二次函数一、选择题1． 一次函数4)2(2-+-=k x k y 的图象经过原点，则k 的值为（ ）．A ．2B ．－2C ．2或－2D ．32．对于二次函数y=（x-1）2+2的图象，下列说法正确的是（ ）A 、开口向下B 、对称轴是x=-1C 、顶点坐标是（1，2）D 、与x 轴有两个交点3．在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c 和二次函数y=ax 2+c 的图象大致为（ ）4．二次函数y=ax 2+bx ﹣1（a≠0）的图象经过点（1，1），则a+b+1的值是（ ） A ．﹣3 B ．﹣1 C ．2 D ．35．抛物线2)3(2-+=x y 可以由抛物线2y x =平移得到，则下列平移过程正确的是（） A ．先向左平移3个单位，再向上平移2个单位 B ．先向右平移3个单位，再向下平移2个单位 C ．先向左平移3个单位，再向下平移2个单位 D ．先向右平移3个单位，再向上平移2个单位[来6．对于二次函数y=-x 2+2x ．有下列四个结论：①它的对称轴是直线x=1； ②设y 1=-x 12 +2x 1，y 2=-x 22+2x 2，则当x 2＞x 1时，有y 2＞y 1； ③它的图象与x 轴的两个交点是（0，0）和（2，0）； ④当0＜x ＜2时，y ＞0． 其中正确结论的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47．如图，已知二次函数21y ax bx c =++与一次函数2y kx m =+ 的图像相交于点A （-3,5），B （7，2），则能使12y y ≤ 成立的x 的取值范围是（ ）A ．25x ≤≤B ．37x x ≤-≥或C ．37x -≤≤D ．52x x ≥≤或8．如图，已知：无论常数k 为何值，直线l ：y=kx+2k+2总经过定点A ，若抛物线y=ax 2过A ，B （1，b ），C （-1，c ）三点．（1）请直线写出点A 坐标及a 的值； （2）当直线l 过点B 时，求k 的值；（3）在y 轴上一点P 到A ，C 的距离和最小，求P 点坐标；（4）在（2）的条件下，x 取 值时，ax 2＜kx+2k+2．二、填空题9．在二次函数y=-2（x-3）2+1中，若y 随x 的增大而增大，则x 的取值范围是 ．10．二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，下列结论：①2a+b=0；②a+c ＞b ；③抛物线与x 轴的另一个交点为（3，0）；④abc ＞0．其中正确的结论是 （填写序号）． 11．二次函数23y x =的图象如图，点O 为坐标原点，点A 在y 轴的正半轴上，点B 、C 在二次函数23y x =的图象上，四边形OBAC 为菱形，且∠OBA=120°，则菱形OBAC 的面积为 ．12．如图，平行于x 轴的直线AC 分别交函数21y x （x ≥0）与223x y （x ≥0）的图象于B ，C 两点，过点C 作y 轴的平行线交1y 的图象于点D ，直线DE ∥AC ，交2y 的图象于点E ，则=ABDE． 13．已知3a <-,点 A （a,y 1 ）, B （ a+1,y 2）都在 二次函数223y x x =+图像上,那么y 1 、y 2的大小关系是 ．14．已知点A （x 1,y 1）、B （x 2,y 2）在二次函数y=(x-错误!未找到引用源。

