若 O 是 ∆ABC 的重心，则 S 3∆ABC故 OA + OB + OC = 0若 O 是 ∆ABC (非直角三角形)的垂心，则 S ： ： S ：S： ：| AB | - + AC ) ， λ ∈ [0,+∞ ) 则 P 点的轨迹一 ... . ..三角形“四心”向量形式的充要条件应用在学习了《平面向量》一章的基础内容之后，学生们通过课堂例题以及课后习题陆续接触了有关三角 形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件。

现归纳总结如下：一．知识点总结1）O 是 ∆ABC 的重心 ⇔ OA + OB + OC = 0 ;= S = SS ∆BOC ∆AOC PG = 1 ( P A + PB + PC ) ⇔ G 为 ∆ABC 的重心.3;2）O 是 ∆ABC 的垂心 ⇔ OA ⋅ OB = OB ⋅ OC = OC ⋅ OA ：S ：S ∆BOC∆AOC;∆AOB= tan A tan B tan C故 tan AOA + tan BOB + tan COC = 03）O 是 ∆ABC 的外心 ⇔ | OA |=| OB |=| OC | (或 OA 2= OB 2= OC 2)若 O 是 ∆ABC 的外心则∆BOC：S∆AOC∆AOB= sin ∠BOC sin ∠AOC sin ∠AOB = sin2A : sin2B : sin2C故 sin 2AOA + sin 2BOB + sin 2COC = 0 4）O 是内心 ∆ABC 的充要条件是OA ⋅ (AB AC AC ) = OB ⋅ ( BA | BA | - BC | BC | ) = OC ⋅ ( CA | CA | - CB | CB | ) = 0引进单位向量，使条件变得更简洁。

如果记AB,BC,CA 的单位向量为 e 1 ,e 2 ,e 3 ，则刚才 O 是 ∆ABC内心的充要条件可以写成： OA ⋅ (e 1 + e 3 ) = OB ⋅ (e 1 + e 2 ) = OC ⋅ (e 2 + e 3 ) = 0 O 是 ∆ABC 内心的充要条件也可以是 aOA + bOB + cOC = 0若 O 是 ∆ABC 的内心，则 S ：S ∆BOC ：S ∆AOC∆AOB = a ：b ：c故 aOA + bOB + cOC = 0或 sin AOA + sin BOB + sin COC = 0;| AB | PC + | BC | P A + | CA | PB = 0 ⇔ P ∆ABC 的内心;向量 λ( AB + AC )(λ ≠ 0) 所在直线过 ∆ABC 的内心(是 ∠BAC 的角平分线所在直线)；| AB | | AC |二．范例(一)．将平面向量与三角形内心结合考查例 1．O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动AB点 P 满足 OP = OA + λ (ABAC定通过 ∆ABC 的（ ）Be1Ae2C（A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心解析：因为AB是向量 AB 的单位向量设 AB 与 AC 方向上的单PAB位向量分别为 e 和 e ， 又 OP - OA = AP ，则原式可化为 AP = λ (e + e ) ，由菱形的基本性质知 AP 1212平分 ∠BAC ，那么在 ∆ABC 中，AP 平分 ∠BAC ，则知选 B.学习参考⇔ PG = (P A + PB + PC) .由此可得 PG = (P A + PB + PC) .（反之亦然（证略））... . ..点评：这道题给人的印象当然是“新颖、陌生”，首先AB是什么？没见过！想想，一个非零向量除AB以它的模不就是单位向量？ 此题所用的都必须是简单的基本知识，如向量的加减法、向量的基本定理、 菱形的基本性质、角平分线的性质等，若十分熟悉，又能迅速地将它们迁移到一起，解这道题一点问题也 没有。

(二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”例 2． H 是△ABC 所在平面内任一点， HA ⋅ HB = HB ⋅ HC = HC ⋅ HA ⇔ 点 H 是△ABC 的垂心.由 HA ⋅ HB = HB ⋅ HC ⇔ HB ⋅ ( H C - HA) = 0 ⇔ HB ⋅ AC = 0 ⇔ HB ⊥ AC ,同理 HC ⊥ AB ， HA ⊥ BC .故 H 是△ABC 的垂心. （反之亦然（证略））例 3.(湖南)P 是△ABC 所在平面上一点，若 P A ⋅ PB = PB ⋅ PC = PC ⋅ P A ，则 P 是△ABC 的（D ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 解析:由 P A ⋅ PB = PB ⋅ PC 得 P A ⋅ PB - PB ⋅ PC = 0 .即 PB ⋅ (P A - PC) = 0,即PB ⋅ CA = 0 则 PB ⊥ CA,同理P A ⊥ BC , PC ⊥ AB所以 P 为 ∆ABC 的垂心. 故选 D.点评：本题考查平面向量有关运算，及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”、三角形垂心定义等相关 知识.将三角形垂心的定义与平面向量有关运算及“数量积为零，则两向量所在直线垂直” 等相关知识巧 妙结合。

