21高等数学强化课●武忠祥老师的强化班课程笔记●武忠祥老师的强化班课程●函数极限连续●函数●基本要素：定义域，对应规则●函数形态●单调性判定●定义●导数，●单调性应用●根的个数●证明不等式●奇偶性判定●定义●可导●原函数奇函数>导函数偶函数●原函数偶函数>导函数奇函数●连续●周期性判定●定义●可导的周期函数其导函数是周期函数●周期函数的原函数不一定为周期函数●f(x)连续且以T为周期●周期函数的原函数是周期函数的充要条件是在一个周期上的积分为0●有界性判定●定义●闭区间连续●开区间连续，左端点右极限和右端点左极限存在●导数●极限●概念●数列极限●极限值等于多少与数列前有限项无关●与项数无关●函数极限●趋于无穷●趋于有限值●极限存在与该点无关，只与该点的去心领域有关●分左右极限求●分段函数在分段处极限，两侧极限不一样●特殊函数●2●性质●局部有界性●保号性注意等号●与无穷小之间的关系●极限存在准则●夹逼●单调有界●单调有界函数一定有极限，单增上有界、单减下有界●无穷小●比较●性质●无穷大●常用无穷大比较指幂对（大到小）●无穷大与无界变量●与无穷小互为倒数●求极限方法●有理运算法则●基本极限●等价无穷小●常用●积分情况●代换原则●乘除直接换●加减有条件减不为正 1 ，加不为－1●洛必达●泰勒公式●常用●夹逼●积分定义：先提取可爱因子再确定被积函数和积分区间●单调有界●函数极限题型●0/0 0比0型●拉格朗日中值定理●加减 x 来凑常用等价无穷小●无穷 / 无穷●洛必达●分子分母同时除以分子分母各项中最高阶的无穷大●无穷—无穷●0 · 无穷●1 的无穷次方●无穷的0次方，0的无穷次方●数列极限●不定式●和求函数极限式一样，但是不可以直接使用洛必达法则，在可以使用洛必达的地方，将数列极限写成函数极限，再使用洛必达极限●n 项和的数列极限●夹逼定理●定积分定义●级数求和●常用结论●n 项连乘的数列极限●夹逼●取对数化为n项和●递推关系●数列存在单调性●收敛（单调有界准则） > 令极限取A > 带回递推关系取极限得到A●数列不具有单调性或者单调性很难判定●先令极限为A，带回递推关系得到A的值，最后再证明极限为A●单调性判定（直接，比值，函数）●无穷小量阶的比较●洛必达●等价无穷小●泰勒公式●常用结论及举例●连续●连续●间断点●连续函数的性质●连续题型●讨论连续性及间断点类型●函数连续不代表可以取到整个实域的所有值●如果题目中间是抽象函数，只给了条件，没给具体函数，可以将函数令为简单的函数来排除选项，如函数等于1，|x|等●间断点多为使得分母为0的点，分段函数的分界点，多注意无穷（正负），0点●介值定理，最值定理，零点定理证明●一元函数微分●导数微分●导数定义●等价形式●注意分段函数●微分定义●连续、可导、可微之间的关系●求导公式●求导法则●有理运算法则●复合函数求导●隐函数求导●反函数求导●参数方程求导●高阶导数●对数求导法则●多个因式的乘除、乘幂构成，或者幂指函数的形式，可以先取对数再求导●●题型：导数与微分的概念●利用导数定义求极限●利用导数定义求导数●分段函数在分界点处的导数一般都要用定义求●利用导数定义判定可导性●导数几何意义●导数与微分计算●复合函数求导●导数与奇偶性●复合函数在一点的导数值●乘积的极限不一定等于极限的乘积，当两个极限都存在的时候才可以●高阶导数●公式●一阶二阶之后归纳●泰勒公式和泰勒级数●导数应用●微分中值定理●罗尔定理●拉格朗日定理 ---建立函数在区间上的变化与该区间内一点导数的关系●柯西定理●泰勒定理（拉格朗日余项）●极值最值●极值的必要条件●极值的充分条件●第一充分条件●第二充分条件●第三充分条件●凹向拐点●判定●必要条件●充分条件●渐近线●水平渐近线●垂直渐近线●斜渐近线●方程的根的存在性及个数●方法●注意把函数化到一边来求零点●将含有参数的式子参数分离出来●罗尔定理●证明函数不等式●方式方法●单调性●最大最小值●拉格朗日定理●泰勒公式●凹凸性●注意以及常用基本不等式●不等式●微分中值定理有关的证明题●证明存在一个点●构造辅助函数 P 82●证明存在两个中值点 p 85●方法●证明存在一个中值点 p 