L 称为利普希兹常数。
§ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method
二 、存在唯一性定理 定理1
dy f (x, y)........(.3.1.1) dx
R : x x0 a, y y0 b
如果 f(x,y) 在 R 上连续且关于 y 满足利普希兹条件,
定理1的证明需要证明五个命题：
命题 1 求解微分方程的初值问题等价于
求解一个积分方程
命题 2 构造一个连续的逐步逼近序列 命题 3 证明此逐步逼近序列一致收敛 命题 4 证明此收敛的极限函数为所求
初值问题的解
命题 5 证明唯一性
§ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method
一阶方程的初值问题
•概念和定义利普希兹条件
定理1
命题1
•存在唯一性定理 定理1的证明命 命题 题32
命题4 命题5
附注
逐步逼近法的思想
定理2
§ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method
•本节要求/Requirements/ ➢ 深刻理解解的存在唯一性定理的条件与结论 ➢ 掌握逐步逼近方法的本思想
2. 利普希兹条件
函数 f (x, y) 称为在矩形域 :
R : x x0 a, y y0 b …………(3.1.5) 关在常数 L>0
使得不等式
f (x, y1) f (x, y2 ) L y1 y2 对所有 (x, y1), (x, y2 ) R 都成立。
x x0
f ( ,n1( ))d
x0 h x x0 h
(3.1.9)
0 (x) y0
x
1(x) y0 x0 f ( ,0 ( ))d
x
2 (x) y0 x0 f ( ,1( ))d
x
n (x) y0 x0 f (,n1( ))d
§ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method
dx
两边从x0 到 x 积分得到:
x
(x) (x0 ) x0 f (x,(x))dx x0 x x0 h
把(3.1.2)代入上式,即有:
x
(x) y0 x0 f (x,(x))dx x0 x x0 h
因此, y (x)是积分方程在 x0 x x0 h上的连续解.
§ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method
0 (x) y0
x
1(x) y0 x0 f ( ,0 ( ))d
y
y0+b y0
1 ( x)
y0-b
1 ( x)
o
x0-a x0-h x0 x0+h
x0+a
x
§ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method
§ 3.1 解的存在唯一性定理和 逐步逼近法
/Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method/
§ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method
内容提要/Constant Abstract/
则方程(3.1.1)存在唯一的连续解 y (x)
定义在区间 x x0 h , 且满足初始条件 (x0 ) y0
这里 h min(a, b ) M max f (x, y)
M
( x, yR)
§ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method
§ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method
一 、概念与定义/Concept and Definition/
1. 一阶方程的初值问题(Cauchy problem)表示
dy dx
f
(x, y).................(3.1.1)
上，且满足初始条件(3.1.2)的解。
同理，可证在 x0 h x x0 也成立。
命题1证毕.
§ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method
现在取 0 (x) y0 ，构造皮卡逐步逼近函数序列如下:
0 (x) y0
n (x) y0
反之，如果 y (x) 是 (3.1.6) 的连续解，则有：
x
(x) y0 x0 f (x,(x))dx
x0 x x0 h ………(3.1.8)
微分之，得到: d(x) f (x,(x))
dx
又把 x x0 代入(3.1.8)，得到: (x0 ) y0
因此，y (x)是方程(3.1.1)定义于 x0 x x0 h
(x0 ) y0.....................(3.1.2)
F(x, y, y ') 0...........................(3.1.3)
y(
x0
)
y0 ,
y
'(x0 )
y0
'.............(3.1.4)
§ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method
定理1的证明
命题1
设
y (x)
是初值问题
dy
f (x, y)........(.3.1.1)
dx
(x0 ) y0.............(3.1.2)
的解的充要条件是 y (x) 是积分方程
x
y y0 x0 f (x, y)dx
x0 x x0 h ……(3.1.6)
的定义于 x0 x x0 h 上的连续解。
证明: •微分方程的初值问题的解满足积分方程（3.1.6）。
•积分方程（3.1.6）的连续解是微分方程的初值问题的解。
§ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method
证明
因为 y (x) 是方程(3.1.1)的解，故有:
d(x) f (x,(x))