2kN CD
2kN
1kN/m B FBY
x 2kN
M(x) 2kN.m 2kN.m
x
3、根据方程画内力图
§5-4 剪力、弯矩与分布荷载间的关系及应用 •一、 剪力、弯矩与分布荷载间的关系
q
FAy
L
x
1、支反力：
2、内力方程 FBy
3、讨论如 下
q(x)
对dx 段进行平衡分析，有：
x dx
y
q(x)
载荷集度、剪力和弯矩关系：
1. q＝0，Fs=常数，
剪力图为直线,弯 矩图为斜直线。
Fs 图： M图：
2.q＝常数，剪力图
为斜直线，弯矩
Fs图：
图为抛物线。 M图：
下雨 池塘
3. 剪力FQ=0处，弯矩取极值或驻点。大小可用（无集
中力偶）一侧Q图面积的代数和计算。（左侧面积或
右侧面积的相反数）
目录
4、集中力 从左到右，向上集中力作用处，剪力图向
M(+)
M(+)
M(–)
左顺右逆为正；反之为负
M(–)
内力方向规定
FQ FN
FN
FQ
§5-2 剪力和弯矩及其方程 例题5-1
求图示简支梁E 截面的内力
解：1. 确定支反力
FAy
FBy
2. 用截面法研究内力
FSE ME
FAy
§5-2 剪力和弯矩及其方程
FSE
O
ME
FAy
ME
O
FSE FBy
分析右段得到： FBy
§5-2 剪力和弯矩及其方程
M FN
M FN
FAy
FS
FS
FBy
截面上的剪力对梁上任意一点的矩为顺时针 转向时，剪力为正；反之为负。
Fs(+)
Fs(–) Fs(+) 左上右下为正；反之为负
Fs(–)
§5-2 剪力和弯矩及其方程
M FN
M FN
FAy
FS
FS
FBy
截面上的弯矩使得梁呈凹形为正；反之为负。
材料力学弯矩剪力图
构件 Component, Structural member 杆 bar 梁 beam
拉压杆：承受轴向拉、压力
扭 杆：承受扭矩 墙
桥板 梁：承受横向力
楼板
为什么梁特别重要？ 地球引力场方向 + 人类需要空间
火车的轮轴：
F
F
F
F
楼房的横梁：
阳台的挑梁：
屋顶大梁上的孔为什么开在中间？上、下两 边各开一个半圆孔可以吗？
二、叠加原理：多个载荷同时作用于结构而引起的内力等于每个 载荷单独作用于结构而引起的内力的代数和。
三、步骤：1、梁上的几个荷载分解为单独的荷载作用； 2、分别作出各项荷载单独作用下梁的弯矩图； 3、将其相应的纵坐标叠加即可（注意：不是图 形的简单拼凑）。
[例]按叠加原理作弯矩图(AB=2a，力F作用在梁AB的中点处）。
FL 0.5FL 0.5FL
0.5FL
x x x
目录
静定梁的分类（三种基本形式）
q(x)— 分布力 1、悬臂梁：
2、简支梁：
L M — 集中力偶
3、外伸梁：
L q — 均布力
F — 集中力
L
L
（L称为梁的跨长）
§5-2 剪力和弯矩及其方程
M FN
FAy
FS
M FN
FS
3
FS剪力，平行于
横截面的内力合力
M 弯矩，垂直于
横截面的内力系的 FBy 合力偶矩
；
q > 0,
M
MC= MB+(-1/2qa a)=-qa2 –1/2 qa2
左端点：剪力图有突变，突变值 等于集中力的大小。
右端点：弯矩图有突变，突变值等于集中力偶的大小。
[例] 画组合梁的剪力与弯矩图
组合梁,需拆开,以分析梁的受力 1. 受力分析
2. 画 FS 图 －水平直线
3. 画 M 图 －直线
q B
L
(-)
FAY MA
A
F(x)
-FL
M(x)
[例] 列出梁内力方程并画出内力图。
F B
解：①求支反力
②写出内力方程
F
x ③根据方程画内力图
注意：弯矩图中正的弯矩值
x
绘在x轴的下方(即弯矩值绘
在弯曲时梁的受拉侧)。
例 图示简支梁受集度为q的满布荷载作用。试作梁的剪力图
和弯矩图。
q
A
B
l
FA
x
FB
解：1、求支反力
2、列剪力方程和弯矩方程
3、作剪力图和弯矩图
q
A
B
l
FS
ql 2 ql2 8
M
l/2
* 载荷对称、结构对称则剪力图反对称，弯矩图对称 * 剪力为零的截面弯矩有极值。
例 图示简支梁受集中荷载F作用。试作梁的剪力图 和弯矩图。
aF
b
A
B
x
C
FA
l
FB
解：1、求支反力
2、列剪力方程和弯矩方程 ——需分两段列出
工程中的弯曲构件
梁为什么做成变截面的？ 梁为什么可以开孔？ 孔开在哪里最合理?
