必须满足的条件： 波函数 ψ ( x, y, z, t ) 必须满足的条件： 标准化条件： 标准化条件： 单值、有限、 单值、有限、连续 波函数的归一化条件： 波函数的归一化条件：
∫∫∫ ψ
2
dV = 1
注意： 注意：物质波的波函数不同于机械波的 波函数y， 是表示振动位移的物理量 是表示振动位移的物理量， 波函数 ，y是表示振动位移的物理量，而 ψ 2 本身没有什么直观的物理意义， 本身没有什么直观的物理意义，只是通过 ψ 才间接地反应出粒子出现的几率. 才间接地反应出粒子出现的几率.
−
i ( Et − Px ) ℏ
若自由粒子的物质波沿空间任意方向传 播，则其波函数的表达式为 i − [Et − ( Px x + Py y + Pz z )] ψ ( x , y , z , t ) = ψ 0e ℏ
若考虑空间一个小微元 dV ，则在 dV 内 可视为不变. 波函数 ψ 可视为不变. 因为粒子在 dV 内出 现的几率正比与该处物质波的强度， 现的几率正比与该处物质波的强度，即正比 2 中的几率， 与 ψ . 若用 dp表示粒子出现在dV中的几率， 2 则 dp = ψ dV = (ψ ⋅ ψ ∗ )dV 所以某点处单位体积内粒子出现的几率， 所以某点处单位体积内粒子出现的几率， 即粒子的几率密度为 dp 2 = ψ =ψ ⋅ψ ∗ dV 于是自由粒子在空间某处出现的几率密 度为 dp 2 ∗ =ψ ⋅ψ = ψ0 dV
2 ∴A= a
2 nπ sin x 于是 ψ n ( x ) = a a n = 1,2,3,⋯
综上所述， 综上所述，粒子在一维无限方势阱内运动 时，其波函数为
x ≤ 0和x ≥ a : ψ ( x ) = 0 2 nπ 0 < x < a : ψ n ( x ) = a sin a x n = 1,2,3,⋯
若粒子在一维空间运动， 若粒子在一维空间运动，则
d 2m ψ 2 ψ ( x) + 2 ( E −V ) ( x) = 0 dx ℏ
2
1993年克罗米等人，用扫描隧道显微镜发 年克罗米等人， 年克罗米等人 现了量子围栏中的驻波， 量子围栏中的驻波 现了量子围栏中的驻波，再次直观地证实了电 子的波动性，支持了薛定谔波动力学 波动力学. 子的波动性，支持了薛定谔波动力学
d2 2 而只有二阶导数 2 ψ ( x ) dx
[
]
x=
1 B
<0
概率密度有最大值， 所以在 x = 1 B 处，概率密度有最大值， 即粒子在该位置处出现的概率最大. 即粒子在该位置处出现的概率最大.
V 在区域内 0 < x < a ， ( x ) = 0. 因此有
d 2ψ ( x ) 2mE + 2 ψ ( x) = 0 2 dx ℏ 2mE d 2ψ ( x ) 令k= 则 + k 2ψ ( x ) = 0 ℏ2 dx 2
解之可得 ψ ( x ) = A sin( kx + δ )
ψ (0) = 0 由于波函数连续， 由于波函数连续，所以 ψ (a ) = 0
x y = A cos 2π ν t − λ
y = Ae
x − i 2π ν t − λ
ψ ( x , t ) = ψ 0e
x − i 2π ν t − λ
ψ ( x , t ) = ψ 0e
13.3.2 薛定谔方程
薛定谔推广了德布罗意物质波的概念， 薛定谔推广了德布罗意物质波的概念， 德布罗意物质波的概念 年提出了波动力学 于1926年提出了波动力学，并建立了一个量 年提出了波动力学， 子体系的物质波运动方程. 因此而获1933年诺 子体系的物质波运动方程 因此而获 年诺 贝尔奖. 贝尔奖 薛定谔的波动方程成功地解决了氢原子 薛定谔的波动方程成功地解决了氢原子 光谱等一系列重大问题. 光谱等一系列重大问题 波动力学与矩阵力学是完全等价的， 波动力学与矩阵力学是完全等价的，是 同一种力学规律的两种不同表述， 同一种力学规律的两种不同表述，而且它们 都属于非相对论性的量子力学. 都属于非相对论性的量子力学
下面用一类比较简单的问题即粒子在恒 定力场中的运动， 定力场中的运动，由于这种问题中势能函数 V 和粒子能量 与时间无关，这时粒子处于 和粒子能量E 与时间无关， 定态， 定态，则粒子的定态波函数可以写成
ψ ( x , y , z , t ) = ψ ( x , y , z )e
i − Et ℏ
可以看出，粒子处于定态时， 可以看出，粒子处于定态时，它在空间 各点出现的几率密度与时间无关， 各点出现的几率密度与时间无关，即几率密 度在空间形成稳定分布. 度在空间形成稳定分布. 此时定态波函数的 定态波函数. 称为定态波函数 空间部分 ψ ( x , y , z ) 称为定态波函数.