1)2+1的图象上，若x 1>x 2>1，则y 1 y 2 .（填“>”“=”或“<”）.三、计算题15．已知抛物线y=ax 2＋bx ＋c 经过点A （－1，0），且经过直线y=x －3与x 轴的交点B 及与y 轴的交点C ．（1）求抛物线的解析式； （2）求抛物线的顶点坐标；（3）若点M 在第四象限内的抛物线上，且OM ⊥BC ，垂足为D ，求点M 的坐标．四、解答题16．水果批发市场有一种高档水果,如果每千克盈利（毛利润）10元,每天可售出500千克．经市场调查发现,在进货价不变的情况下,若每千克涨价1元,日销量将减少20千克． （1）若以每千克能盈利18元的单价出售,问每天的总毛利润为多少元?（2）现市场要保证每天总毛利润6000元,同时又要使顾客得到实惠,则每千克应涨价多少元?（3）现需按毛利润的10%交纳各种税费,人工费每日按销售量每千克支出0．9元,水电房租费每日102元,若剩下的每天总纯利润要达到5100元,则每千克涨价应为多少?17．已知二次函数的图象以)4,1(-A为顶点，且过点)5,2(-B．（1）求该二次函数的解析式；（2）求该二次函数图象与坐标轴的交点坐标；18．如图，抛物线y=ax2+bx（a＞0）经过原点O和点A（2，0）．（1）写出抛物线的对称轴与x轴的交点坐标；（2）点（x1，y1），（x2，y2）在抛物线上，若x1＜x2＜1，比较y1，y2的大小；（3）点B（-1，2）在该抛物线上，点C与点B关于抛物线的对称轴对称，求直线AC的函数关系式．19．如图，抛物线y=-x2+bx+c的顶点为D，与x轴交于A（-1，0）、B（3，0），与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P为线段BC上的一点（不与B、C重合），PM∥y轴，且PM交抛物线于点M，交x轴于点N，当四边形OBMC的面积最大时，求△BPN的周长；（3）在（2）的条件下，当四边形OBMC的面积最大时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△CNQ为直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标．20．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=﹣2x+bx的图像经过点A（4，0）．点E是过点C（2,0）且与y轴平行的直线上的一个动点，过线段CE的中点G作DF⊥CE交二次函数的图像于D、F两点．（1）求二次函数的表达式．（2）当点E落在二次函数的图像的顶点上时，求DF的长．（3）当四边形CDEF是正方形时，请直接写出点E的坐标．21．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，顶点M关于x轴的对称点是M′．（1）求抛物线的解析式；（2）若直线AM′与此抛物线的另一个交点为C，求△CAB的面积；（3）是否存在过A，B两点的抛物线，其顶点P关于x轴的对称点为Q，使得四边形APBQ为正方形？若存在，求出此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．参考答案1．B ． 【解析】试题分析：∵图象经过原点,∴将（0,0）代入得：k2-4=0，k=±2，又∵k-2≠0,∴k ≠2,∴k=-2,故选B ．考点：一次函数图像性质． 2．C ． 【解析】 试题分析：根据抛物线的性质由a=1得到图象开口向上，根据顶点式得到顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x=1，从而可判断抛物线与x 轴没有公共点．试题解析：二次函数y=（x-1）2+2的图象开口向上，顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x=1，抛物线与x 轴没有公共点． 故选C ．考点：二次函数的性质． 3．D ． 【解析】试题分析：∵一次函数和二次函数都经过y 轴上的（0，c ）， ∴两个函数图象交于y 轴上的同一点，故B 选项错误；当a ＞0时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三象限，故C 选项错误； 当a ＜0时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，故A 选项错误； 故选D ．考点：1．二次函数的图象；2．一次函数的图象． 4．D ． 