导数 压轴题训练1．（2014 湖南）. 22．（2014 湖南）..已知常数0a >,函数()()2ln 12xf x ax x =+-+. (1)讨论()f x 在区间()0,+∞上的单调性;(2)若()f x 存在两个极值点12,x x ,且()()120f x f x +>,求a 的取值范围.【答案】(1)详见解析 【解析】解:(1)对函数()f x 求导可得()()24'12a f x ax x =-++()()()()2224112a x ax ax x +-+=++()()()224112ax a ax x --=++,因为()()2120ax x ++>,所以当10a -≤时,即1a ≥时,()'0f x ≥恒成立,则函数()f x 在()0,+∞单调递增,当1a ≤时,()()21'0a a f x x -=⇒=±,则函数()f x 在区间()210,a a ⎛⎫- ⎪ ⎝⎭单调递减,在()21a a ⎛⎫- ⎪+∞⎪⎝⎭单调递增的.(2) 解:(1)对函数()f x 求导可得()()24'12a f x ax x =-++()()()()2224112a x ax ax x +-+=++()()()224112ax a ax x --=++,因为()()2120ax x ++>,所以当10a -≤时,即1a ≥时,()'0f x ≥恒成立,则函数()f x 在()0,+∞单调递增,当1a <时,()()21'0a a f x x a-=⇒=±,则函数()f x 在区间()210,a a a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭单调递减,在()21a a ⎫-⎪+∞⎪⎝⎭单调递增的.2.（20）（2014江苏）（本小题满分14分）已知函数x f x xae aR ，x R .已知函数y f x有两个零点12,x x ，且12x x .（Ⅰ）求a 的取值范围； （Ⅱ）证明21x x 随着a 的减小而增大；（Ⅲ）证明 12x x 随着a 的减小而增大.（2014四川卷）21（2014四川卷）．已知函数2()1x f x e ax bx =---，其中,a b R ∈，2.71828e =为自然对数的底数。
（1）设()g x 是函数()f x 的导函数，求函数()g x 在区间[0,1]上的最小值；（2）若(1)0f =，函数()f x 在区间(0,1)内有零点，求a 的取值范围解：（1）因为2()1x f x e ax bx =--- 所以()()2x g x f x e ax b '==-- 又()2x g x e a '=-因为[0,1]x ∈，1xe e ≤≤ 所以：①若12a≤，则21a ≤，()20xg x e a '=-≥， 所以函数()g x 在区间[0,1]上单增，min ()(0)1g x g b ==-②若122ea <<，则12a e <<， 于是当0ln(2)x a <<时()20x g x e a '=-<，当ln(2)1a x <<时()20x g x e a '=->，所以函数()g x 在区间[0,ln(2)]a 上单减，在区间[ln(2),1]a 上单增，min ()[ln(2)]22ln(2)g x g a a a a b ==--③若2e a≥，则2a e ≥，()20xg x e a '=-≤ 所以函数()g x 在区间[0,1]上单减，min ()(1)2g x g e a b ==--综上：()g x 在区间[0,1]上的最小值为min 11,,21()22ln(2),,222,,2b a e g x a a a b a e e a b a ⎧-≤⎪⎪⎪=--<<⎨⎪⎪--≥⎪⎩（2）由(1)0f =⇒10e a b ---=⇒1b e a =--，又(0)0f =若函数()f x 在区间(0,1)内有零点，则函数()f x 在区间(0,1)内至少有三个单调区间由（1）知当12a ≤或2ea ≥时，函数()g x 即()f x '在区间[0,1]上单调，不可能满足“函数()f x 在区间(0,1)内至少有三个单调区间”这一要求。
若122ea <<，则min ()22ln(2)32ln(2)1g x a a ab a a a e =--=--- 令3()ln 12h x x x x e =---（1x e <<） 则1()ln 2h x x '=-。
