第一章量子力学的诞生1、1设质量为m 的粒子在谐振子势2221)(x m x V ω=中运动,用量子化条件求粒子能量E 的可能取值。
提示:利用 )]([2,,2,1,x V E m p n nh x d p -===⋅⎰Λ )(x V解:能量为E 的粒子在谐振子势中的活动范围为 a x ≤ (1) 其中a 由下式决定:2221)(a m x V E a x ω===。
a - 0 a x 由此得 2/2ωm E a =, (2)a x ±=即为粒子运动的转折点。
有量子化条件h n a m a m dx x a m dx x m E m dx p aaaa==⋅=-=-=⋅⎰⎰⎰+-+-222222222)21(22πωπωωω得ωωπm nm nh a η22==(3) 代入(2),解出 Λη,3,2,1,==n n E n ω (4)积分公式:c au a u a u du u a ++-=-⎰arcsin 22222221、2设粒子限制在长、宽、高分别为c b a ,,的箱内运动,试用量子化条件求粒子能量的可能取值。
解:除了与箱壁碰撞外,粒子在箱内作自由运动。
假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发,则碰撞为弹性碰撞。
动量大小不改变,仅方向反向。
选箱的长、宽、高三个方向为z y x ,,轴方向,把粒子沿z y x ,,轴三个方向的运动分开处理。
利用量子化条件,对于x 方向,有()⎰==⋅Λ,3,2,1,x x xn h n dx p即 h n a p x x =⋅2 (a 2:一来一回为一个周期)a h n p x x 2/=∴,同理可得, b h n p y y 2/=, c h n p z z 2/=,Λ,3,2,1,,=z y x n n n粒子能量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++=222222222222)(21c n b n a n mp p p m E zy x z y x n n n zy x ηπ Λ,3,2,1,,=z y x n n n1、3设一个平面转子的转动惯量为I ,求能量的可能取值。
提示:利用,,2,1,20Λ==⎰n nh d p πϕϕ ϕp 就是平面转子的角动量。
转子的能量I p E 2/2ϕ=。
解:平面转子的转角(角位移)记为ϕ。
它的角动量.ϕϕI p =(广义动量),ϕp 就是运动惯量。
按量子化条件Λ,3,2,1,220===⎰m mh p dx p ϕπϕπmh p =∴ϕ,因而平面转子的能量I m I p E m 2/2/222η==ϕ,Λ,3,2,1=m1、4有一带电荷e 质量m 的粒子在平面内运动,垂直于平面方向磁场就是B,求粒子能量允许值、(解)带电粒子在匀强磁场中作匀速圆周运动,设圆半径就是r ,线速度就是v ,用高斯制单位,洛伦兹与向心力平衡条件就是:rmv c Bev 2= (1) 又利用量子化条件,令=p 电荷角动量 =q 转角ϕnh mrv mrvd pdq ===⎰⎰πϕπ220(2)即 nh mrv = (3) 由(1)(2)求得电荷动能=mcnBe mv 2212η= 再求运动电荷在磁场中的磁势能,按电磁学通电导体在磁场中的势能=c B r ev c c *****2π==场强线圈面积电流场强磁矩,v 就是电荷的旋转频率, rvv π2=,代入前式得运动电荷的磁势能=mcnBe 2η (符号就是正的) 点电荷的总能量=动能+磁势能=E=mcnBe 2η ( 3,2,1=n )1、5,1、6未找到答案1、7(1)试用Fermat 最小光程原理导出光的折射定律αα2211sin sin n n =(2)光的波动论的拥护者曾向光的微粒论者提出下述非难: 如认为光就是粒子,则其运动遵守最小作用量原理⎰=0pdl δ 认为mv p =则⎰=0pdl δ这将导得下述折射定律αα1331sin sin n n =这明显违反实验事实,即使考虑相对论效应,则对自由粒子:2c Evp =仍就成立,E 就是粒子能量,从一种媒质到另一种媒质E 仍不变,仍有⎰=0pdl δ,您怎样解决矛盾？(解)甲法:光线在同一均匀媒质中依直线传播,因此自定点A 到定点B 的路径就是两段直线:光程QB AQ I n n 21+=设A,B 到界面距离就是a,b(都就是常量)有αα2211sec sec b a I n n +=又AB 沿界面的投影c 也就是常数,因而α1,α2存在约束条件:c btg atg =+αα21 (2)求(1)的变分,而将α1,α2瞧作能独立变化的,有以下极值条件0sec sec 22221111=+=ααααααδd tg b tg a I n d n (3)再求(2)的变分 0sec sec 222112==+c d b a d δαααα(3)与(4)消去α1d与α2d 得αα2211sin sin n n = (5)[乙法]见同一图,取x 为变分参数,取0为原点,则有: )(222221x c b x a I n n-+++=求此式变分,令之为零,有: 0)()(222221=-+--+=x c b xx c xa xx I n n δδδ这个式子从图中几何关系得知,就就是(5)、(2)按前述论点光若瞧作微粒则粒子速度v 应等于光波的群速度vG光程原理作0=⎰dl v Gδ,依前题相速vvGpc 2=,而cn c vvpG==2,n 