ν E E = 2 (1+ν)(1−2 ) ν
Terzaghi？ ？
（3）几何关系
1 ε ij = − (vi , j + v j ,i ) 2
（4）平衡方程
G ∂ ∂u x ∂u y ∂u z ∂u 2 − G ∇ u x + ∂x + ∂y + ∂z + ∂x = 0 1 − 2v ∂x ∂ ∂u x ∂u y ∂u z ∂u G 2 − G ∇ u y + ∂x + ∂y + ∂z + ∂y = 0 1 − 2v ∂y ∂u z ∂u ∂ ∂u x ∂u y − G ∇ 2u z + G + + + ∂x ∂z = −γ ∂y ∂z 1 − 2v ∂z
cv t 2 H
T0 = v
cv t 2 0 H
5. 地基平均固结度
st 有效应力图面积 ∫0 udz ＝1－ H U = = t sc 起始超孔隙水压力图面 积 ∫0 u0 dz
0< t ≤t0
H
32 Ut = 1− 4 π Tv 0
Tv>0.2
∞
1 π 2 m2 ∑,5 m4 [1 − exp(− 4 Tv )] m =1, 3
∆u = ∆u1 + ∆u 2 = B[A (∆σ 1 − ∆σ 3 ) + ∆σ 3 ]
饱和土体实际为弹塑性介质，平均孔压系数 ： 饱和土体实际为弹塑性介质，平均孔压系数A：
Skempton&Bjerrum 松散细砂 高灵敏粘土 正常固结粘土 弱超固结粘土 强超固结粘土 0.75~1.5 0.5~1.0 0.25~0.5 0~0.25 计算沉降(A) 验算强度(Af) 2~3 0.75~1.5 0.5~1.0 0.0~0.5 -0.5~0
∂2 ∂2 ∂2 ∇ = 2+ 2+ 2 ∂x ∂y ∂z
2
（5）连续性方程
∂ ∂h ∂ ∂h ∂ ∂h ∂ ε v − kx − ky ∂y − ∂z k z ∂z = ∂ t ∂x ∂x ∂y
令 得
k = kx = k y = kz
4.2.2 Terzaghi简化解 简化解
施工期( 施工期 0< t ≤t0)
σz p0 pt
t pt U(t) =U'( ) 2 p0
t/2 t t0 t
竣工后( 竣工后 t0 < t )
σz p0
U′ (t)－ 瞬间加载下经历时 － 间t平均固结度理论解 平均固结度理论解
t0 U(t) =U'(t − ) 2
dt时间空隙压缩的体积： dt时间空隙压缩的体积： 时间空隙压缩的体积
h ∂ u k ∂ u = z z ∂ γw ∂
∂V2 k ∂ 2u dt = dzdt 2 ∂t γ w ∂z
a ∂u ∂σ z 1 ∂e ∂V2 ∂ (eV1 ) ∂e = ( − )dzdt dt = dt = V1 dt = dzdt 1 + e1 ∂t ∂t ∂t ∂t ∂t 1 + e1 ∂t
∞
mπz 16 p0 ∞ 1 π 2m2 π 2m2 t0 < t u ( z , t ) = 3 ∑,5 m3 sin( 2H )[1− exp(− 4 Tv )]exp[− 4 (Tv − Tv0 )] π Tv0 m=1,3
式中： 表示时间因素, 式中：TV——表示时间因素 T = 表示时间因素 v
空隙的压缩
∆ Vv = m f nV 0 ∆ u 2
∆u2 = 1 1 (∆σ1 − ∆σ 3 ) = 1 B(∆σ1 − ∆σ 3 ) 3 1 + n(m f / ms ) 3
∆V = ∆Vv
实际土体为非弹性体 初始孔压
∆u 2 = A (∆σ 1 − ∆σ 3 ) = AB (∆σ 1 − ∆σ 3 )
注意到
h=
u
γw
∂ εv ∂ ∂u x ∂u y ∂u z ∇ u= =− ∂x + ∂y + ∂z γw ∂t ∂t k
2
1 − 2v 1 − 2v ′= (Θ − 3u ) εv = Θ E E
k
γw
∇ 2u =
∂ ε v ∂ 1 − 2v 1 − 2v ∂ (Θ − 3u ) = Θ′ = ∂t ∂t E E ∂t
Henkel三维应力状态的推广 三维应力状态的推广
∆u = β
(∆σ 1 + ∆σ 3 + ∆σ 3 )
3
+α
(∆σ 1－∆σ 2 )2 + (∆σ 2－∆σ 3 )2 + (∆σ 31－∆σ 1 )2
对于饱和土
β =1
渗流和固结的联系与区别？ 渗流和固结的联系与区别？
4.2 单向固结