二、弯曲的概念：
受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线。 变形特点——杆轴线由直线变为一条平面的曲线。
主要产生弯曲变形的杆--- 梁。
常见弯曲构件截面
目录
平面弯曲
•具有纵向对称面 •外力都作用在此面内 •弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线
A
FA AC段
A
FA
aF
b
B
x
C
l
FB
M(x)
x
FS(x)
M(x) FS(x)
CB段 B FB
3、作剪力图和弯矩图
aF
b
A
B
x
C
FA
l
FB
Fb
FS
l
Fb
x
l
Fab x
M
l
aF
b
A
x
C
l
Fb
FS
l
Fb l
M
* 在 集中力F 作用 处，剪力图有突变 ，突变值为集中力 的大小；弯矩图有 转折
x
Fab x
a
b
A
C
l
Fs
Me l
M b>a时
Mea Meb ll
B
* 集中力偶作用
x 点处剪力图无影
响，弯矩图有突 变，突变值的大
x 小等于集中力偶
的大小。
发生在C截面右侧
2kN
A
CD
FAY x1 x2 1m 1m
1kN/m B
[例] 画出梁的内力图。 解：1、支反力
x3 FBY 2m
2、写出内力方程
A
FAY Fs(x)
方向：左上右下为正， 反之为负
外力：载荷和约束反力
方向：左顺右逆为正，
分布力、集中力和集中力偶
反之为负
三、剪力方程、弯矩方程：
剪力方程
A
弯矩方程
反映梁的横截面上的剪力和弯 矩随截面位置变化的函数式
显示剪力和弯矩随截面位移的 变化规律的图形则分别称为剪力 图和弯矩图。
注意： 不能用一个函数表 达的要分段，分段点为：集中力 作用点、集中力偶作用点、分布 力的起点、终点。
-Fa/2
3Fa/2
M
Fa/2
特点：铰链传力不传力偶矩，与铰相连
的两横截面上, M = 0 , FS 不一定为零
q
a
a
a
a
绘图示梁的剪力图和弯矩图。
例5图 解 （一）求支座反力 由平衡条件得：RA=7KN ，R0=9KN 。
§5-5 按叠加原理作弯矩图
一、前提条件：小变形、梁的跨长改变忽略不计；所求参数（内 力、应力、位移）必然与荷载满足线性关系。即 在弹性范围内满足虎克定律。
上突变，突变幅度为集中力的大小。弯矩图在该 处为尖点。反之亦然。
5、集中力偶
从左到右，顺时针集中力偶作用处， 弯矩图向M正向突变，突变幅度为集中力偶的 大小。剪力图在该点没有变化。反之亦然。
剪力图按横向力走向可直接画
弯矩图的段端值可用剪力图面积计算
载荷集度、剪力和弯矩间的积分关系
确定剪力、 弯矩图上各点处的数值。
控制点:端点、分段点（外力变化点）和驻点（极值点）等。
qa a
q a
解：1、确定支反力（可省略）
m
2、画内力图
Fy AB：
；
( 积分关系FsB=FsA+0)
–
qa qa2
x
BC：
(Fs < 0,所以M图向负方向斜 MB= MA+(-qa a)=0-qa2 )
(q > 0, 所以Fs图向正方向斜)
,
从左向右 从右向左
利用剪力、弯矩与分布荷载间积分关系定值 积分关系:
梁上任意两截面的剪力差等于两截面间载荷图 所包围的面积
梁上任意两截面的弯矩差等于两截面间剪力图所 包围的面积
三、简易法作内力图：
利用微分关系定形，利用特殊点的内力值来定值 利用积分关系定值
基本步骤：
1、确定梁上所有外力（求支座反力）； 2、分段 3、利用微分规律判断梁各段内力图的形状； 4、确定控制点内力的数值大小及正负； 5、画内力图。
F q
x
A
B
=
M F
x
A
B
=+
M1 q
+
A
B