习题八 假设检验一、填空题1．设12,,...,n X X X 是来自正态总体的样本，其中参数2,μσ未知，则检验假设0:0H μ=的t -t -检验使用统计量tX 2．设12,,...,n X X X 是来自正态总体的样本，其中参数μ未知，2σ已知。

要检验假设0μμ=应用 U 检验法，检验的统计量是U =0H 成立时该统计量服从N （0，1） 。

3．要使犯两类错误的概率同时减小，只有 增加样本容量 ;4 ． 设12,,...,n X X X 和12,,...,m Y Y Y 分别来自正态总体2~(,)X XX N μσ和2~(,)Y Y Y N μσ，两总体相互独立。

（1）当X σ和Y σ已知时，检验假设0:X Y H μμ=所用的统计量为X YU =0H 成立时该统计量服从 N （0，1） 。

（2）若X σ和Y σ未知，但X Y σσ= ，检验假设0:X Y H μμ=所用的统计量 为 T = ；当0H 成立时该统计量服从 (2)t m n +- 。

5．设12,,...,n X X X 是来自正态总体的样本，其中参数μ未知，要检验假设 2200:H σσ=，应用 2χ 检验法，检验的统计量是 2220(1)n S χσ-= ；当0H 成立时，该统计量服从 2(1)n χ- 。

6．设12,,...,n X X X 和12,,...,m Y Y Y 分别来自正态总体2~(,)X XX N μσ和2~(,)Y Y Y N μσ，两总体相互独立。

要检验假设220:X Y H σσ=，应用 F 检验法，检验的统计量为 22X YS F S = 。

7．设总体22~(,),,X N μσμσ 都是未知参数，把从X 中抽取的容量为n 的 样本均值记为X ，样本标准差记为S （修正），在显著性水平α下，检验假设 01:80;:80;H H μμ=≠的拒绝域为 2||(1)T t n α≥- 在显著性水平α下，检验假设22220010:;:;H H σσσσ=≠的拒绝域为 222(1)n αχχ≥-或222(1)n αχχ≤- ; 8．设总体22~(,),,X N μσμσ都是未知参数，把从X 中抽取的容量为n 的样本均值记为X ，样本标准差记为S （修正），当2σ已知时，在显著性水平α下，检验假设0010:;:H H μμμμ≥<的统计量为 X U = ，拒绝域为 {}U u α≤- 。

当2σ未知时，在显著性水平α下，检验假设0010:;:H H μμμμ≤>的统计量为 X T =，拒绝域为 (1)T t n α≥- 。

9．设总体22~(,),,X N μσμσ都是未知参数，从X 中抽取的容量为50n =的样本，已知样本均值1900X ，样本标准差S =490（修正），检验假设01:2000;:2000;H H μμ=≠的统计量为 1.443T =- ；在显著性水平0.01α=下，检验结果是 接受 0H 。

二、选择题1．在假设检验中，用α和β分别表示犯第一类错误和第二类错误的概率，则当样本容量一定时，下列说法正确的是（ C ）A ．α减小β也减小B ．α增大β也增大C ．α与β不能同时减小，减小其中一个，另一个往往就会增大D ．A 和B 同时成立2．在假设检验中，一旦检验法选择正确，计算无误（ C ）A ．不可能作出错误判断B ．增加样本容量就不会作出错误判断C ．仍有可能作出错误判断D ．计算精确些就可避免错误判断3．在一个确定的假设检验问题中，与判断结果有关的因素有（ D ）A ．样本值及样本容量B ．显著性水平αC ．检验的统计量D ．A 和B 同时成立4．对于总体分布的假设检验，一般都使用2χ拟合优度检验法，这种检验法 要求总体分布的类型为（ D ）A ．连续型分布B ．离散型分布C ．只能是正态分布D ．任何类型的分布5．在假设检验中，记1H 为备择假设，则称（ B ）为犯第一类错误A ．1H 真，接受1HB ．1H 不真，接受1HC ．1H 真，拒绝1HD ．1H 不真，拒绝1H6．机床厂某日从两台机器所加工的同一种零件中，分别抽取20,25n m ==的两个样本，检验两台机器的台工精度是否相同，则提出假设（ B ）A ．012112:;:H H μμμμ=≠B ．2222012112:;:;H H σσσσ=≠ C ．012112:;:H H μμμμ=> D ．2222012112:;:;H H σσσσ=> 7 ．设12,,...,n X X X 和12,,...,m Y Y Y 分别来自正态总体2~(,)X XX N μσ和2~(,)Y Y Y N μσ，两总体相互独立。

样本均值X 和Y ，而2X S 和2Y S 相应为样本方差，则检验假设220:X Y H σσ=（ D ）A ．要求X Y μμ=B ．要求22X Y S S =C ．使用2χ--检验D ．使用F --检验8．检验的显著性水平是（ B ）A ．第一类错误概率B ．第一类错误概率的上界C ．第二类错误概率D ．第一类错误概率的上界10．在假设检验中，如果原假设0H 的否定域是W ，那么样本观测值12,,...,n x x x 只可能有下列四种情况，其中拒绝H 且不犯错误的是（ C ）A.0H 成立，12(,,...,)n x x x W ∈B.0H 成立12(,,...,)n x x x W ∉C.0H 不成立，12(,,...,)n x x x W ∈D.0H 不成立，12(,,...,)n x x x W ∉三、解答题1． 根据以往资料分析，某种电子元件的使用寿命服从正态分布，σ =11.25 。

