九年级二次函数培优竞赛试题及答案1．在如图的直角坐标系中，已知点A(2,0)、B(0，－4)，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°至AC．(1)求点C的坐标；(2)若抛物线y＝－14x2＋ax＋4经过点C．①求抛物线的解析式；②在抛物线上是否存在点P(点C除外)使△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形?若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图1，已知直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=-x2+bx+c 经过A、B两点，与x轴交于另一个点C，对称轴与直线AB交于点E，抛物线顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）在第三象限内，F为抛物线上一点，以A、E、F为顶点的三角形面积为3，求点F的坐标；（3）点P从点D出发，沿对称轴向下以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设运动的时间为t秒，当t为何值时，以P、B、C为顶点的三角形是直角三角形？直接写出所有符合条件的t值．1.【解析】试题分析：（1）过点C作CD垂直于x轴，由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°至AC，根据旋转的旋转得到AB=AC，且∠BAC为直角，可得∠OAB与∠CAD 互余，由∠AOB为直角，可得∠OAB与∠ABO互余，根据同角的余角相等可得一对角相等，再加上一对直角相等，利用ASA可证明三角形ACD与三角形AOB全等，根据全等三角形的对应边相等可得AD=OB，CD=OA，由A和B的坐标及位置特点求出OA及OB的长，可得出OD及CD的长，根据C在第四象限得出C的坐标；（2）①由已知的抛物线经过点C，把第一问求出C的坐标代入抛物线解析式，列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，确定出抛物线的解析式；②假设存在点P使△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形，分三种情况考虑：（i）A为直角顶点，过A作AP1垂直于AB，且AP1=AB，过P1作P1M垂直于x轴，如图所示，根据一对对顶角相等，一对直角相等，AB=AP1，利用AAS可证明三角形AP1M与三角形ACD全等，得出AP1与P1M的长，再由P1为第二象限的点，得出此时P1的坐标，代入抛物线解析式中检验满足；（ii）当B为直角顶点，过B作BP2垂直于BA，且BP2=BA，过P2作P2N垂直于y轴，如图所示，同理证明三角形BP2N与三角形AOB全等，得出P2N与BN的长，由P2为第三象限的点，写出P2的坐标，代入抛物线解析式中检验满足；（iii）当B为直角顶点，过B作BP3垂直于BA，且BP3=BA，如图所示，过P3作P3H垂直于y轴，同理可证明三角形P3BH全等于三角形AOB，可得出P3H与BH的长，由P3为第四象限的点，写出P3的坐标，代入抛物线解析式检验，不满足，综上，得到所有满足题意的P的坐标．试题解析：（1）过C作CD⊥x轴，垂足为D，∵BA⊥AC，∴∠OAB+∠CAD=90°，又∠AOB=90°，∴∠OAB+∠OBA=90°，∴∠CAD=∠OBA，又AB=AC，∠AOB=∠ADC=90°，∴△AOB≌△CDA，又A（1，0），B（0，﹣2），∴OA=CD=1，OB=AD=2，∴OD=OA+AD=3，又C为第四象限的点，∴C的坐标为（3，﹣1）；（2）①∵抛物线y=﹣12x2+ax+2经过点C，且C（3，﹣1），∴把C的坐标代入得：﹣1=﹣92+3a+2，解得：a=12，则抛物线的解析式为y=﹣12x2+12x+2；②存在点P，△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形，（i）若以AB为直角边，点A为直角顶点，则延长CA至点P1使得P1A=CA，得到等腰直角三角形ABP1，过点P1作P1M⊥x轴，如图所示，∵AP1=CA，∠MAP1=∠CAD，∠P1MA=∠CDA=90°，∴△AMP1≌△ADC，∴AM=AD=2，P1M=CD=1，∴P1（﹣1，1），经检验点P1在抛物线y=﹣12x2+12x+2上；（ii）若以AB为直角边，点B为直角顶点，则过点B作BP2⊥BA，且使得BP2=AB，得到等腰直角三角形ABP2，过点P2作P2N⊥y轴，如图，同理可证△BP2N≌△ABO，∴NP2=OB=2，BN=OA=1，∴P2（﹣2，﹣1），经检验P2（﹣2，﹣1）也在抛物线y=﹣12x2+12x+2上；（iii）若以AB为直角边，点B为直角顶点，则过点B作BP3⊥BA，且使得BP3=AB，得到等腰直角三角形ABP3，过点P3作P3H⊥y轴，如图，同理可证△BP3H≌△BAO，∴HP3=OB=2，BH=OA=1，∴P3（2，﹣3），经检验P3（2，﹣3）不在抛物线y=﹣12x2+12x+2上；则符合条件的点有P1（﹣1，1），P2（﹣2，﹣1）两点．