饱和土固结的基本特性 饱和土的压缩主要是孔隙体积减小所引起； 饱和土的压缩主要是孔隙体积减小所引起； 孔隙水的挤出速度主要取决于土的渗透性和厚度； 孔隙水的挤出速度主要取决于土的渗透性和厚度； 超静孔隙水压力u是外荷p在土孔隙水中所引起的 在土孔隙水中所引起的超静水 超静孔隙水压力 是外荷 在土孔隙水中所引起的超静水 压力,通常简称孔隙水压力 压力 通常简称孔隙水压力 有效应力σ 由土骨架传递的压力， 有效应力 ′是由土骨架传递的压力，即颗粒间接触应力 饱和土的渗透固结过程就是孔隙水压力 向有效力应力转化的过程，在任一时刻， 向有效力应力转化的过程，在任一时刻， 有效应力σ 和孔隙水压力u之和始终等于 活塞 有效应力 ′和孔隙水压力 之和始终等于 带孔 饱和土体的总应力σ，即：（如图） 饱和土体的总应力 如图）
pA(A为活塞面积)
水
σ =σ′+u
饱和土体有 效应力原理
圆筒
弹簧
4.2.1 单向固结近似解
p
σ′z H uz 有效应力原理 p = σ z = σ ′ + uz z
岩层
u0=p
u0起始孔隙水压力
1. 基本假定 1.土层是均质的、完全饱和的 土层是均质的、 土层是均质的 2.土的压缩完全由孔隙体积减小引起，土体和水不可压缩 土的压缩完全由孔隙体积减小引起， 土的压缩完全由孔隙体积减小引起 3.土的压缩和排水仅在竖直方向发生 土的压缩和排水仅在竖直方向发生 4.土中水的渗流服从达西定律 土中水的渗流服从达西定律 5.在渗透固结过程中，土的渗透系数 和压缩系数 视为常数 在渗透固结过程中， 和压缩系数a视为常数 在渗透固结过程中 土的渗透系数k和压缩系数 固结理论) 固结理论 6.外荷一次性瞬间施加 (Terzaghi固结理论 外荷一次性瞬间施加
τ yz = Gγ yz = 2Gε yz τ yz = Gγ yz = 2Gε yz
E(1−ν) E= 1 (1+ν)(1−2 ) ν
Θ′ = σ ′ + σ ′ + σ ′ x y y E = εv 1 − 2v
= (E1 + 2 E2 )(ε x + ε y + ε z )
εv =
1 − 2v 1 − 2v (Θ − 3u ) Θ′ = E E
第四章 土的固结理论
4.1 孔压系数与初始孔压
△ 3 △ σ3
σ
等向加载
△ u1
土体 单元
∆u1 = B∆σ 3
△ 1
σ
剪切
△ σ3
土体 单元
△ u2
∆u 2 = A (∆σ 1 − ∆σ 3 )
△ 1
σ
∆u = ∆u1 + ∆u 2
（1）等向固结阶段 有效应力作用下土骨架的压缩： 有效应力作用下土骨架的压缩：
4.3 多维固结理论
4.3.1 Biot固结理论 固结理论
比奥（M.A.Biot）分析了上述不足，于1941年基于弹性 理论建立的真三维固结微分方程。 基本理论假定有： 基本理论假定有：
（1）有效应力原理
或
′ σ ij = σ ij + δ ij u
σx =σ′ +u x
σy =σ′ +u y
σz =σ′ +u z
p
C T = vt v 2 H
Es =
kEs Cv = γw
h1 h2
k1 k2
Es1 Es2
h1 + h2 h1 + h 2 k = h1 h2 h1 h2 + + k1 k2 E s1 E s 2
当量厚度 C2 C1 v T = 2 t = v2 t v h2 h2 '
z
C v1 h'2 = .h 2 C v2
固结微分方程 cv—土的固结系数 土的固结系数
σz p0
k(1+e1) ∂2u ∂u ∂σz = − 2 aγw ∂z ∂t ∂t
施工期
0< t ≤t0
竣工期
t0 t
p0 σz = t t0
t0 < t
σz = p0
4. 求解分析 初始条件与边界条件 t=0，0≤z≤H 时，u＝σz ， 0＜t≤∞ ，z＝0时，u＝0 时 z＝H时，∂ u/ ∂ z=0 岩层 t=∞，0≤z≤H时，u＝0 ， 时
土的压缩性： e a σ 土的压缩性：∆ =− ∆ 'z 有效应力原理： 有效应力原理： 'z =σz −u σ
∂e ∂σ′z ∂(σz − u) ∂u ∂σz = −a = −a = a( − ) ∂t ∂t ∂t ∂t ∂t
a ∂u ∂σz ∂V k ∂2u 2 ( − )d d zt d= t dd = zt 2 1+e1 ∂t ∂t ∂t γw ∂z