【解析】试题分析：把（1，1）代入y=ax 2+bx ﹣1可得到a+b-1=1，即可得a+b=3，故答案选D ．． 考点：二次函数图象上点的坐标特征． 5．C 【解析】试题分析：根据二次函数的平移规律可知：左加右减，上加下减．因此可知把抛物线2y x =先向左平移三个单位，再向下平移2个单位，即可得到2)3(2-+=x y ． 故选C考点：二次函数的平移 6．C 【解析】试题分析：根据对称轴公式x=()21221b a -=-=⨯-，故①正确； 根据函数的开口方向和对称轴，可知当x ＜1时，y 随x 的增大而增大，当x ＞1时，y 随x的增大而减小，由于x 1与x 2与1的关系不知道，故②不正确；令y=0，解方程- x 2+ 2x=0，可得x 1=0，x 2=2，因此图像与x 轴的交点为（0，0）（2，0），故③正确；结合图像与x 的交点可知当0 ＜ x ＜ 2时，y ＞0，故④正确． 因此共有3个正确的． 故选C考点：二次函数的图像与性质 7．C 【解析】试题分析：已知函数图象的两个交点坐标分别为A （-3,5），B （7，2）， ∴当有y 1≤y 2时，有37x -≤≤． 故选C ．考点：二次函数的图象 8．（1）A （-2，2），a=12；（2）k=-12；（3）点P 的坐标为（0，1）；（4）-2＜x ＜1． 【解析】试题分析：（1）把直线解析式整理成关于k 的形式，然后令k 的系数等于0求解即可得到定点A 的坐标，将点A 的坐标代入抛物线求解即可得到a 的值；（2）将点B 的坐标代入抛物线求解得到b 的值，再把点B 的坐标代入直线计算即可求出k ； （3）判断出B 、C 关于y 轴对称，再根据轴对称确定最短路线问题，直线AB 与y 轴的交点即为所求的点P ，然后根据直线解析式求解即可；（4）根据函数图象写出直线在抛物线上方部分的x 的取值范围即可． 试题解析：（1）y=kx+2k+2=k （x+2）+2， 当x+2=0，即x=-2时，直线经过定点， 此时，y=2，所以，A （-2，2），将点A 代入a•（-2）2=2， 解得a=12； （2）抛物线解析式为y=12x 2， x=1时，b=12×12=12， 所以，点B （1，12），将点B 代入直线得，k+2k+2=12， 解得，k=-12； （3）抛物线y=12x 2的对称轴为y 轴， 当x=-1时，c=12×（-1）2=12， 所以，点C （-1，12），所以，点B 、C 关于y 轴对称，由轴对称确定最短路线问题，直线AB 与y 轴的交点即为所求的点P ， 由（2）知，直线AB 的解析式为y=-12x+1， 令x=0，则y=1，所以，点P 的坐标为（0，1）；（4）由图可知，-2＜x ＜1时，ax 2＜kx+2k+2． 考点：二次函数综合题． 9．x ≤3 【解析】试题分析：∵a=-2＜0， ∴二次函数图象开口向下， 又对称轴是直线x=3，∴当x ≤3时，函数图象在对称轴的左边，y 随x 的增大增大． 考点：二次函数的性质． 10．①④ 【解析】试题分析：根据抛物线2y ax bx c a 0=++≠（）的对称轴直线x=﹣2ba=1，可得2a+b=0，所以①正确；根据x=﹣1时，y ＜0，可得a ﹣b+c ＜0，即a+c ＜b ，所以②错误；由抛物线与x 轴的一个交点为（﹣2，0）得到抛物线与x 轴的另一个交点为（4，0），所以③错误；由抛物线开口方向得到a ＞0，由对称轴x=﹣2ba＞0，可得b ＜0，由抛物线与y 轴的交点位置可得c ＜0，因此abc ＞0，所以④正确． 考点：二次函数图象与系数的关系 11．23．【解析】试题分析：连结BC 交OA 于D ，如图，∵四边形OBAC 为菱形，∴BC ⊥OA ，∵∠OBA=120°，∴∠OBD=60°，∴OD=3BD ，设BD=t ，则OD=3t ，∴B （t ，3t ），把B （t ，3t ）代入23y x =得23t =3t ，解得10t =（舍去），21t =，∴BD=1，OD=3，∴BC=2BD=2，OA=2OD=23，∴菱形OBAC 的面积=12232⨯⨯=23．故答案为：23．考点：1．菱形的性质；2．