考点：1.二次函数综合题2.点的坐标3.等腰直角三角形．2.【答案】（1）y=-x 2-2x+3；（2） （3）当t 为43秒或2秒或3秒或143秒时，以P 、B 、C 为顶点的三角形是直角三角形 【解析】 试题分析：（1）先由直线AB 的解析式为y=x+3，求出它与x 轴的交点A 、与y 轴的交点B 的坐标，再将A 、B 两点的坐标代入y=-x 2+bx+c ，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）设第三象限内的点F 的坐标为（m ，-m 2-2m+3），运用配方法求出抛物线的对称轴及顶点D 的坐标，再设抛物线的对称轴与x 轴交于点G ，连接FG ，根据S △AEF =S △AEG +S △AFG -S △EFG =3，列出关于m 的方程，解方程求出m 的值，进而得出点F 的坐标；（3）设P 点坐标为（-1，n ）．先由B 、C 两点坐标，运用勾股定理求出BC 2=10，再分三种情况进行讨论：①∠PBC=90°，先由勾股定理得出PB 2+BC 2=PC 2，据此列出关于n 的方程，求出n 的值，再计算出PD 的长度，然后根据时间=路程÷速度，即可求出此时对应的t 值；②∠BPC=90°，同①可求出对应的t 值；③∠BCP=90°，同①可求出对应的t 值． 试题解析：（1）∵y=x+3与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ， ∴当y=0时，x=-3，即A 点坐标为（-3，0）， 当x=0时，y=3，即B 点坐标为（0，3）， 将A （-3，0），B （0，3）代入y=-x 2+bx+c ，得930c 3b c --+==⎧⎨⎩， 解得23b c =-⎧⎨=⎩， ∴抛物线的解析式为y=-x 2-2x+3； （2）如图1，设第三象限内的点F 的坐标为（m ，-m 2-2m+3），则m ＜0，-m 2-2m+3＜0． ∵y=-x 2-2x+3=-（x+1）2+4，∴对称轴为直线x=-1，顶点D 的坐标为（-1，4），设抛物线的对称轴与x 轴交于点G ，连接FG ，则G （-1，0），AG=2． ∵直线AB 的解析式为y=x+3，∴当x=-1时，y=-1+3=2， ∴E 点坐标为（-1，2）．∵S △AEF =S △AEG +S △AFG -S △EFG =12×2×2+12×2×（m 2+2m-3）-12×2×（-1-m ）=m 2+3m ，∴以A 、E 、F 为顶点的三角形面积为3时，m 2+3m=3，解得：1m =，2m =，当32m -=时，-m 2-2m+3=-m 2-3m+m+3=-3+m+3=m=32-，∴点F 的坐标为（32-，32-）； （3）设P 点坐标为（-1，n ）． ∵B （0，3），C （1，0），∴BC 2=12+32=10．分三种情况：①如图2，如果∠PBC=90°，那么PB 2+BC 2=PC 2，即（0+1）2+（n-3）2+10=（1+1）2+（n-0）2，化简整理得6n=16，解得n=83，∴P 点坐标为（-1，83），∵顶点D 的坐标为（-1，4），∴PD=4-83=43，∵点P 的速度为每秒1个单位长度，∴t 1=43；②如图3，如果∠BPC=90°，那么PB 2+PC 2=BC 2，即（0+1）2+（n-3）2+（1+1）2+（n-0）2=10，化简整理得n2-3n+2=0，解得n=2或1，∴P点坐标为（-1，2）或（-1，1），∵顶点D的坐标为（-1，4），∴PD=4-2=2或PD=4-1=3，∵点P的速度为每秒1个单位长度，∴t2=2，t3=3；③如图4，如果∠BCP=90°，那么BC2+PC2=PB2，即10+（1+1）2+（n-0）2=（0+1）2+（n-3）2，化简整理得6n=-4，解得n=-23，∴P点坐标为（-1，-23），∵顶点D的坐标为（-1，4），∴PD=4+23=143，∵点P的速度为每秒1个单位长度，∴t4=143；综上可知，当t为43秒或2秒或3秒或143秒时，以P、B、C为顶点的三角形是直角三角形．。