87●带拉格朗日余项的泰勒公式●一元函数积分●不定积分●原函数●原函数的存在性●f（x）在区间连续，有原函数●有第一类间断点，f（x）没有原函数●基本公式●公式●积分法●第一类换元法●第二类换元法●分部积分●定积分●概念●与积分变量无关●可积性●必要条件存在必有界●充分条件●连续必存在●有界，有限个间断点必存在●有限个第一类间断点必存在●计算●方法●奇偶性和周期性●公式 sin cos 公式注意上下限●变上限积分 p 105●公式●变上限积分函数及其应用●连续性●可导性●奇偶性●处理变上限积分有关极限问题方法●洛必达法则●等价无穷小代换●积分中值定理●图像●性质●不等式●大小●积分中值定理●广义积分中值定理●积分不等式问题●变量代换●积分中值定理●变上限积分●柯西积分不等式●反常积分●定义●无界函数●常用结论●定积分应用●平面图形面积●空间体体积●计算●曲线弧长●计算就是计算 d s●旋转体侧面积●常微分方程●一阶●齐次●线性方程●全微分方程●可降阶的高阶方程●形式●高阶线性微分方程●解的结构●定理一●定理二●定理三●定理四●常系数齐次线性微分方程●二阶常系数线性齐次微分方程解的形式●常系数非齐次线性微分方程●求特解●一●二●多元函数微分●●重极限●任意方式趋近时，函数都是一个值才可以，否则极限不存在●y = k x y = x x (x的方)●求重极限●连续●性质●偏导数●定义●代表斜率●二阶偏导数连续●全微分●定义非常重要●等价●注意，这个ρ 的高阶无穷小是关于ρ 的函数，但是里面的ρ 一般最低是 1 次方（此时需要刚好为0值），是高次方的时候直接使用●可微性判定●可微推出偏导数存在●偏导数连续推出可微●可微推出偏导数存在偏导数连续推出可微●计算●连续、可导、可微关系●偏导数与全微分计算●复合函数求导●全微分形式不变●隐函数求导●极值最值●无条件极值●定义对任意p（x,y）●必要条件存在偏导，且点就是极值点●充分条件领域内有二阶连续偏导，一阶导为0●二元函数在偏导数不存在的点也可能取得极值●条件极值二元函数的条件极值转换为三元函数的无条件极值计算●二重积分●二重积分概念●几何意义积分域D为底，曲面 z=f(x,y) 为曲顶的曲顶柱体的体积●二重积分性质●不等式性质●函数之间的关系●最大最小值●绝对值●二重积分计算●直角坐标●先 y 后 x●先 x 后 y●极坐标●极坐标计算●适合极坐标计算的被积函数●适合极坐标计算的积分域●对称性和奇偶性●奇偶性●变量对称性●无穷级数●级数的概念●无穷级数●部分和●级数收敛●级数发散●级数性质●收敛级数的倍数是极限s的倍数●收敛级数的求和●级数求和●收敛＋发散 = 发散●发散＋发散 = 敛散性不确定●在级数中去掉、加上有限项不会改变级数的敛散性●收敛级数加括号仍然收敛且和不变●级数加括号以后收敛，原级数不一定收敛●级数加括号以后发散，原级数不一定发散●级数收敛必要条件（反过来不一定成立）●级数的审敛准则●正向级数 u n > 0●比较判别法●比较法极限形式●使用比较法和比较法的极限形式时，需要适当的选择一个已知敛散性的级数作为比较准则●比值法●根值法●交错级数●充分条件●任意项级数●条件收敛●绝对收敛●基本结论●常用结论●等价无穷小代换只适用正向级数●幂级数●定义●阿贝尔定理●绝对收敛（端点收敛则里面收敛）●发散（端点发散则外面发散）●可能性●收敛半径、收敛区间、收敛域●定理3●定理4●有理运算性质●运算●分析性质●连续性●可导性（逐项求导）●可积性●函数的幂级数展开●展开式唯一●泰勒级数●常用展开式●傅里叶级数●定义●展开●方向导数和梯度●方向导数●定义●计算●梯度●定义●多元微分几何应用●曲面的切平面与法线●曲面的切线和法平面●常见曲面●旋转面●柱面平行于 z 轴就是消去 z●多元积分学●三重积分●定义●计算●直角坐标●柱坐标●●线积分●对弧长的线积分（第一类）与积分路径无关●计算（平面）●利用奇偶性曲线关于哪个轴对称，就把哪个变量当作常数，然后来看另外一个变量的奇偶性●利用对称性 x y 可以互换●对坐标的线积分（第二类线积分）与积分路径有关●计算方法●直接法●格林公式●补线用格林公式●利用线积分与路径无关●线积分与路径无关的判定以下四条等价●计算●该换路径●利用原函数●计算方法●斯托克斯公式●面积分●对面积的面积分（第一类面积分）与积分曲面的方向无关●直接法●利用奇偶性●对坐标的面积分（底二类面积分）与积分曲面的方向有关●性质●计算●直接法●高斯公式●常用●多元积分应用●场论。