0 /2
3/2
-1
y=tanx
2、正切函数的奇偶性、对称性
奇函数,正切曲线关于原点 O 对称. 正切函数的对称中心为：（k ,0）（k Z）
2
3、正切函数的单调性
正切函数在每个开区间 k , k k Z
2
2
内都是增函数.
(1)正切函数是整个定义域上的增函数吗？为什么？ (2)正切函数会不会在某一区间内是减函数？为什么？
2 所以，正切函数是奇函数。
1、正切函数的作图
(1).列表
x 2
34
6
0
6
4
3
y 不存在 3
1
3 3
03 3
1
3
(2).描点
y
3
1
3
3
0 2
34
6
3 3
6
4
32
1
3
2 不存在
x
由正切函数的周期性，把图象向左、向右扩展，得到正切函数 的图象，称为正切曲线
y
1
x
-3/2 - -/2
右延伸、平移。
（2）y tan x 性质:
定义域
值 周 奇 单调增区间 域 期偶
性
对称中 心
R
x
x
k
2
，k
Z
奇 函 数
k
，k
2
2
k ，0
2
kZ
kZ
12 2
12 2
12 12
．
习题1：求函数 f (x) tan(2x 3 ) 的定义域、周期、单调区间
4
解：(1)令z 2x 3 ，根据正切函数的性质 有，z k , k Z,则有2x 3 k
4
2
42
即是x 5 k , k Z.函数的定义域是 {x x 5 k , k Z}
1、正切Z ）
2
那么角α的终边与单位圆交于点P（a,b)，唯一确定的比值
b a
的终边
y
P(a,b) 1
根据函数的定义，比值 b 是角α的函数，
a
o 图1 M
x
我们把它叫作角α的正切函数，记作:
y
tan 其中α∈R,（
2
k , k Z）
2、正切函数、余弦函数的作图方法
y
1-
-
-1
o
6
3
2
2 3
5 6
7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
2
x
-1 -
对任意的 x R,且x k , k Z 都有
f x tanx
tan
2
x
f
x
∴ y tan x 是周期函数，周期是
tan(x) tan x, x R, x k , k Z
y
tan 42 tan 37,
tan 42 tan 37,
x
–/2
0
/2
tan138 tan143
变2：利用正切函数的单调性比较下列两个正切值的大小。
(1) tan(13 )与tan(17 )
4
5
解：
–/2
tan( 13 ) tan 13 tan(3 ) tan
4
4
4
4
tan(17 ) tan 17 tan(3 2 ) tan 2
5
5
5
5
y
tan tan 2 ,
4
5
0
x /2
tan tan 2 ,
4
5
tan( 13 ) tan( 17 )
4
5
例3：观察正切曲线，写出满足下列条件的x的值的范围。 tanx >0
y
x
–/2
0 /2
（k，k+/2） kz
变3：观察正切曲线，写出满足下列条件的x的值的范围。
1 tan x 0
y
1
x
–/2
0 /4 /2
（k–/2，k+/4] kz
习题4
画出函数 y tan x 的图像，并根据
图像判断其单调区间、奇偶性、周期性
1、正切函数的作图是利用平移正切线得到的，当我们
获得上
2
，
2
图象后，再利用周期性把该段图象向左
4
2
2
2
42
得 k x 5 k ,所以函数f (x)的单调递减区间为( k , 5 k ),无递增区间
82
82
8
8
例2：利用正切函数的单调性比较下列两个正切值的大小。
tan138与tan143
解：
tan138 tan(180 42) tan 42
tan143 tan(180 37) tan 37
3
3
f (x T ) tan[(2x T ) ] tan(2x 2T )，2T ,T
3
3
2
（3）令z 2x ， y tan z在（ k , k )上单调递增， k 2x k
3
2
2
2
32
得 k x 5 k ,所以函数f (x)的单调递增区间为( k , 5 k ),无递减区间
例1．求函数 y tan(2x )的定义域、周期和单调区间。
3
解：(1)令z 2x ，根据正切函数的性质 有，z k , k Z ,则有2x k
3
2
32
即是x 5 k , k Z.函数的定义域是 {x x 5 k , k Z}
12 2
12 2
（2）f (x) tan(2x ) tan(2x )，设函数f (x)的周期为T，则有f (x) f (x T )
82
82
（2）f (x) tan(2x 3 ) tan(2x 3 )，设函数f (x)的周期为T，则有f (x) f (x T )
4
4
f (x T ) tan[(2x T ) 3 ] tan(2x 3 2T )，2T ,T
4
4
2
（3）令z 2x 3 ， y tan z在（ k , k )上单调递减， k 2x 3 k