三垂线定理
三垂线定理
在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条 斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。
已知 PO、PA分别
是平面的垂线、斜 线，OA是PA在平面
上的射影。a ，
a⊥OA。
求证： a⊥PA
P
O
Aa
三垂线定理： 在平面
P
内的一条直线，如果和这个平
面的一条斜线的射影垂直，那
么，它就和这条斜线垂直。
判断下列命题的真假：
D1
⑴若a是平面α的斜线，直线b垂直于
a在平面α内的射影，则 a⊥b （ ×）
A1
C1 B1
⑵若 a是平面α的斜线，平面β内
的直线b垂直于a在平面α内的射
影，则 a⊥b
（ ×） D
C
⑶若a是平面α的斜线，直线b α
且b垂直ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱa在另一平面β内的射
A
B
影则a⊥b
（× ） 面ABCD →面α
三垂线定理的逆理：
在平面内的一条直线，如果和 这个平面的一条斜线垂直，那 么，它也和这条斜线的射影垂 直。
线射垂直
P
P
D1
C1
A
D
O
A
B
C
(1)
(2)
A1 C
D
B1 C
MA
B
B
(3)
(1) PA⊥正方形ABCD所在平 面，O为对角线BD的中点， 求证：PO⊥BD，PC⊥BD
证明: ∵ABCD为正方形 O为BD的中点
P
A
O B
D C
∴ AO⊥BD
PO⊥BD 又AO是PO在ABCD上的射影
同理，AC⊥BD AC是PC在ABCD上的射影 PC⊥BD
题 直线垂直的判定定理， 回 这两条直线可以是：
顾 ①相交直线
②异面直线
e dc
αA
Ob a
注意：如果将定理中 例如：当 b⊥ 时，
“在平面内”的条件
b⊥OA
解 去掉，结论仍然成立 吗？
但 b不垂直于OP
题
P
b
回 顾
直线a 在一定要在 平面内，如果 a 不
在平面内，定理就 不一定成立。
Oa
αA
练习：
⑷若a是平面α的斜线,b∥α,直线
b垂直于a在平面α内的射影，
则 a⊥b
（√
） 面直直面直 直面直直A线线线线BA线线B1ABBBAACAB11CC1BDCB11CDCBC→→→→1→→→→斜垂面斜斜垂面面线线α线线线αβ abaab
三垂线定理包含几种垂直关系？
①线面垂直 ②线射垂直 ③ 线斜垂直
O
PO⊥
1 a
PO ⊥a OA⊥a 2
Aa
证明：
a⊥平面PAO
PA平面PAO
a⊥PA
3
三垂线定理
Ⅴ. 三垂线定理及其逆定理：
三垂线定理：在平面内的一条直线，a
如
果
和
这
个平面
的
一
条斜
线
的
射
影垂直
，PA
a
PO
那 么 它 也 和 这 条 斜 线 垂直.
a OA
三垂线逆定理：在平面内的一条直线，a
如果
和
这
个
平
面
的一
条斜
线
垂
直
，
那
么
PA
a
OA
它 也 和 这 条 斜 线 的 射 影垂 直.
a PO
例1 已知P 是平面ABC 外一点， PA⊥平面 ABC ，AC ⊥ BC， 求证： PC ⊥ BC
P 证明：∵ P 是平面ABC 外一点
PA⊥平面ABC ∴PC是平面ABC的斜线 ∴ ∵ABCC是 平PC面在A平BC面且ABACC上⊥的B射C 影A ∴由三垂线定理得
P
P
P
A Oa
A Oa
A Oa
α
α
α
直线和 平面垂直
平面内的直线 和平面一条斜 线的射影垂直
平面内的直线 和平面的一条 斜线垂直
三垂线定理的逆定理
线射垂直 P
？ P 线斜垂直
A Oa α
平面内的一条直线和 平面的一条斜线在平 面内的射影垂直
A Oa α
平面内的一条直 线和平面的一条 斜线垂直
三垂线定理的逆定理
成30角，PA 底面ABCD.
PE
(1)若AE PD于E，求证：BE PD;
G
(2)求异面直线AE、CD所成角的大小. A H
D
B
C
三垂线定理
例4. A为二面角－CD－ 的棱CD上一点，AB在平
面内且与棱CD成45º角，又AB与平面 成30º，求二
面角－CD－ 的大小。
C AO
B
D
解：作BC于C，连结AC 过C作COCD于O，连结OB
PC ⊥ BC
O
B
C
例2 直接利用三垂线定理证明下列各题：
(1) 已知：PA⊥正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点 求证：PO⊥BD，PC⊥BD
(2) 已知：PA⊥平面PBC，PB=PC，M是BC的中点， 求证：BC⊥AM
(3) 已知：在正方体AC1中，求证：A1C⊥B1D1，A1C⊥BC1
P
(2) 已知：PA⊥平面PBC，PB=PC，
M是BC的中点，
求证：BC⊥AM 证明: ∵ PB=PC
M是BC的中点
PM ⊥BC
∵PA⊥平面PBC
C A
M B
BC⊥AM
∴PM是AM在平面PBC上的射影
D1 (3) 在正方体AC1中，
求证：A1C⊥BC1 ， A1C⊥B1D1 A1
证明：∵在正方体AC1中
D
A1B1⊥面BCC1B1且BC1 ⊥B1C A
∴B1C是A1C在面BCC1B1上的射影 D1
由三垂线定理知 A1C⊥BC1
同理可证， A1C⊥B1D1
A1 D
A
C1 B1
C B
C1 B1
C B
三垂线定理
例3.如图，在四棱锥P ABCD的底面ABCD是直角梯形，
BAD 90，AD // BC, AB BC a, AD 2a, PD与底面
C
由三垂线定理可得： BOCD
则 ∠BOC是二面角 CD 的 平面角
设AO =a 在RtAOB中，BO=a, AB= 2a
在RtACB中，BAC= 30º, AB=
2a, BC=
2 2
a
在RtBCO中，sin ∠BOC= BC 2
OB 2
∴所求二面角的大小为45º
我们要学会从纷繁的已知条件中找出 或者创造出符合三垂线定理的条件 ，怎么找？
在平面内的一条直线，如果和这个平面的一 条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。
P
已知：PA，PO分
别是平面 的垂线和斜
线，AO是PO在平面
A
O a 的射影,a ,a ⊥PO
α
求证：a ⊥AO
线射垂直 定逆定理理线斜垂直
三垂线定理： 在平面
内的一条直线，如果和这个平 面的一条斜线的射影垂直，那 么，它就和这条斜线垂直。
P
解 题
α
A
Oa
回
顾 A1
C1 B1
C B
AO a α
PP
C A
M B
三垂线定理解题的关键：找三垂！
怎么找？
解 题
一找直线和平面垂直
P
回 顾
二找平面的斜线在平面 内的射影和平面内的 一条直线垂直
α
A Oa
注意：由一垂、二垂直接得出第三垂 并不是三垂都作为已知条件
使用三垂线定理还应注意些什么？
解 三垂线定理是平面 的一条斜线与平面内的 P