1、讨论绝对误差（限）、相对误差（限）与有效数字之间的关系。

2、相对误差在什么情况下可以用下式代替？3、查阅何谓问题的“病态性”，并区分与“数值稳定性”的不同点。

4、 取，计算，不用计算而直接判断下列式子中哪种计算效果最好？为什么？（1）(33-，（2）(27-，（3）(313+，（4）)611，（5）99-5. 应用梯形公式))()((2b f a f ab T +-=计算积分10x I e dx -=⎰的近似值，在整个计算过程中按四舍五入规则取五位小数。

计算中产生的误差的主要原因是截断误差还是舍入误差？为什么？6. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出他们有几位有效数字，并给出其绝对误差限与相对误差限。

(1) 1021.1*1=x ；(2) 031.0*2=x ；(3) 40.560*3=x 。

7. 下列公式如何计算才比较准确？(1) 212x e -，1x <<；(2)121N Ndx x ++⎰，1>>N ；(3) ，1x >>。

8. 序列{}n y 满足递推关系1101n n y y -=-，12,,n =，若0141.y =≈，计算到10y 时误差有多大？这个计算过程数值稳定吗？re x xe x x *****-==141.≈)611、怎样确定一个隔根区间？如何求解一个方程的全部实根？如：已知方程：1020()x f x e x =+-=在(),-∞+∞有实数根，用二分法求它的全部实根，要求误差满足210*k x x --<？若要求6*10k x x --<，需二分区间多少次？2、求解一个非线性方程的迭代法有哪些充分条件可以保障迭代序列收敛于方程的根？对方程3210()f x x x =--=，试构造两种不同的迭代法，且均收敛于方程在[]12,中的唯一根。

3、设0a >，应用牛顿法于方程30x a -=确定常数,p q 和r 使得迭代法2125k kk k qa ra x px x x +=++， 012,,,k =4、对于不动点方程()x x ϕ=，()x ϕ满足映内性和压缩性是存在不动点的充分条件，他们也是必要条件吗？试证明：（1）函数21()x x ϕ=-在闭区间[]02,上不是映内的，但在其上有不动点；（2）函数1()ln()x x e ϕ=+在任何区间[],a b 上都是压缩的，但没有不动点。

5、设*x 是方程0()f x =的根，且0*'()f x ≠，''()f x 在*x 的某个邻域上连续。

试证明：Newton 迭代序列{}k x 满足12122**()''()lim ()'()k k k k k x x f x x x f x -→∞---=-- 6. 设有方程112sin x x =+。

对于迭代法1112()sin()k k k x x x ϕ+==+，试证：对任何15.b ≥，迭代函数()x ϕ在闭区间[0.5,b]上满足映内性和压缩性。

用所给方x，使其有8位有效数字。

法求方程的根*数值分析思考题31、Gauss 消去法和LU 三角分解法解线性方程组的工作量相同吗？工作量为多少？平方根方法的工作量为多少？2、求解一个线性方程的LU 分解法什么条件下可以保障成功？选主元的目的是什么？列主元和全主元Gauss 消去法求解线性方程组各有什么优点？3、仅当系数矩阵是病态或者奇异的时候，不选主元的Gauss 消去法才会失败吗？系数矩阵是对称正定的线性方程组总是良态的吗？一个奇异的矩阵必没有LU 分解吗？一个非奇异对称的矩阵不是正定就没有Cholesky 分解吗？4、奇异矩阵的范数一定为零吗？范数为零的矩阵一定为零矩阵吗？矩阵1-范数和2-范数，通常哪个更容易计算？为什么？构造一个条件数为1的非单位矩阵的方阵。

5、若n n A R ⨯∈是列严格对角占优的（对每一列j ：1j n ≤≤，满足：1nijjj i i jaa =≠<∑），证明A 有三角分解A LU =，且1ij l <，()i j >。

6、设[]12,,,Tn n x x x x R =∈，0j p >，1,2,,j n =，证明*1nj j j x p x ==∑是n R 上的一种向量范数。

7、证明矩阵范数的性质：22F A A A ≤≤，2A ≤若A 对称时，1222212()nF A λλλ=+++，其中i λ，1,2,,i n =为A 的特征值。

8、已知线性方程组122.0002 1.999841.9998 2.00024x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ （1）求系数矩阵的逆1A -和条件数()Cond A ；（2）若方程组右端有微小扰动()44210,210Tb δ--=⨯-⨯，不用求解方程组，试利用解与系数扰动之间的关系式来估计解的相对变化率。

