《余角与补角》教学设计
(七年级上册·第四章第三节)
德江县楠杆土家族乡民族初级中学周刚
一、【教材分析】
1．教学内容
本节内容是湘教版教材《数学七年级（上）》第四章《图形的认识》的第三节，主要内容是理解余角、补角的定义及性质．
2．地位与作用
本节课是学生在学习了“角、直角、平角的定义”、“角的大小比较”等内容的基础上，对角与角之间关系的进一步深入和拓展，它为以后证明角相等提供了一种重要依据．因此本节课起着承上启下的作用．同时本节课中从“数量”关系定义余角、补角，使学生对定义认识的深度、广度得以拓展．
二、【学情分析】
1．知识基础：学生已经学习了直角、平角，比较角的大小等有关基础知识，并能
用这些知识解决简单问题．
2．认知水平和能力：七年级学生具有初步的观察、分析、概括能力，有着一定的
学习经验及活动经验，形成了较好的参与意识和合作意识．并能在教师引导下低起点、小步距进行探究．
3．任教学生特点：我班学生基础知识较扎实、思维较活跃，能较好地应用所学知
识解决问题，但逻辑推理能力和用数学语言进行正确表达的能力还有待进一步提高．
三、【目标分析】
1.教学目标
依据教材的教学要求，渗透新课标理念，并结合以上学情分析，我制定了如下教学目标：
①通过在生活情境中从数学角度发现问题、提出问题，让学生理解余角、补角、
对顶角的概念．
②通过学生经历探究活动中的动手操作，合作交流，使学生掌握同角（等角）的
余角相等，同角（等角）的补角相等，对顶角相等的性质．
③通过对余角、补角性质的探究，渗透从“特殊”到“一般”、类比的数学思想方
法；会对文字、图形、符号三种语言进行相互转化．
④通过关于比萨斜塔的新闻轶事引入，让学生感受数学来源于生活，生活中处处
有数学，体会学习数学的价值．
2.教学重点及难点
重点：余角、补角的定义及性质
难点：余角、补角性质的合情推理和数学语言的规范表达
重、难点解决的方法策略
根据七年级学生的认知特点，乐于动手操作探究，易于在实践中明确事理，故而本节课采用以实验发现法为主的教学方法.教学中，通过剪裁、度量、旋转等操作活动，精心设计了一个又一个带有操作性、启发性和思考性的问题，引导学生动手操作，思考问题，同时教师适时地引导，逐步推导归纳得出结论，使学生始终处于自主探索、合作交流的积极状态，形成生动活泼的、主动的和富有个性的学习活动，从而掌握余角、补角、对顶角的定义及性质，并能运用性质解决简单的问题．
四、【教学模式与教法、学法】
本课采用“探究——发现”教学模式．
教师的教法突出活动的安排与问题的引导．
学生的学法突出动手操作、探究发现与归纳建构．
教具：教材，多媒体课件，剪子，纸质直角三角板
学具：三角板，量角器，教材，练习本
五、【过程设计】
结合教材知识内容和教学目标，本课的教学环节及时间分配如下：
引入概念（3分钟）——概念学习（10分钟）——探究活动一（15分钟）——探究活动二（7分钟）——应用拓展（8分钟）——总结提升（2分钟）
教学过程：
一、引入概念
首先播放一段有关著名的比萨斜塔近况的新闻视频，提出问题：
从视频得知，“塔身的倾斜度由原来的5.5︒变成现在的3.99︒”，你知道其中的5.5︒和3.99︒是怎么测量的吗？注意这里的测角仪不能直接伸入塔身．
（学生相互讨论，提出初步测量方案）
（根据学生回答，进一步追问.）
问题一：如果我们使用测角仪测量出了1
∠呢？
∠的大小，能否得出塔身的倾斜度2
为什么？
问题二：如果想得到塔身与地面所成角中最大的角3
∠的度数，能行吗？为什么？
二、形成概念
师：在刚才的问题解决过程中，我们用到了两个角的和分别是90︒，180︒，于是定义：
如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．
如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．
三、辨析概念
师：请一名同学为大家朗读定义，并重读关键词．
（辨析概念中的两个关键词“两个角”、“互为”）
动手操作：请同学们用手中的剪刀和纸质的三角板，通过“剪——移——拼”的过程，探究直角三角形两锐角之间的关系．
（通过学生动手操作，内化余角的定义，感知余角定义的实质，为学生类比理解补角定义打下基础．）
对余角定义的辨析：①“两个角”，“互为”；②是从“数量”关系进行定义；③︒↔-︒．
x x
(90)
(学生类比完成对补角定义的辨析)
四、应用概念
小试身手：下列各角哪些互为余角，哪些互为补角？
①②③④⑤⑥⑦⑧
五、探究活动一
以同桌为一组，将手中的三角板△AOB，△COD的直角顶点O重合在一起.
