数值分析思考题1
1、讨论绝对误差（限）、相对误差（限）与有效数字之间的关系。

答：（1）绝对误差（限）与有效数字：将x 的近似值x *表示成
x *=±10m ×(a 1×10﹣1+a 2×10﹣2+ …a n ×10﹣n +…+a k ×10﹣k +…)，其中m 是整数，a 1≠0，a 1，a 2，…，a k 是0到9中的一个数字。

若绝对误差e ，那么x *至少有n 个有效数字，即a 1，a 2，…，a n 为有效数字，而a n+1，…，a k ，…不一定是有效数字。

因此，从有效数字可以算出近似数的绝对误差限；有效数字位数越多，其绝对误差限也越小。

（2）相对误差（限）与有效数字：将x 的近似值x *表示成 x *=±10m ×(a 1×10﹣1+a 2×10﹣2+ …a n ×10﹣n +…+a k ×10﹣
k +…)，其中m 是整数，a 1≠0，a 1，a 2，…，a k 是0到9中的一个数字。

若a k 是有效数字，那么相对误差不超过
;反之，如果已知相对误差r ，且有，那么a k 必为有效数字。

2、相对误差在什么情况下可以用下式代替
答：在实际计算时，由于真值常常是未知的，当较小时，通常用代替。

3、查阅何谓问题的“病态性”，并区分与“数值稳定性”的不同点。

r
e x x e x x *****-==
-
答：（1）病态问题：对于数学问题本身，如果输入数据有微小变化，就会引起输出数据（即问题真解）的很大变化，这就是病态问题。

（2）不同点：数值稳定性是相对于算法而言的，算法的不同直接影响结果的不同；而病态性是数学问题本身性质所决定的，与算法无关，也就是说对病态问题，用任何算法（或方法）直接计算都将产生不稳定性。

4、 取
，计算
，下列方法中哪种最好为什么
（1）(33-，（2）(27-，（3）()31
3+，（4）()61
1，（5）
99-答：（1）(33-==； （2）(27-==； （3）
()3
13+=； （4）()611+=；
（5）99-=；
由上面的计算可以看出，方法（3）最好，因为计算的
误差最小。

，
141.≈)61。