sin δ = 0 δ = 0 ⇒ ⇒ sin( ka + δ ) = 0 ka = nπ
n = 1,2,3,⋯
2mE ∵k = ℏ2
a 2 0
∴ En =
a 0 2
π 2ℏ 2 n 2
2ma
2
2
n = 1,2,3,⋯
∵ ∫ ψ n ( x ) dx = ∫
1 2 nπ A sin x dx = A a = 1 2 a
x≥0 x<0
（2）粒子的概率分布函数为 ）
4 B 3 x 2 e − 2 Bx 2 ψ ( x) = 0
(3) 令 )
d 2 ψ ( x) = 0 dx
x≥0 x<0
[
]
则 4 B 3 (2 xe − 2 Bx − 2 Bx 2e − 2 Bx ) = 0
所以 x = 0，x = 1 B ，x = + ∝ 时，概率密 2 度 ψ ( x ) 有极值. 有极值.
在非相对论情况下， 在非相对论情况下，ψ ( x , y , z ) 所满足的 薛定谔方程称为定态薛定谔方程 薛定谔方程称为定态薛定谔方程 .
∂2 ∂2 ∂2 2 + 2 + 2 ψ ( x, y, z) ∂x ∂y ∂z 2m + 2 (E −V )ψ ( x, y, z) = 0 ℏ
因为 解 （1） ）
∫ −∝ ψ ( x )
0
+∝
2
dx = 1
即
亦即
∫ −∝
0 dx + ∫
2
+∝ 2
+∝ 0
A2 x 2e − 2 Bx dx = 1
dx = 1
∫0
A xe
2 − 2 Bx
A2 1 ⇒ A = 2B B 所以 3 = 4B
归一化波函数为
2 B B xe − Bx ψ ( x) = 0
与能量E 与能量 所对应的粒子在势阱中的几率密度为 2 2 nπ 2 x ψ n ( x ) = sin a a
ψ ( x)
n=4
n=3 n=1 0 n=2
a x
ψ ( x)
2
n=4 n=3 n=2 n=1
aபைடு நூலகம்x
0
13.3.4 氢原子的薛定谔方程
对于氢原子而言: 对于氢原子而言: 2 e e2 V =− =− 4πε 0 r 4πε 0 x 2 + y 2 + z 2 2 2 ∂2 ∂ ∂ 2 + 2 + 2 ψ ( x , y , z ) ∂x ∂y ∂z
2m e2 ψ ( x , y , z ) = 0 + 2 E + 2 2 2 ℏ 4πε 0 x + y + z
me 4 En = − 2 2 2 8ε 0 h n
n = 1,2,3,⋯
13.3.5 例题分析
已知一维运动的粒子的波函数为
Axe − Bx ψ ( x) = 0
13.3 波函数 薛定谔方程
13.3.1 13.3.2 13.3.3 13.3.4 13.3.5 波函数 薛定谔方程 一维无限深方势阱中运动的粒子 氢原子的薛定谔方程 例题分析
13.3.1 波函数
微观粒子具有波动性， 微观粒子具有波动性，与微观粒子相联 系的波称为物质波，波函数就是物质波的数 系的波称为物质波， 物质波 学表达式. 学表达式. 假设有一个动量为P 能量为E 假设有一个动量为 、能量为 的自由 粒子，按德布罗意假设， 粒子，按德布罗意假设，它相当于一列沿它 的运动方向传播的单色平面波， 的运动方向传播的单色平面波，其波长和频 率分别为 h E λ= ν= P h 若取平面波传播的方向为x 轴正方向， 若取平面波传播的方向为 轴正方向，则 由波动理论可知， 由波动理论可知，平面波的波动方程为
式中B 为正的常数，试求： 式中 为正的常数，试求：
x≥0 x<0
和归一化波函数； （1）归一化常数 和归一化波函数； ）归一化常数A和归一化波函数 （2）该粒子位置坐标的概率分布函数（即 ）该粒子位置坐标的概率分布函数（ 概率密度）； 概率密度）； （3）在何处找到粒子的概率最大？ ）在何处找到粒子的概率最大？
13.3.3 一维无限深方势阱中运动的粒子
假设粒子只能沿x 轴作一维运动， 假设粒子只能沿 轴作一维运动，且势 能函数具有如下形式 0< x<a V ( x ) = 0 x ≤ 0和x ≥ a V ( x ) =∝
V(x)
∝
o
a
x
与时间无关， 由于V ( x )与时间无关，因此在势阱中运 动的粒子处于定态， 动的粒子处于定态，可以用一维定态薛定谔 方程求解. 方程求解. V 在区域内 x ≤ 0和x ≥ a ， ( x ) =∝ ，具有 有限能量的粒子不可能出现. 有限能量的粒子不可能出现. 因此 ψ ( x ) = 0