①观察猜想：如图放置，度量1
∠，你发现了什么？
∠与2
②操作验证：请甲同学旋转△COD，乙同学观察1
∠的大小变化，①中的结论还
∠与2
成立吗？
③推理论证：请用所学知识论证你的发现．
证明：1390
∠+∠=︒
∠+∠=︒
2390
∴∠=︒-∠=∠
19032
12
∴∠=∠（等量代换）
（请一名学生板书证明过程，教师批注．）
师：你能用一句话归纳刚才的发现吗？ 余角的性质 同角（或等角）的余角相等．
小试身手：
1．已知△ABC 中， 90ACB ∠=︒，CD AB ⊥，试找出下图中相等的锐角，并说明依据．
合情推理：
A ∠与1∠为同一个角2∠的余角，据余角的性质得1A ∠=∠；
B ∠与2∠为同一个角1∠的余角，据余角的性质得2B ∠=∠；
（教师协助、点评“小老师”的讲解）
2． 已知,,DA AB CB AB ⊥⊥点O 是线段AB 上一点，DO CO ⊥，试找出图中相等的锐角，并说明依据．
合情推理：
12180DOC ∠+∠+∠=︒
1∴∠与2∠互余，
又2∠与C ∠
1C ∴∠=∠
(同角的余角相等)
同理1∠与D ∠
2D ∴∠=∠
(同角的余角相等)
问：刚才的寻找等角过程中，我们用到了哪些知识？
通过类比，我们得到补角的性质：
同角（或等角）的补角相等．
七、应用拓展
例1 若一个角的补角等于它的余角的4
倍，求这个角的度数．
解： 设这个角是x °，则它的补角是（ 180-x ）°,余角是(90-x )°
根据题意得：
（180-x ）= 4 (90-x )
解得： x =60
答：这个角的度数是60°.
例2 如图，直线AB 与CD 相交于点O ， E 是AOD ∠内一点，已知OE AB ⊥,
45
∠=︒，则COE
∠=135︒．
BOD
思路：
∠的余角．
∠是DOB
∠是EOD
COE
∠的补角，EOD
变式如图，已知直线AB、CD相交与点O，OA平分EOC
∠，
⊥，则FOD
∠内一点，且OF AB
∠=55︒.
70
EOC
∠=︒，点F是EOD
（“小老师”讲解，教师点评，并归纳）
【习得】求一个角可以通过转化为求其余角、补角来完成．
八、总结提升
1．我学到了哪些知识？
✓余角、补角的定义及性质；
✓它们定义的方式分别从“数量”与“位置”关系进行；
✓求解一个角常常转化成它的余角、补角来达成．
2．今后我可以采取怎样的方法学习几何概念？
形成概念——辨析概念——应用概念
3.本节课渗透了哪些数学思想方法？
从“特殊”到“一般”、类比、化归
4. 作业布置：
《名校课堂》相应部分（分层：A，B组）
（A层全班同学完成，B层是部分同学完成）
5．挑战自我：
请任意作出一个三角形，在其中添加一条线段构造出互余、互补的角，并写出它们．板书设计：
六、【课后反思】
根据教学经历和学生反馈，本堂课教学设计操作性强，效果良好.课堂中学生通过概念辨析教学，对余角、补角的概念理解较深入，能辨别三个角和为180°与补角概念之间的区别．通过探究活动得出性质让学生对性质的掌握更为牢固，而范例及变式的训练使学生对化归的数学思想方法理解更为深入，逐步形成多种方法解决问题的习惯，并能规范解题．综合以上情况，我对本课的教学设计有如下反思：
（1）突出学生动手操作，合作探究
根据新课程课堂教学活动的基本理念:“教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识和技能，数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验”，因此，我在本课教学设计中突出了学生的动手操作，自主探索，鼓励学生积极参与互动交流，教学设计中对余角定义的辨析、余角性质的探索．每个活动的展开是通过一个个问题串的设置实现的，整堂课创造了一个适合学生探索的环境，通过不同的途径引导其自主探索，形成了较好的数学学习经验．
（2）注重数学思想的渗透
本课的设计注重渗透了从“特殊”到“一般”、类比和化归的数学思想与方法．课堂中，余角性质与补角性质之间的关系，探究余角性质由有限的度量过渡到任意时刻结论是否成立，拓展应用中角之间的转化都充分体现了这些数学思想方法的渗透．
（3）遵循概念学习规律
本课的设计特别强调学生对概念的学习规律，遵循“引入概念——形成概念——辨析概念——应用概念”的认知过程，利用视频中蕴藏的数学知识引入概念，形成初步感知，通过学生朗读概念、动手操作内化概念，小试身手应用概念等环节达成对概念的深入理解．
（4）注重学生体验，培养良好习惯。