二次函数图象上点的坐标特征．12．3【解析】试题分析：首先设点A 的坐标为（0，x ），则点B 的坐标为x ），点C 的坐标为），点D 3x ），点E 的坐标为（），则DEAB 3x =3 考点：二次函数的性质. 13．y 1>y 2 【解析】试题分析：抛物线的对称轴为直线x=-223 =-43， ∵a ＜-3，点A （a ，y 1），B （a+1，y 2）， ∴点A 和点B 都在对称轴的左侧， 而a ＜a+1， ∴y 1＞y 2．考点：二次函数性质的应用 14．> 【解析】试题分析：∵a=1>0,∴抛物线的开口向上，∵对称轴为直线x=1,∴在对称轴右侧，y 随x 的增大而增大，∵x 1>x 2>1，∴y 1>y 2. 考点:二次函数的性质.15．（1）y=x 2-x-2；（2）（12，-94）；（3），）， 【解析】试题分析：（1）先根据坐标轴上点的坐标特征确定B （2，0），C （0，-2），然后利用待定系数法确定二次函数解析式；（2）把（1）的解析式y=x 2-x-2配成顶点式得y=（x-12）2-94，然后根据二次函数的性质确定顶点坐标；（3）由于△OBC 为等腰直角三角形，而OM ⊥BC ，则OM 的解析式为y=-x ，可设M （x ，-x ），把它代入二次函数解析式得x 2-x-2=-x ，解得x 1，x 2．则M 点坐标为，），然后计算出OM=2，，再利用三角形面积公式计算四边形OBMC 的面积． 试题解析：（1）把y=0代入y=x-2得x-2=0，解得x=2，则B 点坐标为（2，0）； 把x=0代入y=x-2得y=-2，则C 点坐标为（0，-2）， 根据题意得04202a b c a b c c -+=++==-⎧⎪⎨⎪⎩， 解得112.a b c ==-=-⎧⎪⎨⎪⎩， 所以所求抛物线的解析式是y=x 2-x-2；（2）y=x 2-x-2=（x-12）2-94， 所以抛物线的顶点坐标为（12，-94）；（3）∵OC=OB ，∴△OBC 为等腰直角三角形， ∴OM 的解析式为y=-x ， 设M （x ，-x ），∵点M 在抛物线上， ∴x 2-x-2=-x ，解得x 1，x 2∵点M 在第四象限，∴M，），考点：1.待定系数法求二次函数解析式；2.二次函数的性质． 16．（1）当定价为4元时，能实现每天800元的销售利润；（2）800元的销售利润不是最多，当定价为4．8元时，每天的销售利润最大． 【解析】 试题分析：（1）设定价为x 元，利润为y 元，根据利润=（定价-进价）×销售量，列出函数关系式，结合x 的取值范围，求出当y 取800时，定价x 的值即可；（2）根据（1）中求出的函数解析式，运用配方法求最大值，并求此时x 的值即可． 试题解析：（1）设定价为x 元，利润为y 元，则销售量为：（500-30.1x -×10）， 由题意得，y=（x-2）（500-30.1x -×10） =-100x 2+1000x-1600=-100（x-5）2+900， 当y=800时，-100（x-5）2+900=800， 解得：x=4或x=6，∵售价不能超过进价的240%， ∴x ≤2×240%， 即x ≤4．8，故x=4，即小华问题的解答为：当定价为4元时，能实现每天800元的销售利润；（2）由（1）得y=-100（x-5）2+900， ∵-100＜0，∴函数图象开口向下，且对称轴为直线x=5， ∵x ≤4．8，故当x=4．8时函数能取最大值，即y max =-100（4．8-5）2+900=896．故小明的问题的解答为：800元的销售利润不是最多，当定价为4．8元时，每天的销售利润最大．考点：二次函数的应用． 17．（1）6120元；（2）5元；（3）8元． 【解析】 试题分析：（1）根据总毛利润=每千克能盈利18元×卖出的数量即可计算出结果；（2）设涨价x 元，则日销售量为500-20x ，根据总毛利润=每千克能盈利×卖出的数量即可列方程求解；（2））每千克涨价应为y 元,，根据每天总纯利润=每天的总毛利润—毛利润的10%交纳各种税费—人工费—水电房租费即可列方程求解． 