复变函数与积分变换试题（一）一、填空(3分×10)1．)31ln(i --的模 ﻩﻩ ,幅角 ﻩﻩ 。
2．-8ｉ的三个单根分别为: , ， 。
3．Ln ｚ在 的区域内连续。
4．z z f =)(的解极域为：ﻩ ﻩﻩ ﻩ。
5．xyi y x z f 2)(22+-=的导数=')(z f ﻩﻩﻩ。
６．=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0,sin Re 3z z s ﻩﻩﻩ。
７.指数函数的映照特点是：ﻩﻩﻩ ﻩ ﻩﻩ ﻩﻩ。
8.幂函数的映照特点是:ﻩﻩﻩ ﻩﻩ。
9.若)(ωF =F [f (ｔ)]，则)(t f = F )][(1ω-fﻩﻩ ﻩﻩ。
10．若f （t )满足拉氏积分存在条件，则L ［f (t )]= ﻩﻩ。
二、(10分)已知222121),(y x y x v +-=,求函数),(y x u 使函数),(),()(y x iv y x u z f +=为解析函数,且ｆ(０)=0。
三、(1０分)应用留数的相关定理计算⎰=--2||6)3)(1(z z z z dz四、计算积分（5分×２) 1．⎰=-2||)1(z z z dz2．⎰-c i z z3)(cos C :绕点i 一周正向任意简单闭曲线。
五、（10分）求函数)(1)(i z z z f -=在以下各圆环内的罗朗展式。
1．1||0<-<i z ２．+∞<-<||1i z六、证明以下命题:（5分×2)(１))(0t t -δ与o iwt e -构成一对傅氏变换对。
(2))(2ωπδ=⎰∞+∞-ω-dt e t i七、(10分)应用拉氏变换求方程组⎪⎩⎪⎨⎧='+=+'+='++'0401z y z y x z y x 满足ｘ（０)=y (0)＝z (０)=0的解y （t ）。
八、（1０分)就书中内容,函数在某区域内解析的具体判别方法有哪几种。
复变函数与积分变换试题答案(一）一、1．22942ln π+ﻩ ，ππk arctg 22ln 32+- ﻩﻩ2．3-i ﻩﻩ2i 3-ｉﻩ３. Ｚ不取原点和负实轴ﻩ４. 空集ﻩ ５.ﻩ２z ﻩ6. 0ﻩ7．将常形域映为角形域ﻩ8.ﻩ角形域映为角形域 9．⎰∞+∞-ωωπωωd e F i )(21ﻩﻩﻩ10．⎰∞+-0)(dt e t f st ﻩ二、解:∵y u x x v ∂∂-=-=∂∂ﻩ x u y y v ∂∂==∂∂∴c xy u +=ﻩ （5分)c xy y x i z f ++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=222121)(∵f (0)=0ﻩﻩﻩﻩc =0 （３分)∴222222)2(2)(2)(z i xyi y x i y x i xy z f -=+--=--=（2分)三、解:原式=(２分）⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∑=k k z z z z s i ,)3)(1(1Re 2621πﻩﻩ01=z ﻩ12=z （2分)⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=∑=k k z z z z s i ,)3)(1(1Re 2643π ﻩ33=z ∞=4z2312(3,)3)(1(1Re 66⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--分）z z z s⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞--0,1)31)(11(11Re 2,)3)(1(1Re 266z z z z s z z z s 分）（=0∴原式＝(2分) 23126⨯⨯i π=i 63π-四、1．解:原式⎥⎦⎤⎢⎣⎡-π=∑=k k z z z s i ,)1(1Re 221ﻩ(3分)ﻩz 1=0 z ２=1ﻩﻩ]11[2+-=i π＝0 ﻩ (2分)ﻩ2．解:原式iz z i=''=s co !22πi z z i =-π=）（cos i i cos π-==1ich π-五、1．解：nn i i z i i z ii z ii z i i z i z z f ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛--⋅-=-+⋅⋅-=+-⋅-=0111111)(111)(11)(分）（分）（分）（11)(--∞=-=∑n n n i z in nn i z i )(1-=∑∞-=(２分)ﻩ２．解：⎪⎭⎫⎝⎛-+⋅-=-+⋅-=i z i i z i z i i z z f 11)(11)(1)(11)(2分）（分）（（1分）nn i z i i z ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=02)(120)(11+∞=-=∑n n n i z i 20)(--∞=-=∑n n n i z i ﻩ(2分） 六、1．解:∵0)(0t i e t t ti t i e dt e t t ωωωδ-==--∞+∞-=-⎰ﻩ（3分)ﻩ∴结论成立（２)解：∵1)(2210==ωπδπ=ωω-ω-∞+∞-⎰ti t i e dw e ﻩﻩ(２分)ﻩ∴)(2w πδ与１构成傅氏对 ﻩ∴)(2ωπδω=-∞+∞-⎰dt e t i ﻩ(2分）七、解：∵⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=++=++)3(0)(4)()2(0)()()()1(1)()()(s sZ s Y s Z s sY s X S s sZ s Y s sX ﻩﻩ(３分) S （2）-（１): ∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-=s s s Y 111)(2⎪⎭⎫ ⎝⎛++--=--=1111211112s s s s s s ﻩﻩ(3分） ∴cht e e t Y tt -=--=-121211)(八、解:①定义;ﻩ ②C-Ｒ充要条件T ｈ； ③v 为u 的共扼函数 10分复变函数与积分变换试题（二)一、填空(3分×１０）１.函数ｆ（z )在区域Ｄ内可导是f (z )在Ｄ内解析的（ ﻩﻩ)条件。