现从周内生产的一批电子元件中随机的抽取9只，测得其使用寿命为（单位：时）： 2315，2360，2340，2325，2350，2320，2335，2335，2325问这批电子元件的平均使用寿命可否认为是2350时（0.05α=）。

解：设X 为这批电子元件的使用寿命，则待检验的原假设和备择假设为：0:2350H μ= VS 1:2350H μ≠,采用U 检验法，在显著性水平α下，检验的拒绝域为2{||}u u α≥，则当0.05α=时候，则0.025 1.96u =，经计算2333.89x =，则检验统计量4.296u ==-，u 值落入了拒绝域内，故拒绝原假设，则这批电子元件的平均使用寿命不可认为是2350时。

2． 某厂生产的维尼伦在正常生产条件下纤度服正态分布N(1.405,0.048 ),某日抽取 5 根纤维，测得其纤维度为 1.32 1.55 1.36 1.40 1.44。

问这天生产的维尼伦纤度的均值有无显著变化。

（0.05α=）解：设X 为某厂生产的维尼伦在正常生产条件下纤度，则待检验的原假设和备择假设为：0: 1.405H μ= VS 1: 1.405H μ≠,采用U 检验法，在显著性水平α下，检验的拒绝域为2{||}u u α≥，则当0.05α=时候，则0.025 1.96u =，经计算 1.414x =，则检验统计量0.419u ==，u 值没有落入了拒绝域内，故接受原假设。

则这天生产的维尼伦纤度的均值无显著变化。

3．设有甲、乙两台机床加工同样产品。

分别从甲、乙机床加工的产品中随机的抽取8件和7件，测得产品直径（单位；mm ）为甲 20.5 19.8 19.7 20.4 20.1 20.0 19.6 19.9乙 19.7 20.8 20.5 19.8 19.4 20.6 19.2已知两台机床加工产品的直径长度分别服从方差为2222120.3, 1.2σσ==的正态分布，问两台机床加工产品直径的长度有无显著差异。

(0.01α=)解：设X ，Y 分别表示甲乙两台机床加工产品的直径长度，则211~(,)X N μσ，222~(,)Y N μσ，则待检验的原假设和备择假设为：012:H μμ= VS 012:H μμ≠,则采用U 检验法，在显著性水平α下，检验的拒绝域为2{||}u u α≥，则当0.01α=时候，则0.005 2.575u =，经计算20x =，20y =，则检验统计量0u =，则u 值没有落入了拒绝域内，故接受原假设。

则可以认为两台机床加工产品直径的长度无显著差异。

4．某砖瓦厂有两个砖窑生产同一规格的砖块。

从两窑中分别取砖 7 块和 6 块测定其抗断强度（单位：10 Pa)如下：甲 2.051 2.556 2.078 3.727 3.628 2.597 2.462乙 2.666 2.564 3.256 3.300 3.103 3.487设砖的抗断强度服从正态分布且20.32σ=两窑生产的砖抗折强度有无明显差异(0.05α=)。

解：设X ，Y 分别表示甲、乙两窑生产的砖抗折强度，则21~(,)X N μσ，22~(,)Y N μσ，则待检验的原假设和备择假设为：012:H μμ= VS 012:H μμ≠,则采用U 检验法，在显著性水平α下，检验的拒绝域为2{||}u u α≥，则当0.05α=时候，则0.025 1.96u =，经计算 2.728x =， 3.063y =， 1.0645u ==-。

则u 值没有落入了拒绝域内，故接受原假设。

则可以认为两窑生产的砖抗折强度无明显差异。

5． 在正常情况下，某肉类加工厂生产的小包装精肉每报重量 X 服从正态分 布，标准差10σ=。

某日抽取12包，测得其重量（单位：g ）为：501 497 483 492 510 503 478 494 483 496 502 513 问该日生产的纯精肉每包重量的标准差是否正常(0.10α=)。

解：则待检验的原假设和备择假设为：220:10H σ= VS 221:10H σ≠, 采用2χ检验法，在显著性水平α下，检验的拒绝域为2222122{(1)(1)}n n ααχχχχ-≤-≥-或，则当0.1α=，12n =时候，则220.950.05(11) 4.5748,(11)19.6751χχ==，经计算 10.77877S =，22211(10.77877)12.7810χ⨯==，则2χ值没有落入了拒绝域内，故接受原假设，可认为该日生产的纯精肉每包重量的标准差是正常的。

6．某种轴料的椭圆度服从正态分布。

现从一批该种轴料中抽取 15 件测量其 椭圆度，计算得到样本标准差0.035s =。

试问这批轴料椭圆度的总体方差与规定方差200.0004σ=有无显著差(0.05α=)。

解：则待检验的原假设和备择假设为：220:0.02H σ= VS 221:0.02H σ≠,采用2χ检验法，在显著性水平α下，检验的拒绝域为2222122{(1)(1)}n n ααχχχχ-≤-≥-或，则当0.05α=，15n =时候，则220.9750.025(14) 5.6287,(14)26.1189χχ==，由已知 0.035s =，222140.03542.875(0.02)χ⨯==，则2χ值落入了拒绝域内，故拒绝原假设，因而这批轴料椭圆度的总体方差与规定方差200.0004σ=有显著差。