试题解析：解：（1）()18500820⨯-⨯=6120元． 设涨价x 元，则日销售量为500-20x ，根据题意得：， （10+x ）（500-20x ）=6000 解得x=10或5，为了使顾客得到实惠，每千克应涨价5元． 答：为了使顾客得到实惠，每千克应涨价5元． （3）每千克涨价应为y 元, （10+y ）（500-20y ）（1-10%）-0．9（500-20y ）-102=5100 （y-8）²=0 y=8答：每千克应涨价8元． 考点：一元二次方程的应用．18．（1）4)1(2++-=x y ；（2）与y 轴的交点为（0，3）【解析】试题分析：（1）设4)1(2++=x a y ， 把)5,2(-B 代入，得495+=-a ∴ 1-=a∴4)1(2++-=x y 3分 （2）当0=y 时，4)1(02++-=x 解得11=x ，32-=x∴ 与x 轴的交点为（1 ，0） ，（3- ，0） 2分 当0=x 时， 341=+-=y ∴ 与y 轴的交点为（0，3）. 1分考点: 1.二次函数的解析式；2.函数与数轴的交点特点 19．（1）（1，0）；（2）x 1＜x 2＜1时，y 1＞y 2；（3）y=2x-4． 【解析】 试题分析：（1）根据图示可以直接写出抛物线的对称轴与x 轴的交点坐标；（2）根据抛物线的对称轴与x 轴的交点坐标可以求得该抛物线的对称轴是直线x=1，然后根据函数图象的增减性进行解题；（3）根据已知条件可以求得点C 的坐标是（3，2），所以根据点A 、C 的坐标来求直线AC 的函数关系式． 试题解析：（1）根据图示，由抛物线的对称性可知，抛物线的对称轴与x 轴的交点坐标（1，0）；（2）抛物线的对称轴是直线x=1．根据图示知，当x ＜1时，y 随x 的增大而减小， 所以，当x 1＜x 2＜1时，y 1＞y 2；（3）∵对称轴是直线x=1，点B （-1，2）在该抛物线上，点C 与点B 关于抛物线的对称轴对称，∴点C 的坐标是（3，2）．设直线AC 的关系式为y=kx+b （k ≠0）．则0223k bk b =+=+⎧⎨⎩， 解得24k b ==-⎧⎨⎩．∴直线AC 的函数关系式是：y=2x-4．考点：1．抛物线与x 轴的交点，2．待定系数法求一次函数解析式，3．二次函数图象上点的坐标特征20．（1）抛物线解析式为y=-x 2+2x+3；（2）3+322；（3）Q 点坐标为（1，32+112）或（1，32-112）或（1，72）或（1，-14）． 【解析】 试题分析：（1）把A 、B 两点坐标代入可求得b 、c 的值，可求得抛物线的解析式；（2）△BOC 面积不变，故当M 点离直线BC 最远时，四边形OBMC 的面积最大，可求得直线BC 的解析式，则过M 且与直线BC 平行的直线与抛物线只有一个交点时，M 离直线BC 的距离最远，可求得M 点的坐标，则可求得BN 、PN 和PB ，可求得答案； （3）可设出Q 点坐标，可分别表示出CQ 、NQ 和CN ，分∠CQN=90°、∠QCN=90°和∠QNC=90°三种情况，结合勾股定理可得到方程，可求得Q 点坐标． 试题解析：（1）把A 、B 坐标代入抛物线解析式可得：10930b c b c --+=⎧⎨-++=⎩，解得23b c =⎧⎨=⎩， ∴抛物线解析式为y=-x 2+2x+3；（2）∵y=-x 2+2x+3， ∴C （0，3），且B （3，0）， ∴△BOC 面积固定，∴当M 离直线BC 最远时，四边形OBMC 的面积最大，设直线BC 的解析式为y=kx+b ，把B 、C 坐标代入可得330b k b =⎧⎨+=⎩，解得13k b =-⎧⎨=⎩，∴直线BC 解析式为y=-x+3，∴当过点M 与直线平行的直线l 与抛物线有一个交点时，M 离直线BC 最远，如图1，可设该直线解析式为y=-x+m ，联立抛物线解析式可得223y x x y x m⎧=-++⎨=-+⎩，消去y ，整理可得：x 2-3x+m-3=0，当该方程有两个相等的实数根时，直线l 