(三)将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”例 4． G 是△ABC 所在平面内一点， GA + GB + GC =0 ⇔ 点 G 是△ABC 的重心. 证明 作图如右，图中 GB + GC = GE连结 BE 和 CE ，则 CE=GB ，BE=GC ⇔ BGCE 为平行四边形 ⇒ D 是 BC的中点，AD 为 BC 边上的中线.将 GB + GC = GE 代入 GA + GB + GC =0， 得 GA + EG =0 ⇒ GA = -GE = -2GD ，故 G 是△ABC 的重心.（反之亦然（证略））例 5 ． P 是 △ ABC 所 在 平 面 内 任 一 点 .G 是 △ ABC 的 重 心13证明PG = P A + AG = PB + BG = PC + CG ⇒ 3PG = ( AG + BG + CG ) + (P A + PB + PC )∵G 是△ABC 的重心∴ GA + GB + GC =0 ⇒ AG + BG + CG =0，即 3PG = P A + PB + PC 1 3例 6 若 O 为 ∆ABC 内一点， OA + OB + OC = 0 ，则 O 是 ∆ABC 的（ ） A ．内心 B ．外心 C ．垂 心 D ．重心解析：由 OA + OB + OC = 0 得 OB + OC = -OA ，如图以 OB 、OC 为相邻两边构作平行1四边形，则 OB + OC = OD ，由平行四边形性质知 OE = OD ， OA = 2 OE ，同理2可证其它两边上的这个性质，所以是重心，选 D 。

点评：本题需要扎实的平面几何知识，平行四边形的对角线互相平分及 三角形重心性AOB EDC质：重心是三角形中线的内分点，所分这比为 λ = 2 1。

本题在解题的过程中将平面向量的有关运算与平行四边形的对角线互相平分及三角形重心性质等相关知识巧妙结合。

(四)．将平面向量与三角形外心结合考查学习参考2x x + x y x y 2 2 2 2 2x C(x 2,y 2)2 Q ∴ A H = (x , y )， = ( 2 - 1 , 2 - y ) 2 2 2 y 2 2 2 2 y 2∴QH = (x - 1 , y - y ) =（2 22y 21... ...例 7 若 O 为 ∆ABC 内一点， OA = OB = OC ，则 O 是 ∆ABC 的（）A ．内心B ．外心C ．垂心D ．重心 解析：由向量模的定义知 O 到 ∆ABC 的三顶点距离相等。

故 O 是 ∆ABC 的外心 ，选 B 。

点评：本题将平面向量模的定义与三角形外心的定义及性质等相关知识巧妙结合。

(五)将平面向量与三角形四心结合考查例 8．已知向量 OP ， OP ， OP 满足条件 OP + OP + OP =0，| OP |=| OP |=| OP |=1，1 2 3 1 2 3 1 2 3求证 △P 1P 2P 3 是正三角形.（《数学》第一册（下），复习参考题五 B 组第 6 题） 证明 由已知 OP + OP =- OP ，两边平方得 OP · OP = - 123121 2，同理 OP · OP = OP · OP = - 1，2331∴| P 1 P 2 |=| P 2 P 3 |=| P 3 P 1 |= 3 ，从而 △P 1P 2P 3 是正三角形.反之，若点 O 是正三角形 △P 1P 2P 3 的中心，则显然有 OP 1 + OP 2 + OP 3 =0 且| OP 1 |=| OP 2 |=| OP 3 |.即 O 是△ABC 所在平面内一点，OP 1 + OP + OP 3 =0 且| OP 1 |=| OP 2 |=| OP 3 | ⇔ 点 O 是正 △P 1P 2P 3 的中心. 例 9．在△2ABC 中，已知 Q 、G 、H 分别是三角形的外心、重心、垂心。

求证：Q 、G 、H 三点共线，且 QG:GH=1:2。

【证明】：以 A 为原点，AB 所在的直线为 x 轴，建立如图所示的直角坐标系。

设 A(0,0)、B （x 1,0）、 C(x 2,y 2)，D 、E 、F 分别为 AB 、BC 、AC 的中点，则有：D （ 1 ,0)、E ( 1 2 , 2 )、F ( 2 , 2 )y由题设可设 （ 1 , y )、H (x , y ) ,3 2 4x + x yG ( 1 2 , 2 )3 32 4 3QFx x yFGHEBC = (x - x , y )212QxAH ⊥ BC∴ A H • BC = x (x - x ) + y y = 02 2 1 2 4∴ y = - x 2 (x 2 - x 1 )4 2QF ⊥ ACx x y ∴QF • AC = x (2 - 1 ) +y ( 2 - y ) = 0 22 3A DB(x 1,0)x (x- x )y ∴ y = 2 2 + 232 x 2x - x3x (x - x ) y 21 , -2 2 1 - 2 )2432学习参考2 - y ) =（3 2 3 6 32y2求证 OG = OH 证明 按重心定理 G 是△ABC 的重心 ⇔ OG = (OA + OB + OC)由此可得 OG = OH .；CA ＝ O C∴QG = ( . .. . ..x + x x y 2x - x y x (x - x ) y2 1 - 1 , 2 1 , 2 - 2 2 1 - 2 )3 2= ( 2x - x 3x (x - x ) y 1 2x - x 3x (x - x ) y 2 1 , - 2 2 1 - 2 ) = ( 2 1 , - 2 2 1 - 2 )6 6y 6 3 2 2y 22 21= QH 3即QH =3QG ，故 Q 、G 、H 三点共线，且 QG ：GH =1：2【注】：本例如果用平面几何知识、向量的代数运算和几何运算处理，都相当麻烦，而借用向量的坐标形式，将向量的运算完全化为代数运算，这样就将“形”和“数”紧密地结合在一起，从而，很多对称、 共线、共点、垂直等问题的证明，都可转化为熟练的代数运算的论证。