本文发表于中国数学会主办的《数学通报》2010年第12期三角形“四心”的向量特征及应用浙江省上虞市春晖中学 林国夫（邮编：312353）翻阅近几年各省的竞赛、模拟和高考试题，笔者发现有关三角形的“四心”（即重心，垂心，内心和外心）的向量特征的试题频频出现.考虑到比较熟悉的三角形的重心的向量形式0=++GC GB GA 具有很好的完美性,出于兴趣,笔者对三角形的其余“三心”的向量特征进行了探究，得到了类似于重心的优美的向量表达式,并撰此拙文供读者参考.1 三角形重心的向量特征定理1 已知为G ABC Δ的重心,记CGA BGC AGB ΔΔΔ,,的面积为,,,CGA BGC AGB S S S ΔΔΔ则=++,且.CGA BGC AGB S S S ΔΔΔ==证明 如图1,为的重心,为边上的中线,则G ABC ΔAD BC 32= )(31)(2132+=+×=.即)(31−+−=−. 故0=++GC GB GA .由于3:1)32(:22:2::=×===ΔΔΔΔAD AG S S S S ABD AGB ABC AGB .即ABC AGB S S ΔΔ=31,同理ABC BGC S S ΔΔ=31,ABC CGA S S ΔΔ=31, 故.CGA BGC AGB S S S ΔΔΔ==说明 我们还可以得到更进一步的结果: (1)为G ABC Δ的重心的充要条件为=++.(2)与+共线.并可以得到下面一个有用的推论.推论1 已知是不共线三点,点是平面内一点,且C B A ,,P ABC PB PA 21λλ+3λ+=, 其中0321≠⋅⋅λλλ.记CPA BPC APB ΔΔΔ,,:||:|2的面积为则,,,CPA BPC APB S S S ΔΔΔCPA BPC S S ΔΔ:|APB S Δ|:|13λλλ=. 证明 如图2，记PC PC PB PB PA PA 3'2'1',,λλλ===,根据定理1可知,点P 是的重心,且'''C B A Δ1:1:1::''''''=ΔΔΔPA C PC B PB A S S S .由于)''sin ''21(:)sin 21(:''PB A PB PA APB PB PA S S PB A APB ∠⋅⋅∠⋅⋅=ΔΔ ||||1'21'λλ⋅=⋅=PB PB PA PA ,即||||21''λλ⋅=ΔΔPB A APB S S ,同理||||32''λλ⋅=ΔΔPC B BPC S S ,||||13''λλ⋅=ΔΔPA C CPA S S ,故||||:||||::32''21''λλλλ⋅⋅=ΔΔΔΔΔPC B PB A CPA BPC APB S S S S S ||||:13''λλ⋅ΔPA C S ||:||:||213λλλ=. 说明 该推论多次出现在高中数学联赛试题中,如2006年高中数学联赛吉林省预赛第11题和陕西省预赛第5题,2008年高中数学联赛江苏省预赛第8题.例1（2006年全国高中数学联赛陕西省预赛）设点P 为ABC Δ内一点，且5152+=. 则ABP Δ的面积与ABC Δ的面积之比等于____________.解 由于5152+=,则)(51)(52−+−=−,即 22=++,根据推论1得, 2:2:1::=ΔΔΔCPA BPC APB S S S ,故. 5:1:=ΔΔABC ABP S S 2 三角形垂心的向量特征引理 已知H 为ABC Δ的垂心,则存在实数λ,使得)cos cos (B c C b ⋅+⋅=λ.其中为中所对的边.c b ,ABC ΔC B ∠,∠证明 如图3设==,,则−=.设(x +)⊥,则0cos )1()1()()(2222=⋅−++−=⋅−++−=−⋅+A bc x xb c x x x . 则Cb Bc C ab B ac c b a b c a a c b b a c b c A bc b A bc c x cos cos cos 2cos 2)(21)(21cos cos 2222222222222222⋅⋅=⋅⋅=−+−+=−+−−+−=⋅−⋅−=, 则)cos cos (C b B c ⋅⋅+⊥，即B c C b ⊥⋅+⋅)cos cos (. 故与B c C b cos cos ⋅+⋅共线,则存在实数λ,使得)cos cos (AC B c AB C b AH ⋅+⋅=λ.例2 已知O 是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足AB C ，，P cos cos AB AC OP OA B AC C λ⎛⎞⎜=++⎜⎟⎝⎠u AB ⎟uu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，(0)λ∈+∞，，则动点的轨迹一定通过△的 P ABC _________.(填重心,垂心,内心,外心)解 由cos cos AB AC OP OA AB B AC C λ⎛⎞⎜⎟=++⎜⎟⎝⎠uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ,则cos ||cos ||(C AC B AB ⋅+⋅=λ,由于B c C b cos cos ⋅+⋅C AC B AB cos ||cos ||⋅⋅共线,根据上述引理,得⊥,动点的轨迹一定通过的垂心.P ABC △定理2 已知H 为非直角的垂心,记ABC ΔCHA BHC AHB ΔΔΔ,,的面积为 ,,,CHA BHC AHB S S S ΔΔΔ则tan tan tan =++C B A ,且|tan |:|tan |::A C S S S CHA BHC AHB =ΔΔΔ|tan :|B . 