(平面应力) (7-3)
(平面应变)
式中，sys为材料的屈服应力，为泊松比。 对于金属材料，0.3，这表明平面应变情况下裂
尖塑性区比平面应力时小得多。
7
当=0时(在x轴上)，裂纹附近区域的应力分布及裂 纹线上的塑性区尺寸如图。
虚线为弹性解，r0，sy。
sy H
由于sy>sys，裂尖处材料屈服，
塑性区尺寸为rp。
； xy =0
5
sx =s y =s
a 2r
=
K1
2p r
； xy =0
对于平面问题，还有： yz=zx=0；
sz=0 sz=(sx+sy)
则裂纹线上任一点的主应力为：
平面应力 平面应变
s1 =s 2 =
K1
2p r
；
s3=20 K1/
2p r
平面应力 平面应变
塑性力学中，von Mises屈服条件为：
=
1.32 502 1.21 5002 3.14
=
0.00347m
=
3.47mm
2) 断裂临界状态有： K1=1.1sQc p a = K1c
Q是sc Q 2= 1 + 1.47(0.1)1.64- 0.212( sc / 600 )2 的函数： =1.034- 0.212( sc / 600 )2
(7-5)
裂纹线上(=0)的应力sy为：
sy
H
s y = sys
r2rp；
sys A B C
r
D
sy=
K1
2p r’
= K1
r2rp；
r'
o o'
a rp rp
K x
2p (r -rp)
15
16
考虑塑性修正后有：
K1 =l K 1 ；
l
=[1+
1
2a
(ssys)2]1/2
l>1，故考虑塑性修正后应力强度因子增大。
b服as，ed在o弹n a塑n性ela材st料ic 中cra却ck不t能ip承
sys
B A
s受ol。uti为on了. W承h受en这y些iel力din，g塑oc性cu区rs,
D K
s尺tr寸ess必m需us增t r大ed。istribute in order
o rp
x
to satisfy equilibrium.
无限大体中半椭圆表面裂纹最深处处于平面应变状
态，故由(7-4)式知：
rp=
4
1
2p
(sKy1s
)2
18
19
例7.2 某大尺寸厚板含一表面裂纹，受远场拉应力s 作用。材料的屈服应力为sys=600MPa, 断裂韧 性K1c=50MPam1/2，试估计：
1) s=500MPa时的临界裂纹深ac。 (设a/c=0.5) 2) a/c=0.1，a=5mm时的临界断裂应力sc；
R为：
R=
1 p
(
K1 s ys
)
2
=2rp
11
依据上述分析，并考虑到平面应变时三轴应力作 用的影响，Irwin给出的塑性区尺寸R为：
R=2
rp
=
1 ap
(sKy1s
)2
a = 1 2 2
(平面应力) (平面应变)
(7-4)
上式指出：
裂纹尖端的塑性区尺寸R 与(K1/sys)成正比；
平面应变时的裂尖塑性区尺寸约为平面应力 情况的1/3。
第七章 弹塑性断裂力学简介
7.1 裂纹尖端的小范围屈服 7.2 裂纹尖端张开位移 7.3 COD测试与弹塑性断裂控制设计
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1
第七章 弹塑性断裂力学简介
线弹性断裂力学 (LEFM )
用线弹性材料物理模型，按照弹性力学方法，研究 含裂纹弹性体内的应力分布，给出描述裂纹尖端应 力场强弱的应力强度因子K，并由此建立裂纹扩展 的临界条件, 处理工程问题。
s而tra，in在s is极as限su情me况d t下o e，qu二al 维zer假o (设pla是ne正st确res的s a，nd
p或la者ne至str少ain提re供sp了ect一ive个ly)很. 好的近似。
In ge断ne裂ra力l, t学he中co的nd大it部ion分s 经ah典ead解o都f a将c问ra题ck减ar化e 为 n二ei维th的er。pl即an主e s应tre力ss或no主r应pla变n中e s至tra少in有, b一ut个ar被e 假设 t为hr零ee，-d分im别en为sio平na面l. 应Th力er或e a平re面, h应ow变ev。er, limiting cases where a two dimensional assumption is valid,