由1()ln 02h x x x '=->⇒< 所以()h x在区间上单增，在区间)e 上单减max ()110h x h e e ==--=--<即min ()0g x <恒成立 于是，函数()f x 在区间(0,1)内至少有三个单调区间⇔(0)20(1)10g e a g a =-+>⎧⎨=-+>⎩21a e a >-⎧⇒⎨<⎩又122ea << 所以21e a -<< 综上，a 的取值范围为(2,1)e -3.（2014陕西卷）.（本小题满分14分）设函数()ln(1),()'(),0f x x g x xf x x =+=≥，其中'()f x 是()f x 的导函数.11()(),()(()),n n g x g x g x g g x n N ++==∈，求()n g x 的表达式；（2）若()()f x ag x ≥恒成立，求实数a 的取值范围；（3）设n N +∈，比较(1)(2)()g g g n +++与()n f n -的大小，并加以证明.21.4.【2014年重庆卷（理20）】已知函数22()(,,)xx f x aebe cx a b c R -=--∈的导函数'()f x 为偶函数，且曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线的斜率为4c -. （1）确定,a b 的值；（2）若3c =，判断()f x 的单调性；（3）若()f x 有极值，求c的取值范围.解：（1）22'()22xx f x aebe c -=+-，由'()'()f x f x -=恒成立知：222242222(22)(22)0x x x x x ae be c ae be c a b e b a --+-=+-⇒-+-≡，故a b =另外'(0)2242f a b c c a b =+-=-⇒+= 联立解出1a b ==（2）此时222'()2232()10xx x x f x ee e e --=+-=-+>，故()f x 单调递增。
（3）等价于22'()220x xf x e ec -=+-=有非最值解，设20x t e =>，则等价于 方程22t c t+=在0t >时有非最值解，由双钩函数知：22[4,)t t +∈+∞所以4c >，故c 的取值范围为(4,)+∞5.（2014山东）.( 本小题满分13分）设函数())ln 2(2x xk x e x f x +-=（k 为常数， 2.71828e =是自然对数的底数） （I ）当0k≤时，求函数()f x 的单调区间；（II ）若函数()f x 在()0,2内存在两个极值点，求k 的取值范围。
()()()）。
的取值范围为（综上则）令（单调递增。
时，当单调递减；时，当则令时，当）解：（2,:1ln 0ln ln 2022,0)2(01)0(,01)0(ln ,)(2)(),2()()2,0(2,0)(0e 0,kx 0k )0())(2()12(2)(12ln 222''''x 3242'e e e ek k k k e k g e k k e g k e g g k g kx k e k e x g kx e x g x f x x f x x x f kx x xkx e x xx k x xe x e x f k x x x xx x >∴>∴<-=<∴>-=>-=>=<-===∴-=-=+∞∈∈∴==>-∴≤≤>--=+---⋅=6..（ 2014年课标I ） (本小题满分12分)设函数1(0ln x xbe f x ae x x-=+，曲线()y f x =在点（1，(1)f ）处的切线为(1)2y e x =-+. （I ）求,a b ； （Ⅱ）证明：()1f x >.请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。
注意：只能做所选定的题目。
如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑。
．【解析】(Ⅰ) 设(),0Fc ，由条件知2233c =，得3c = 又3c a =，所以a=2，2221b a c =-= ,故E 的方程2214x y +=. ……….6分（Ⅱ）依题意当l x ⊥轴不合题意，故设直线l ：2y kx =-，设()()1122,,,P x y Q x y将2y kx =-代入2214x y +=，得()221416120k x kx +-+=，当216(43)0k ∆=->，即234k >时，21,22824314k k x k ±-=+ 从而2221224143114k k PQ k x x k +-=+-=+又点O 到直线PQ 的距离21d k =+，所以∆OPQ 的面积214432OPQk S d PQ ∆-== ，243k t -=，则0t >，244144OPQ t S t t t∆==≤++， 当且仅当2t=，7k =±0∆>，所以当∆OPQ 的面积最大时，l 的方程为：72y x =- 或72y x =-. …………………………12分.。