证明 根据引理,)cos cos (AC B c AB C b AH ⋅+⋅=λ……………………①. 同理]cos )cos cos [(]cos cos [A c A c C a C a A c ⋅+⋅−⋅−=⋅+⋅=μμ. 则A c A c C a cos )cos cos 1(⋅+⋅−⋅−=+=μμμ…………………②. 根据平面向量基本定理,在同一组基底,下同一个向量表示唯一,则⎩⎨⎧⋅⋅=⋅⋅⋅−⋅−=⋅⋅A c B c A c C a C b cos cos cos cos 1cos μλμμλ , 解得bA C a CB c B A A ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=cos cos cos cos cos cos cos λ. bA C a CB c B A bC A ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=cos cos cos cos cos cos cos cos 则 bA C a CB c B A c B A ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+cos cos cos cos cos cos cos cos . 又HA HC AC HAHB AB −=−=，,代入上式化简得 cos cos cos cos cos cos =⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅B A c C A b C B a ,再由正弦定理即得cos cos sin cos cos sin cos cos sin =⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅B A C C A B C B A . 即tan tan tan =++C B A .根据推论1得,CHA BHC AHB S S S ΔΔΔ::|tan |:|tan |:|tan |B A C =.说明 我们还可以得到更进一步的结果: (1)H 为非直角ABC Δ的垂心的充要条件为tan tan tan =++C B A .(2) C AC B AB cos ||cos ||⋅+⋅共线.例3 (2006年武汉高三模拟试题)设H 为ABC Δ的垂心,6,5===BC AC AB ,若n m +=,求实数的值.n m +解 由题易得34tan tan ,724tan ===C B A ,根据定理2得 03434724=++HC HB HA ,另一方面n m +=,即 0)()()1(=−+−+−HC n HB m n HA m ,从而nm n m 34)(34)1(724−=−=−,解得 327,3214==n m ,故3221=+n m . 3 三角形内心的向量特征定理3 已知I 为ABC Δ的内心,记CIA BIC AIB ΔΔΔ,,的面积为,,,CIA BIC AIB S S S ΔΔΔ则=++c b a ,且b a c S S S CIA BIC AIB ::::=ΔΔΔ.证明 如图4，与bAC c AB +共线,则存在实数λ,使得 )(AC c AB b AI +=λ,同理存在实数μ,使得AC c AB c a BC c BA a BI μμμμ+−−=+=)()(. 则c c a μμμ+−−=+=)1(.根据平面向量基本定理得,得⎩⎨⎧=−−=c c c a b μλμμλ1c b a ++=1λ. 则cb ac c b a b +++++=.又−=−=,代入此式得 0=++IC c IB b IA a .根据推论1, 即得b a c S S S CIA BIC AIB ::::=ΔΔΔ.说明 我们还可以得到更进一步的结果: I 为ABC Δ的内心的充要条件为=++c b a . 例4 设I 为的内心,ABC Δ6,4,3===BC AC AB ,若n m +=,求实数的值. n m , 解 由题设条件和定理3得,0346=++IC IB IA .另一方面由BC n AB m AI +=得)()()1(=−+−+−n m n m ,从而有3461n m n m −=−=−,解得133,137==n m . 4 三角形外心的向量特征 定理4 已知为O ABC Δ的外心,记COA BOC AOB ΔΔΔ,,的面积为,,,COA BOC AOB S S S ΔΔΔ则2sin 2sin 2sin =++C B A 且|2sin |:|2sin |::A C S S S COA BOC AOB =ΔΔ|2sin :|B .证明 如图5设分别是中边上的中点，根据引理，得F E ,ABC ΔAC BC ,)cos cos (),cos cos (BA C a BC A c FO AB C b AC B c EO ⋅+⋅=⋅+⋅=μλ, 则)cos cos (2121C b B c ⋅+⋅++=+=λ B c C b )cos 21()cos 21(⋅++⋅+=λλ. 