线弹性断裂力学预测裂纹尖端应力无穷大。然而 在实际材料中，由于裂尖半径必定为有限值，故 裂尖应力也是有限的。非弹性的材料变形，如金 属的塑性，将使裂尖应力进一步松弛。
3
7.1 裂纹尖端的小范围屈服
1. 裂尖屈服区
无限大板中裂纹尖端附近任一点(r,)处的正应力
sx、sy和剪应力xy的线弹性解为：s
sx=s 2arcos2[1- sin2sin32] sy=s 2arcos2 [1+sin2sin32] (5-1)
学
xy=s
2axry，sin2
cos 2
co态s3 2
计 算 主 应 力
s
屈 服 准
裂 端纹 屈y 尖 服dsyy
xy sx
(5区-1)域2a的r
dx
x
纹线上屈服区域的大小。
在裂纹线上(=0)，注意到 K = s pa ，有；
sx =s y =s
a 2r
=
K1
2p r
E(k)
a
则：
s
2 c
=
1.034 K12c
1.21p a
=
1.034
1.21p
250 0.005
=13600
sc = 116.6 MPa
不考虑屈服，将给出偏危险的预测。
22
一般地说，只要裂尖塑性区尺寸rp与裂纹尺寸a相比 是很小的(a/rp=20-50)，即可认为满足小范围屈服条 件，线弹性断裂力学就可以得到有效的应用。
解： 1)无限大体中半椭圆表面裂纹最深处的K最大， 考虑小范围屈服，在发生断裂的临界状态有：
K1=1.1sQp ac = K1c ；
a
c=
Q 2K12c
1.21s 2p
Q 2= 1 + 1.47(0.5)1.64- 0.212(500 / 600 )2 = 1.32
20
故得到：
ac=
Q2K12c 1.21s 2p
则裂纹尖端的线弹性解恰好就 o o'
x
是曲线CD。
a rp rp
a+rp称为有效裂纹长度，用a+ rp代替a，由原来的 线弹性断裂力学结果可直接给出考虑Irwin塑性修
正的解答。即有： K1=s p (a + rp)
(7-5)
14
考虑Irwin塑性修正后，裂尖应力强度因子K为：
K1=s p (a + rp)
y
sy xy
dy
sx
r
dx
2a
x
xy=s 2arsin2 cos2 cos32
s
当r0时，s ，必然要发生屈服。 因此，有必要了解裂尖的屈服及其对K的影响。
4
线s弹x=s 2裂arc尖os附2[1近- sin2一sin点32]
性断 裂sy力=s
2任 的arcs一oxs、点2 [s1处+ysin2的力sin应状32]
(s1 -s 2 )2 + (s 2 - s 3 )2 + (s 3- s1)2=2 sy2s
6
将各主应力代入Mises屈服条件，得到：
K1 / 2p rp = s ys (1- 2)K1/ 2prp = s ys
(平面应力) (平面应变)
故塑性屈服区尺寸rp为：
rp=
1 2p
(
sKy1s)2
rp = 21p(sKy1s)2(1-2)2
17
3. 小范围屈服时表面裂纹的K修正
无限大体中半椭圆表面裂纹最深处的应力强度因子为：
K1=
Mfs p
E(k)
a
前表面修正系数通常取为Mf=1.1； E(k)是第二类完全椭圆积分。
考虑裂尖屈服，按Irwin塑性修正， 1.1s 用a+ rp代替原裂纹尺寸a，故有： K1=
p(a + rp)
E(k)
K x
下的面积相等。
aR
由于曲线CD与BK下的面积是相等的，故只须AC下
的面积等于曲线HB下的面积即可。
10
于是得到：
sy
H
rp
R s ys
= 0
s
y (x)dx
sys
BC A
D
注意到式中：sy=K1 / 2p r ,
K
平面应力时：r p =
1
2p
(
K1 s ys
)2
o rp aR
x
积分后得到，平面应力情况下裂尖的塑性区尺寸
将断裂判据式二边平方， 再将Q2代入，得： 1.21sc2 p a = K12c [1.034- 0.212( sc / sys )2]
21
即有：
sc2
=
1.21p
1.034 K12c a+0.212(K1c/sys)2
=12622.8
sc = 112.4 MPa
讨论：若不考虑屈服，有：
K1=