9．用三角分解法求解方程组123462116241011141510135x x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦.10．用列主元消去法求解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++-=-+-=+-615318153312321321321x x x x x x x x x .11．用Cholesky 分解法求解方程组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--103422484548416321x x x .数值分析思考题41、对给定的连续函数，构造等距节点上的Lagrange 插值多项式，节点数目越多，得到的插值多项式越接近被逼近的函数？同样的结论对三次样条插值函数成立吗？样条插值函数具有较好的稳定性吗？2、数据量特别大时，你选择哪种方法？（1）Lagrange 插值多项式，（2）三次Hermite 插值函数，（3）三次样条插值函数，（4）最小二乘拟合。

3、何为高次插值的Runge 现象，应如何避免？4、分段低次插值有何优缺点？如何估计误差？5、已知函数()f x 的下列观测值：利用Lagrange 或Newton 插值方法计算0175(.)f 的近似值。

若另外测得一个新点：02082(.).f ≈，试估计用上述方法计算0175(.)f 的近似值的误差。

6、证明关于互异节点{}0ni i x =的Lagrange 插值基函数{}0()ni i l x =满足 （1）1()ni i l x =≡∑；（2）0()nj j i i i x l x x =≡∑，12,,,j n =；（3）00()()njii i x x l x =-≡∑，12,,,j n =；（4）00110001211,,(),,,,,.(),nji i i nn j l x j n j n x x x =⎧=⎪==⎨⎪=+-⎩∑7、插值与拟合的相同点和不同点分别是什么？8、写出n 次多项式拟合的一般形式，奇函数和偶函数的多项式拟合的一般形式。

9、超定（矛盾）线性方程组的最小二乘解有哪些情况？说明它与广义逆的关系。

1、简述一般插值型求积公式的积分原理。

Newton-Cotes 求积公式为什么没有Gauss 型求积公式代数精度高？2、梯形法与两个节点的Gauss 型方法哪个更精确？证明Simpson 方法的代数精度为3。

3、确定下列数值积分公式中的参数，使它有尽可能高的代数精度。

（1）101()()(0)()hh f x dx A f h A f A f h --≈-++⎰；（2）212341()(1)(2)'(1)'(2)f x dx w f w f w f w f ≈+++⎰。

4、将[]1,2四等分，使用复化的两点Gauss-Legendre 公式计算211dx x⎰的数值积分，误差不超过810-。

5、建立Gauss 型求积公式计算111220()()A f x A f x ≈+⎰。

1、数值计算中迭代法与直接法的区别是什么？2、详述你所知道的线性方程组的迭代法的收敛性定理。

3、详述你所知道的非线性方程（组）的迭代法以及收敛性结果。

4、举例说明解线性方程组的SOR 方法的最佳松弛因子与何种因素有关？5、指出解非线性方程组的Newton 法的主要工作量所在。

分别用Newton 法和Broyden 秩1校正方法求解如下方程组在()1,1,1T点附近的根：2123212332312470,10110,1080.x x x x x x x x ⎧---=⎪+--=⎨⎪+-=⎩1、判断如下命题是否正确：(a) 对应于给定特征值的特征向量是唯一的；(b) 每个n阶的方阵一定有n个线性无关的特征向量；(c) 实矩阵的特征值一定是实的；(d) 一个n阶方阵奇异的充分必要条件是：0是该矩阵的特征值；(e) 任意的n阶的方阵，一定与某个对角矩阵相似；(f) 如果两个n阶方阵的特征值相同，这两个矩阵一定相似；(g) 一个n阶方阵的所有特征值都为0，这个矩阵一定是零矩阵；2、下面各类的任意n阶矩阵，哪些矩阵的特征值一定可以用有限的代数运算精确求解？(a)实对称矩阵；(d)上三角矩阵；(b)对角矩阵；(e)上Hessenberg矩阵；(c)三对角矩阵；(f)没有重特征值的实矩阵。

3、对非奇异的矩阵，将下面各算法的复杂度由低到高排列出来：(a)计算矩阵的所有特征值和特征向量；(b)用列主元Gauss消去法计算矩阵的LU分解；(c)计算矩阵的逆；(d)回带求解系数矩阵为上三角的线性方程组。

4、求解特征值问题的条件数与求解线性方程组问题的条件数是否相同，两者分别是什么？实对称矩阵的特征值问题总是良态的吗？数值分析思考题81、一个算法局部误差和整体误差的区别是什么？如何定义常微分方程数值方法的阶？2、显式方法和隐式方法的优缺点分别是什么？多步法中为什么还要使用单步法？3、刚性问题的求解困难主要体现在哪儿？计算刚性问题的最简单的稳定方法是什么？4、分别用欧拉向前法、欧拉向后法、改进的欧拉法、经典的四阶Runge-Kutta 法、四阶Adams 方法计算下列微分方程初值问题的解。

（1）3,12(1)0.4dy y x x dx x y ⎧=-≤≤⎪⎨⎪=⎩； （2）'109,'1011,y y z z y z =-+⎧⎨=-⎩ 满足(1)1,(1)1,y z =⎧⎨=⎩，12x ≤≤。