r
2
1 (D4 d 4 ) 1 D4 (1 4 )
32
32
Wt

1 D3 (1 4 )
16
d
D
例题1 实心圆轴的直径d=100mm，长L=1m，两端受力偶矩 m=14KN.m作用，设材料的剪变模量G=80×109N/m， 求：
1）最大剪应力τmax； 2）图示截面上A、B、C三点剪应力的数值; 3）若将圆轴在保持截面面积A相同时改为d1/D1=1/2
第三章 扭 转
§3-4 圆轴扭转时的应力 §3-5 圆轴扭矩的变形 §3-6 圆轴扭转时的强度与刚度
§3-4 圆轴扭转时的应力
★分析思路：
应力
内力分布
一、实验观察
静力关系 几何关系 物理关系
实验观察 变形几何规律
ab cd
1）在圆轴的外表面上纵向作平行直线
a
b
2）在圆轴的外表面上横向作平行圆周线
GI P
其中[′]称为许用单位长度相对扭转角。
★可进行如下三种刚度计算：
1、校核刚度：
m ax
2、设计截面尺寸：
T
IP

G
max

3、设计载荷：
T max I PG
例题2 功率为150kW，转速为15.4转/秒的电动机转子轴如图， 许用剪应力 []=30M Pa, 试校核其强度。
的空心圆轴，其最大剪应力τ 。
max
m
m
A
B C
解：1）T=m=14KN.m
max
T Wt
14 103
1 D3
71.3 106(Pa)
16
A
2) A 71.3MPa
B C
B 71.3MPa
c

1 2
71.3MPa

35.7MPa
3) A相同，空心率d1/D1=1/2
（3）求A、B两截面相对扭转角。
T
Mt
A
A
Mt (x)
l x
B
B
Tuesday, February 28,
Mechanics of Materials
29
2012
[解] (1)外力矩
T 9.55 103 P 390Nm
n
而
tl T
单位长度上土壤对钻杆的阻力矩
t T / l 390 9.76Nm m1 40
GI p d 3 80 109
d 9.37 102 (m)
取d=12cm
*4、由刚度条件： 由强度设计，取d=12cm

T GI p

32 10.54 103
0.123 80 109
180

0.045( / m) [ ] 0.5 符合刚度条件
D12 d12 1002
d1
1 100(mm) 3
D1
2 100(mm) 3
Wt

1 16
D13
(1


4
)
m ax Wt
1 D3
16
0.693
max
Wt
1 16
D13
(1


4
)
m ax 0.693 71.3 49.4(MPa)
32
0.148rad 8.5
Tuesday, February 28,
Mechanics of Materials
31
2012
80 109
1
3000 3.14 (75 103 )4
180

32
1 0 .069 ( O / m )
2

d
dx

T2 GI P 2
1.402 (O / m )
1 [ ] 2 [ ]
轴的刚度足够!
5、总变形 1 l1 2 l2
例题3 已知阶梯轴如图示，m1=1800N.m,m2=1200N.m,
G=80GPa,[τ]=80MPa, 1) 试求τmax的值，并作强度校核；
2）若[′ ]=1.5 o /m,试校其刚度；3）轴的总变形。
m1
m2
75 50
750
50
T
-3000N.m
解：1、求内力，作扭矩图
x
-1200N.m
2、强度校核
max1

T1 WP1

3000 16 3.14 753

36.2(MPa)
max 2
T2 WP 2

1200 16 3.14 503
48.9(MPa)
max1 [ ]
max2 [ ]
轴的强度足够! 3、刚度校核
1

d
dx

T1 GI P1
c
d
3）在圆筒的两端加上静载外力偶矩M，观察变形。
3）在圆筒的两端加上静载外力偶矩M，观察变形。
M
M
a′ b′
c′ d′
4）观察变形
a
b
c
d
a′ b′
c′
d′
abcd→a′b ′ c ′ d ′
ac、bd代表的是两个横截面
提出假设： 横截面似一刚性平面，在外力偶矩作用下绕轴
转过一定的角度，仍维持为圆截面。
解：1、求外力偶矩
M 9549 N n
9549 150 1550N.m 15.4 60
2、作扭矩图 T
M
2=75
1=70
M
3=135
+1.55KN.m
3、计算并校核剪应力强度
max
T Wt

16 1.55 103 3.14 703
23MPa [ ]
x
满足强度要求。
d
R
abA源自Tb′ A′x
c
d
d′
dx
T
τ


五、静力关系
横截面上内力系合成的结果 T
τ
内力合力T
xT
dA

dA
T
T
D
dA
T x

dA
T
T




T
dA


A

G


d
dx
dA
D
G d 2dA dx A
令 I P 2dA
a

bA
b′ A′
x
c
d
d′
dx
d
ρ

A
x
A′
dx
1）dx小段上，两个横截面相对转过的角度 d
2）abcd→a′b ′ c ′ d ′，则产生γ的角变形
3) 在dx小段的内部，半径为ρ的位置上，产生的角变形
d
R
a

bA
b′ A′
x
c
d
d′
dx
bb' dx 外表面上：b→b′ bb' R d
内部A： A→A′
AA' dx AA' d
d
ρ

A
x
A′
dx
R d
dx




d
dx
d
d
R
a

bA
b′ A′
x
c
d
d′
dx
ρ

A
x
A′
dx
★ 变形几何规律：

d
dx
★ d ---单位长度上横截面的相对扭转角
dx
d
★同一截面上（选择了参考面后）， 相同 dx
六、公式的适用范围
1、圆轴扭转 2、弹性范围内
max p
五、 IP、Wt的计算
d
1、实心圆轴
IP
2dA R 2 2 d 0

1 R4 1 D4
2
32
Wt

1 D3
16
D
2、空心圆轴
IP
2dA R 2 2 d 1 (R4 r 4 )
横截面对形心的极惯性矩
I P 2dA
仅与图形的面积分布有关而与外界条 件无关，反映截面性质的量。
T

G

d
dx

IP
d T
dx G I P

G d
dx

T
IP
max

TR IP

T Wt
Wt

IP R
抗扭截面系数，与截面的大 小、形状、尺寸等有关。
Mechanics of Materials
30
2012
(3)A、B两截面相对扭转角
AB
40 M t (x)dx 0 GI P
40 txdx tx 2 0 GI P 2GI P
40 0

2 80 109
9.725 402
604 504
1012
n
300
2、内力-----扭矩T
T M 10.54KN .m
3、由强度条件：
max
T Wt
16 10.54 103
d 3
[ ]
d 11.02 102 (m)
4、由刚度条件：
T 32 10.54 103 180 [ ] 0.5