另一方面 )cos cos (21BA C a BC A c AC FO AF AO ⋅+⋅+=+=μ AC A c AB A c C a )cos 21()cos cos (⋅++⋅−⋅−=μμμ. 根据平面向量基本定理得⎪⎩⎪⎨⎧⋅+=⋅+⋅−⋅−=⋅+A c B c Ac C a C b cos 21cos 21cos cos cos 21μλμμλ. 解得bA C a CB c B A A ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅−=cos cos cos cos cos cos cos 21λ,代入①式得 则+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅=b A C a C Bc B A a C B c B A )cos cos cos cos cos (cos 2cos cos cos cos AC b A C a C B c B A b A C a C B )cos cos cos cos cos (cos 2cos cos cos cos ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅. 又OA OC AC OA OB AB −=−=,代入化简得)cos cos sin cos cos (sin )cos cos sin cos cos (sin )cos cos sin cos cos (sin =⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅OC C A B C B A B A C C B A B A C C A B 即2sin 2sin 2sin =++C B A .又根据推论1得|2sin |:|2sin |:|2sin |::B A C S S S COA BOC AOB =ΔΔ.说明 我们还可以得到更进一步的结果:为O ABC Δ的外心的充要条件为 2sin 2sin 2sin =++C B A .例5 设为的外心,O ABC Δ6,5===BC AC AB ,若n m +=,求实数的值. n m , 解 根据定理4得02sin 2sin 2sin =++OC C OB B OA A ,鉴于ABC Δ为非直角三角形,此式子 等于)tan (tan )tan (tan )tan (tan .易得=+++++B A C A C B34tan tan ,724tan ===C B A ,则0252514=++OC OB OA ,另一方面AB m AO =, n +,则)()()1(=−+−+−n m n m ,从而2525141n m n m −=−=−,解得6425,3225==n m . 由此我们得到了三角形“四心”的向量特征，根据这些结果我们就可以比较方便地去探究 三角形“四心”之间的相互关系，便得到下面两个推论.推论2 已知分别是非直角△ABC 的外心和垂心,则H O ,OC OB OA OH ++=.证明 由于H 为ABC Δ的垂心,则根据定理2,得0tan tan tan =++HC C HB B HA A ,则)(tan )(tan )(tan =−+−+−C B A ,即OB CB A B OAC B A A OH tan tan tan tan tan tan tan tan +++++= CB AC tan tan tan tan +++. 又由于C B A B CB A A )1tan tan tan tan ()1tan tan tan tan (−+++−++C B A C )1tan tan tan tan (−+++C A C B CB A )tan (tan )tan [(tan tan tan tan 1+++++= ])tan (tan OC B A ++OA A CB AC B A 2(sin cos cos cos 21tan tan tan 1⋅⋅⋅++= )2sin 2sin OC C OB B ++.又O 为的外心,由定理4,得ABC Δ2sin 2sin 2sin =++C B A . 故CB AC C B A B C B A A tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan ++++++++= OC OB OA ++=.说明 结合图6,该推论也可以比较简便地利用几何关系证明.该推论是2005年全国卷I 第15题. 推论3 已知O 、G 、H 分别是非直角△ABC 的外心、重心、垂心,则OH OG 31=. 证明 由推论1 得OC OB OA OH ++=,另一方面,由定理1,G 为△ABC 的重心得=++,则 )()()(=−+−+−,即)(31OC OB OA OG ++=.故OH OG 31=. 说明 该推论事实上就是著名的“欧拉定理”的向量形式：非直角三角形的重心在其垂心和外心的连线上(该线段称为欧拉线)，且重心到垂心的距离等于重心到外心距离的2倍.参考文献:[1] 卢琼.平面向量基本定理的面积表示及其应用.数学通讯,2007(1).。