明
这是由函数(,)f x y 的连续性及Picard 序列()n x ϕ的一致收敛性质保证的。
下面用“ε-N 语言”证明上面的极限成立． 我们先利用李普希兹条件，作下面的估计：
由于序列 在区间
上一致收敛，因此，对任给ε>0,存在自然数N ,当n N >时，对区间
上所有x 恒有
从而
由此推得
换句话说，我们得到
现在对恒等式(2.6)两端取极限，
就得到
此即表明函数
是(2.3)的解.至此定理的存在性部分证毕.
2.2.3 唯一性的证明，区别于北大版课本的另一种证明方法：
下面来证明解的唯一性.为此我们先介绍一个在微分方程中很有用的不等式，即贝尔曼(Bellman )不等式.
贝尔曼引理 设y (x )为区间 上非负的连续函数， .若存在
使
得y (x )满足不等式
(2.9)
则有
证明先证明的情形.
令，于是从(2,9)式立即有
上式两端同乘以因子,则有
上式两端从x0到x积分，则有
即
由(2.9)知，,从而由上式得到
的情形类似可证，引理证毕.
积分方程(2.3)解的唯一性证明，采用反证法.
假设积分方程(2.3)除了解之外，还另外有解，我们下面要证明：在
上，必有.
事实上，因为
及
将这两个恒等式作差，并利用李普希兹条件来估值，有
令,从而由贝尔曼引理可知，在上有
，即.
至此，初值问题(2.2)解的存在性与唯一性全部证完.
由定理2.2知李普希兹条件是保证初值问题解唯一的充分条件，那么这个条件是否是必要的呢?下面的例子回答了这个问题.
例1试证方程
经过xoy平面上任一点的解都是唯一的.
证明右端函数除x轴外的上、下平面都满足定理2.2的条件，因此对于x轴外任何点
，该方程满足的解都存在且唯一. 于是，只有对于x轴上的点，还需要讨论其过这样点的解的唯一性.
我们注意到y = 0为方程的解. 当y≠0时，因为
故可得通解为
x
ce
为上半平面的通解, 为下半平面的通解.
y e
这些解不可能y = 0相交. 因此，对于轴上的点，只有y = 0通过，从而保证了初值解的唯一性.
但是，
因为故不可能存在使得
从而方程右端函数在y = 0的任何邻域上并不满足李普希兹条件，这个例子说明李普希兹条件不是保证初值解唯一的必要条件.
为了保证方程(2.1)的初值解的唯一性，有着比李普希兹条件更弱的条件（Osgood条件）.直到现在，唯一性问题仍是一个值得研究的课题.
下面的例子表明：如果仅有方程(2.1)的右端函数f(x, y)在R上连续，不能保证任何初值问题(2.2)的解是唯一的. 但是由Piano 存在定理知解是存在的。
例2讨论方程
解的唯一性.
解方程的右端函数,在全平面连续，当时，用分离变量法可求得通解
，C为任意常数.
又y = 0也是方程的一个特解，积分曲线如图2-7.
图2-7
从图上可以看出，上半平面和下半平面上的解都是唯一的，只有通过x轴上任一点
的积分曲线不是唯一的，记过该点的解为，它可表为：对任意满足的a和b.。