x' x x
y'
y
y
z ' z z
x' 1 0 0 x x
y'
0
1
0
y
y
z' 0 0 1 z z
1
0 0 0
1
1
a′=Trans(Δx, Δy, Δz)a
4
平移算子
A
1 0 0 x
Tran(sx,y,z) 0 1 0 y 0 0 1 z
0 0 0
1
❖ ① 算子左乘: 表示点的平移是相对固定坐标系进行的坐标变换。 ❖ ② 算子右乘: 表示点的平移是相对动坐标系进行的坐标变换。 ❖ ③ 该公式亦适用于坐标系的平移变换、 物体的平移变换, 如机
相对于固定坐标系
算子左乘
相对于动坐标系
算子右乘
11
A
❖ 已知坐标系中点U的位置矢量 u7321，T 将此点绕Z轴
旋转90°，再绕Y轴旋转90°，如图所示，求旋转变换后 所得的点W。
W R o t(Y ,9 0 )R o t(Z ,9 0 )U
0 0 1 0 0 1 0 0 7
0
1
0
0 1
0 0 0 3
若手臂绕Z0轴旋转90°，则手臂 到达G2；若手臂不动，仅手部绕 手腕Z1轴转90°，则手部到达 G3.写出手部坐标系G2、G3表达 式。
9
A
10
A
3．复合齐次变换
复合变换是由固 定参考坐标系或 当前运动坐标系 的一系列沿轴平 移和绕轴旋转变 换所组成的。任 何变换都可以分 解为按一定顺序 的一组平移和旋 转变换。
oz 0
az 0
pz 1
2
A
变换可定义为空间的一个运动。
已知一直角坐标系中的某点坐标，那么该点在另一直角坐标系中的
坐标可通过齐次坐标变换来求得。
变换可分为如下形式： 纯平移 纯旋转 平移与旋转的结合
3
A
❖ 1.平移的齐次变换
❖ 空间某一点在直角坐标系中的平移,由 A(x, y, z)平移至A′(x′, y′, z′), 即
x' x cos y sin
y'
x sin
y
cos
z' z
x' cos sin 0 0 x
y' sin cos 0 0 y
z' 0
0 1 0 z
1
0
0 0 1 1
记为: a′=Rot(z, θ)a
7
旋转算子
A
绕Z轴旋转算子内容为：
cos sin 0 0
Ro(tz,) sin cos 0 0
求逆问题可以描述为：已知 ABT ，求解 BAT 。 •对4*4矩阵直接求逆；
•利用齐次变换矩阵的特点，简化矩阵求逆运算。
ABT BA0R Ap1B0
BAT AB0R B p1A0
利用旋转矩阵正交性 B AR1BART
利用复合变换公式(2.13) ,求出 A pB0 在{B}中描述。
18
A
B (A pB 0) A B R A pB 0 B pA 00
机器人学基础
——齐次变换矩阵及其运算
LOGO
齐次变换矩阵及其运算
由于各种原因，变换矩 阵应写成方型形式，3*3 或4*4均可.
为保证所表示的矩阵为 方阵，如果在同一矩阵 中既表示姿态又表示位 置，那么可在矩阵中加 入比例因子使之成为4*4 矩阵。
nx ox ax px
F
n
Байду номын сангаас
y
oy
ay
p
y
nz 0
1 0 0 0 0 0 1 0 2
0
0
0
1 0
0 0 1 1
12
A
❖ 平移变换和旋转变换可以组合在一个齐次变换中。上例 中点U若还要作4i-3j+7k的平移，则只要左乘上平移变换 算子即可得到最后的列阵表达式。
E Tr (4 , a 3 ,7 )R n(y s ,o 9)R t0 (z ,o 9)u t0
ABT
表示坐标系{C}从
B C
T
映射为 CAT
的变换。
(2)坐标系{C}相对于{A}的描述 CAT 是这样得到的：最初{C}
与{A}重合，首先相对于{A}作运动 ABT ，到达{B},然后相
对{B}作运动
B C
T
，到达最终位置{C}。
17
A
5.变换矩阵求逆
如果知道坐标系｛B｝相对于｛A｝的描述。希望得到｛A｝相对 于｛B｝的描述，这是个齐次变换求逆问题。
BpA 0A B R A pB 0B A R TA pB 0
从而定义复合变换
。
CATABTCBT
表示｛C｝相对于｛A｝的描述，是两变换矩阵的乘积。
注意：变换矩阵相乘不满足“交换律”，变换矩阵的左乘 和右乘的运动解释不同。
16
A
C A TA BTC B TB A 0 R Ap 1B0C B 0 R Bp 1C0
复合变换可解释为：
(1) A C
T
和
B C
T
分别代表同一坐标系{C}相对于{A}和{B}的描述。则
0
0
0 1
0 1 0 0
A' 1 0 0 3 0 0 1 3
0
0
0 1
0 1 0 1
A'' 1 0
0
2
0 0 1 1
0 0 0 1
6
A
❖ 2．旋转的齐次变换
❖ 点在空间直角坐标系中的旋转如图所示。A(x, y, z)绕Z轴旋 转θ角后至A’(x’, y’, z’),则A与A’之间的关系为 ：
器人手部的平移变换。
5
A
❖ 例 动坐标系{A}相对于固定坐标系的X0、Y0、Z0轴作
❖ (-1,2,2)平移后到{A’}；动坐标系{A}相对于自身坐标系(即动系) 的X、Y、Z轴分别作(-1,2,2)平移后到{A’’}。已知A,写出坐标系 {A’}、 {A’’}
0 1 0 1
A
1
0
0 0
0 1 1 1
0
0 1 0
0
0 0 1
同理，绕x轴、Y轴旋转算子内容为：
1 0
0 0
cos 0 sin 0
Rot(x,) 0
0
cos sin
sin cos
0 0
Ro(ty,)
0
sin
1 0
0
cos
0 0
0 0
0 1
0
0 0 1
8
A
如图所示单操作手臂，并且手腕 也具有一个旋转自由度。已知手 部的起始位姿矩阵为G1.
x
y
z
1
c os
Ro(tz,) sin
0
0
sin c os
0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
15
A
CATABTCBT
4．变换矩阵相乘
对于给定的坐标系｛A｝、｛B｝、｛C｝，已知｛B｝相对
｛A｝的描述为 ABT
，｛C｝相对｛B｝的描述为
B C
T
，则
B pCBTCp
ApA BTBpA BTC BTCp
13
A
14
A
齐次变换矩阵
A B
T
的数学意义：
（1）同一点在不同坐标系{B}和{A}中的变换；
（2）描述坐标系{B}相对于坐标系{A}的位置和方位；
（3）点的运动算子。
ApABTBp
0 0 1 1
ABT
1 0
0 1
0 0
3 4
0 0 0
1
1 Tran(sx,y,z) 0
0 0
00 10 01 00