与抛物线有一个交点， ∴（-3）2-4（m-3）=0，解得m=214，此时可解得方程组的解为32134xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴M点坐标为（32，134），又∵PM∥y轴，∴ON=32，且OB=3，∴BN=32，在直线y=-x+3中，当x=32时，代入可求得y=32，即PN=32，在Rt△BPN中，由勾股定理可求得，∴，即当四边形OBMC面积最大时，△BPN的周长为3+2；（3）∵y=-x2+2x+3，∴抛物线对称轴方程为x=1，∴设Q点坐标为（1，y），由（2）可知N点坐标为（32，0），∴===若△CNQ为直角三角形，则有三种情况：①当∠CQN=90°时，由勾股定理可得CQ2+NQ2=CN2，即y2-6y+10+14+y2=454，整理可得2y2-6y-1=0，解得y=32Q点坐标为（1，321，32；②当∠QCN=90°时，由勾股定理可得CQ2+CN2=NQ2，即y2-6y+10+454=14+y2，解得y=72，此时Q点坐标为（1，72）；③当∠QNC=90°时，由勾股定理可得NQ2+CN2=CQ2，即14+y2+454=y2-6y+10，解得y=-14，此时Q 点坐标为（1，-14）； 综上可知存在满足条件的Q 点，其坐标为（1，32+112）或（1，32-112）或（1，72）或（1，-14）． 考点：二次函数综合题．21．y=﹣2x +4x ；22；1E （2，﹣1+17），2E （2，﹣1﹣17）．【解析】试题分析：将点A 的坐标代入求出b 的值，得到函数解析式；根据解析式得出顶点坐标，根据中点求出点D 和点F 的横坐标，然后求出DF 的长度；根据正方形的性质得出点E 的坐标． 试题解析：（1）把（4，0）代入y=﹣2x +bx 中，得b=4． ∴二次函数的表达式为y=﹣2x +4x （2）由（1）可知二次函数的图像的顶点坐标为（2，4）∵G 是EC 的中点，∴当y=2时，﹣2x +4x=2．∴1x =2﹣2，2x =2+2，． ∴DF=2+2﹣（2﹣2）=22．（3）1E （2，﹣1+17），2E （2，﹣1﹣17）． 考点：二次函数的应用．22．（1）y=2x －2x －3；（2）24；（3）y=21(1)2x －2或y=－21(1)2x +2． 【解析】试题分析：（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据轴对称，可得M ′的坐标，根据待定系数法，可得AM ′的解析式，根据解方程组，可得B 点坐标，根据三角形的面积公式，可得答案；（3）根据正方形的性质，可得P 、Q 点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式． 试题解析：（1）将A 、B 点坐标代入函数解析式，得，解得，抛物线的解析式y=2x ﹣2x ﹣3；（2）将抛物线的解析式化为顶点式，得y=2(1)x ﹣4，M 点的坐标为（1，﹣4）， M ′点的坐标为（1，4），设AM ′的解析式为y=kx+b ， 将A 、M ′点的坐标代入，得，解得，AM ′的解析式为y=2x+2，联立AM ′与抛物线，得 ，解得，C 点坐标为（5，12）．S △ABC =12×4×12=24； （3）存在过A ，B 两点的抛物线，其顶点P 关于x 轴的对称点为Q ，使得四边形APBQ 为正方形，由ABPQ 是正方形，A （﹣1，0）B （3，0），得P （1，﹣2），Q （1，2），或P （1，2），Q （1，﹣2）， ①当顶点P （1，﹣2）时，设抛物线的解析式为y=a 2(1)x ﹣2，将A 点坐标代入函数解析式，得a 2(11)﹣2=0，解得a=12， 抛物线的解析式为y=21(1)2x －2， ②当P （1，2）时，设抛物线的解析式为y=a 2(1)x +2，将A 点坐标代入函数解析式，得a 2(11)+2=0，解得a=﹣12，抛物线的解析式为y=－21(1)2x +2， 综上所述：y=21(1)2x －2或y=－21(1)2x +2，使得四边形APBQ 为正方形．考点：二次函数综合题。