2.w =z 2在ｚ＝-i 处的伸缩率为( ﻩﻩ）。
3．i z 212--=的指数表示式为(ﻩ ﻩ ﻩ )。
4.Ln （-１)的主值等于（ ﻩﻩ)。
5．函数e z 以(ﻩﻩﻩ)为周期。
６.设C 为简单闭曲线，则⎰-cz z dz=( )。
7．若z 0为f (z ）的m 级极点,则=]),([Re 0z z f s ( ﻩ ﻩﻩ)。
8.若=ω)(F Ｆ f (t )(ﻩ ﻩ)。
９.)(20t t -πδ与( ﻩ）构成一个付立叶变换对。
10.已知L 11][sin 2+=s t ，则L =]sin [t t（ﻩ ﻩﻩ）。
二、计算题(7分×7）1.求p ,m ，n 的值使得函数)()(2323pxy x i y nx my z f +++=为解析函数。
2.计算⎰=⎪⎭⎫ ⎝⎛++-3||2311z dz z z 3.已知调和函数y x u )1(2-=，求解析函数iv u z f +=)(使得i f =)2(。
4．把函数)2)(1(12-+z z 在2||1<<z 内展开成罗朗级数。
5.指出函数zz z z f 21)(2--=在扩充复平面上所有孤立奇点并求孤立奇点处的留数。
6．计算dz z ze z z⎰=-2||217．利用留数计算积份θθ+⎰πd 20cos 21三、积分变换(7分×3)1．设t t t f 00cos sin )(ωω=(0ω为常数)，求F ［ｆ(ｔ)]。
２．设f (t ）以π2为周期，且在一个周期内的表达式为⎩⎨⎧≤<≤<=πππ2020cos )(t t t t f 求L [f (ｔ)］。
ﻩ3．求方程t e y y y -=-'+''32满足条件1)0(,0)0(='=y y 的解。
（L [e -t ]=11+s ）。
复变函数与积分变换试题答案(二）一、１． 充要条件ﻩ2． 23.ﻩi eπ654-4．i πﻩﻩ5. i π2ﻩ6.ﻩ原式＝⎩⎨⎧内不在内在C z C z i 0002π7．)()()!1(10110z f z z dz d im l m m m z z ----→ ﻩ8． ⎰∞+∞-ωωωπd e F i t j )(21 ﻩ９. 02t j e ω-πﻩ ﻩﻩ10.⎰∞-π=+sarcctgs ds s 2112 二、1. 解：P n nyp yvnxy x u -=⇒∂∂==∂∂22ﻩ (3分)3332222-=⇒--=∂∂-=+=∂∂n py x xv nx my y u3m =p∴3,1,3-==-=n m p ﻩ（1分）２.原式=（2５分）i i i dz z z z z π=π+π=++-⎰⎰==81624(23113||3||分）（分）3.原式＝)(22x g y v yvy x u +=⇒∂∂==∂∂ﻩ (２分) )()1(2x g xv x x u '-=∂∂-=-=∂∂ ﻩﻩc x x x g ++-=2)(2ﻩ (2分)∴)1()1(2)(22+-+-=x y i y x z f1)2)2(200=⇒++=⇒===c c y i y i i f y y（2分）∴)12()1(2)(22++-+-=x x y i y x z fﻩ（1分)4.解:∑∞⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+＋＝－）（－＝0222221111111n n n z z z z z ﻩ (2分)∑∞⎪⎭⎫⎝⎛⋅=02212112121＝＝－－－－n nz z z ﻩﻩ(2分）∴∑∑∑∞∞=⋅+4010122212111－＝＋＝）＋（－＝－）（－－n k k n n n n n n n b a C z z z z (3分)5．解:∞＝，＝，＝z z z 20(2分)21221lim]0),([Re 0=--=→z z z f s z ﻩﻩ（2分）21221lim ]2),([Re 2=--=→z z z f s z ﻩﻩﻩ（2分)1]),([Re -=∞z f s ﻩ（1分）6．解:原式（3分）⎪⎪⎭⎫⎝⎛+π=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-π=-22231,1Re 1,1Re 2122e e i z ze s z ze s i z z 分）（12ch i ⋅=π(1分)7.解： 原式＝(２分）iz dz zz z ⋅++⎰=1||22121=（１分）dz z z iz ⎰=++-1||2142=（１分)dz z z iz ⎰=++-+-1||)32)(32(2=(2分)⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++-π32,142Re 22z z i s i =（1分）32323222ππ=+++--i i三、1．解： F [f (t )]⎰⎰∞+∞--∞+∞--==dt te dt et f t j tj ωωω02sin 21)(ﻩ （3分) )]2()2([[2100ωωδωδπ--+=w i ﻩﻩﻩ(４分）2．解：L [f (t )]=（２分）⎰---ππ202)(11dt e t f e st s ﻩﻩﻩ（2分）=⎰---ππ02cos 11dt te e sts=(2分）22111s se s e s s ++⋅---ππ （1分）=22111sse s +⋅--π ﻩﻩ3.解：F )32(y y y -'+''=F [e -t ]ﻩﻩﻩ(1分)11)(3))0()((2)0()()(2+=--+--s s Y Y s sY Y s sY s Y s ﻩﻩ （２分) 32111)(2-+++=s s s s Y ＝)1)(3)(1(2-+++s s s s （2分)]3,1,1,])([Re )(--==∑k st z e s Y s t Y =t t t e e e 3818341---+-ﻩ （２分）复变函数与积分变换试题(三)1.(5）复数z 与点(,)x y 对应,请依次写出z 的代数、几何、三角、指数表达式和z 的3次方根。