就是折射率,n 就是波前阵面更引起的,而波阵面速度则就是相速度v p ,这样最小作用量原理仍可以化成最小光程原理、⎰=0ndl δ前一非难就是将光子的传播速度v 瞧作相速度vp的误解、1、8对高速运动的粒子(静质量m )的能量与动量由下式给出:2221c v mc E -=(1)2221c v mv p -=(2)试根据哈密顿量 2242p c c m E H +== (3)及正则方程式来检验以上二式、由此得出粒子速度与德布罗意的群速度相等的关系、计算速度并证明它大于光速、(解)根据(3)式来组成哈氏正则方程式组:pqiiH ∂∂=⋅,本题中v q i=⋅,p pi=,因而224222242pc c m p c p c c m pv +=+∂∂= (4)从前式解出p (用v 表示)即得到(2)、又若将(2)代入(3),就可得到(1)式、 其次求粒子速度v 与它的物质波的群速度vG间的关系、运用德氏的假设: k p η=于(3)式右方, 又用ωη=E 于(3)式左方,遍除h :)(22242k k c c m ωω=+=η按照波包理论,波包群速度vG就是角频率丢波数的一阶导数:22242k c c m kv G +∂∂=η =22422222422pc c m p c k c cm kc +=+η最后一式按照(4)式等于粒子速度v ,因而v vG=。
又按一般的波动理论,波的相速度vG就是由下式规定kv p ωυλ== (υ就是频率)利用(5)式得知c c kc m vp>+=22242η (6) 故相速度(物质波的)应当超过光速。
最后找出vG与vp的关系,将(1)(2)相除,再运用德氏波假设:v Gc v c k p E 22===ηηω, vvGpc 2=(7)补充:1、1设质量为m 的粒子在一维无限深势阱中运动,⎩⎨⎧<<><∞=a x ax x x V 0,0,0,)( 试用de Broglie 的驻波条件,求粒子能量的可能取值。
解:据驻波条件,有 ),3,2,1(2Λ=⋅=n n a λn a /2=∴λ (1)又据de Broglie 关系λ/h p = (2)而能量()Ληη,3,2,12422/2/2222222222==⋅===n ma n a m n h m m p E πλ (3)[1] 试用量子化条件,求谐振子的能量[谐振子势能2221)(x m x V ω=] (解)(甲法)可以用Wilson-Sommerfeld 的量子化条件式:⎰=nh pdq在量子化条件中,令⋅=x m p 为振子动量,x q = 为振子坐标,设总能量E则 22222x m m P E ω+= )2(222x m E m p ω-= 代入公式得:nh dx x m E m =-⎰)2(222ω量子化条件的积分指一个周期内的位移,可瞧作振幅OA 的四倍,要决定振幅a ,注意在A 或B 点动能为0,2221a m E ω=,(1)改写为: nh dx x a m aa=-⎰-222ω (2)积分得:nh a m =πω2遍乘πω21得 ωπωηn h E ==2[乙法]也就是利用量子化条件,大积分变量用时间t 而不用位移x ,按题意振动角频率为ω,直接写出位移x ,用t 的项表示:t a x q ωsin ==求微分:tdt a dx dq ωωcos == (4) 求积分:t ma x m p ωωcos ==⋅(5) 将(4)(5)代量子化条件:nh tdt ma pdq T==⎰⎰0222cos ωω T 就是振动周期,T=ωπ2,求出积分,得nh a m =πω2 ωπωηn n h E ==23,2,1=n 正整数 #[2]用量子化条件,求限制在箱内运动的粒子的能量,箱的长宽高分别为.,,c b a(解)三维问题,有三个独立量子化条件,可设想粒子有三个分运动,每一分运动就是自由运动、设粒子与器壁作弹性碰撞,则每碰一次时,与此壁正交方向的分动量变号(如p pxx-→),其余分动量不变,设想粒子从某一分运动完成一个周期,此周期中动量与位移同时变号,量子化条件:pp n q p xax xxxa dx h d 220===⎰⎰ (1) pp n q pyby y y ybdy h d 22===⎰⎰ (2)pp n q p zcz z z zc dz hd 22===⎰⎰(3)p p p zyx,,都就是常数,总动量平方222z y x p p p p ++=总能量就是:)(2122222z y x p p p mm p E ++===])2()2()2[(21222ch b h a h m n n n z y x ++ =])()()[(82222cb a m h n n n z y x ++ 但3,2,1,,=n n n z y x 正整数、#[3] 平面转子的转动惯量为I ,求能量允许值、(解)解释题意:平面转子就是个转动体,它的位置由一坐标(例如转角ϕ)决定,它的运动就是一种刚体的平面平行运动、例如双原子分子的旋转、按刚体力学,转子的角动量I ω,但⋅=ϕω就是角速度,能量就是221ωI =E利用量子化条件,将p 理解成为角动量,q 理解成转角ϕ,一个周期内的运动理解成旋转一周,则有nh d pdq =I =I =⎰⎰ωπϕωπ220(1)(1) 说明ω就是量子化的(2)I=I =ηn nh πω2 (3,2,1=n ……、、) (2) (3) 代入能量公式,得能量量子化公式:I=I I =I =2)(2212222ηηn n E ω (3)#。